概率统计第七章1-2

拒真错误 受伪错误
假设检验的两类错误
所作判断 接受 H0 真实情况
H0 为真 H0 为假
正确 第二类错误
(受伪)
拒绝 H0
第一类错误
(拒真)
正确
犯第一类错误的概率通常记为，拒真概率 犯第二类错误的概率通常记为，受伪概率
原假设真： μ=μ0 备择假设真： μ≠μ0(μ>μ0)
X 0 U ~ N (0,1) / n
出厂检验问题的数学模型
对总体X ~ f ( x ; p) p (1 p) , x 0,1 提出假设
x 1 x
H 0 : p 0.04;
要求利用样本观察值
H1 : p 0.04
( xi 3 or 1 )
i 1 12
( x1 , x2 , , x12 )
对提供的信息作出接受 H 0 (可出厂) , 还 是接受 H1 (不准出厂) 的判断.
H0 : p 4% vs
H1 : p 4%
二、选择检验统计量 由样本对原假设进行判断总是通过一 个统计量完成的，该统计量称为检验统计 量。 找出在原假设 H 0 成立条件下,该统计量 所服从的分布。
三、选择显著性水平，给出拒绝域形式 小概率原理中,关于“小概率”的值通常根据实 际问题的要求而定,如取α =0.1,0.05,0.01等, α 为检验的显著性水平(检验水平). 根据所要求的显著性水平α ,描写小概率事件的 统计量的取值范围称为该原假设的拒绝域(否定 域),一般用W表示；一般将 W 称为接受域。 拒绝域的边界称为该假设检验的临界值.
当 x 108.684 或 u 1.645 时，则接收 H 0
在例7.1.1中，由于 x 108 108.684 因此拒绝原假设，即认为该日生产不正常。
由例7.1.1可见,在给定的前提下, 接受还是拒绝原假设完全取决于样本 值, 因此所作检验可能导致以下两类 错误的产生：
第一类错误 第二类错误
统计检验的基本思想 (1)小概率原理:认为概率很小的事件在一次试验 中实际上不会出现,并且小概率事件在一次试验 中出现了,就被认为是不合理的. (2)基本思想: 先对总体的参数或分布函数的作 出某种假设,然后找出一个在假设下发生可能性 甚小的小概率事件.
如果试验或抽样的结果使该小概率事件发生了, 这与小概率原理相违背,表明原来的假设有问题, 应拒绝这个假设. 若该小概率事件在一次试验或 抽样中并未出现, 表明试验或抽样结果支持这个 假设, 则接受原来的假设.
提出假设： H0 : >=110 原假设的对立面: H1 : < 110
原假设 备择假设
若原假设正确, 则 X 不应该小于110太多, 故 X 比110小到一定程度是小概率事件. 因此,可以确定一个临界值c 使得
X 110 P c 4/5
取 0.05 ,则
关于原假设与备择假设的选取
需要根据实际问题的需要,对总体参数或分 布函数的表达式做出某种假设(称为统计假 设),再利用从总体中获得的样本信息来对所 作假设的真伪做出判断或进行检验. 这种利用样本检验统计假设真伪的 过程叫做统计检验(假设检验)
7.1.2 假设检验的基本步骤
一、建立假设
在假设检验中，常把一个被检验的假设称 为原假设，用H 0 表示，通常将不应轻易加 以否定的假设作为原假设。 当 H 0被拒绝时而接收的假设称为备择 假设，用 H1表示，它们常常成对出现。 在引例1中，我们可建立如下两个假设：
c u u0.05 1.645
由
X 110 4/5
1.645
X 108.648
即区间( ,108.648 ) 为检验的拒绝域 称 X 的取值区间 (108.648,+) 为检验的接受域
四、作出判断
在有了明确的拒绝域后，根据样本观测值 我们可以做出判断： 当 x 108.684 或 u 1.645 时，则拒绝H 0 即接收 H1 ；
求检验准则： ——抽取的12个产品中至少有几个次品则判 断不合格？ 思路： 假定p<=4%, 约定α=0.01（小概率）, 记12件样品中的次品数为X，检验准则为 一次试验中，“Xk”发生为小概率事件时， 则不能出厂。
解
p 0.04 代入
P 12 (1) C p (1 p) 0.306 0.01
P(|U|>u1－α/2)=α
φ(x)
α/2
- u1百度文库α/2
拒绝域
接受域
α/2
u1－α/2 拒绝域 X
例7.1.1 某厂生产的合金强度服从 N ( ,16)，其中 的设计值 为不低于110(Pa)。为保证质量，该 厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生 产是否正常进行,即该合金的平均强度不低于 110(Pa)。某天从生产中随机抽取25块合金， 测得强度值为x1, x2 , …, x25，其均值为 x 108 (Pa)，问当日生产是否正常？
§7.1
假设检验的基本思想与概念
7.1.1 假设检验问题
引例1 某产品出厂检验规定: 次品率p不 超过4%才能出厂. 现从一万件产品中任意 抽查12件发现1件次品, 问该批产品能否出 厂？若抽查结果发现3件次品, 问能否出厂？
分析 直接算 1/ 12 0.083 0.04 抽查12件发现1件按理不能出厂.
φ(x)
α/2
- uα/2
β
uα/2 0
α/2
X
/ n
X 0 0 U ~ N( ,1) / n / n
'
注意: 增大样本容量n时,可以使α 和β 同时减小.
当样本容量 n一定时, 小, 就大,反之,小, 就大.
在进行假设检验时,我们采取的原则是:
控制犯第一类错误(即 事先给定且很小)的同时使犯 第二类错误的概率达到最小.
1 12 1 11
这不是小概率事件,则该批产品可以出厂.
P 12 (3) C p (1 p ) 0.0097 0.01
3 12 3 9
这是 小概率事件 , 一般在一次试验中 是不会发生的, 现一次试验竟然发生, 故认 p 0.04 . 为该批产品次品率 p>4%,该批产品不能出厂