数学 一元二次方程的专项 培优练习题附详细答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．

（1）求k 的取值范围；

（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．

【答案】（1）12k ≤

；（2）3k = 【解析】 试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤

12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，

∴k 1＝1，k 2＝－3.

∵k ≤12

，∴k ＝－3.

2．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别以3cm /s 、2cm /s 的速度从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 向点D 移动．

(1)若点P 从点A 移动到点B 停止，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是多少cm ？

(2)若点P 从点A 移动到点B 停止，点Q 随点P 的停止而停止移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？

(3)若点P 沿着AB →BC →CD 移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 移动到点D 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ 的面积为12cm 2？

【答案】（1）2cm ；（2）85s 或

245

s ；（3）经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．

【解析】 试题分析：（1）作PE ⊥CD 于E ，表示出PQ 的长度，利用PE 2+EQ 2=PQ 2列出方程求解即可；

（2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ．在Rt △PEQ 中，根据勾股定理列出关于x 的

方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；

（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．

则根据题意，得

EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；

在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得

PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，

∴2cm；

∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；

（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．

（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，

∴16-5x=±8，

∴x1=8

5

，x2=

24

5

；

∴经过8

5

s或

24

5

sP、Q两点之间的距离是10cm；

（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．

①当0≤y≤16

3

时，则PB=16-3y，

∴1

2PB•BC=12，即

1

2

×（16-3y）×6=12，

解得y=4；

②当16

3

＜x≤

22

3

时，

BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则

1 2BP•CQ=

1

2

（3y-16）×2y=12，

解得y1=6，y2=-2

3

（舍去）；

③22

3

＜x≤8时，

QP=CQ-PQ=22-y ，则

12QP•CB=12

（22-y ）×6=12， 解得y=18（舍去）．

综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．

考点：一元二次方程的应用．

3．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2

﹣（2k +1）x +4（k ﹣

12

）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10．

【解析】

【分析】 分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．

【详解】

当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛

⎫-++-= ⎪⎝⎭

解得：52k =

当52

k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，

∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；

当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣

12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32

， ∴b +c ＝2k +1＝4．

∵b +c ＝4＝a ，

∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．

∴△ABC 的周长为10．

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．

4．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．