广义线性模型
广义线性模型课件
（三）条件Logistic回归分析的基本原理
1.概述 条件Logistic回归是经典Logistic回归的重要拓展方法 之一，它主要用于分层数据（strata data）的影响因素 分析，通过分层来控制可能的混杂因素对结局变量的影 响。分层变量可以包括一个变量或者几个变量 。
2.条件 Logistic模型 令yk为第k层的因变量，yk=1或0；xk1，xk2…xki… xkm为 第k层的m个自变量。第k层的模型为：
推荐书籍：
Hosmer, David W . (2000). Applied logistic regression . John Wiley, New York.
（一）Logistic回归分析的任务
影响因素分析 logistic回归常用于疾病的危险因素分析，logistic回归 分析可以提供一个重要的指标：OR。
（2）令病例的生存时间比对照短 （3）在设置生存状态变量（status）时，令病例组为完全 数据，对照组为删失数据
以下实例摘自Hosme and Lemeshow（2000）. Applied Logistic Regression: Second Edition.
John Wiley & Sons Inc.
Logistic回归
因变量
协变量(自变量)
注：此处将X1、X3看作为连续变量。
OR的95%置信区间
对模型的检验
模型拟合良好
经统计学检验，模型2=13.951，P=0.003，Logistic回 归模型有显著性。
拟合分类表
符合率为 70.0%
回归系数 标准误 Wald值
P值
OR
OR置信区间
g(x)是对P的变换，称为logit变换：
广义估计方程
总结
其特点归纳如下： 1)建模稳健。即使作业相关矩阵指定不正确
，只要联接函数正确，仍然可以得到稳定的参 数估计值。
2)充分利用资料信息。对多次重复测量的纵 向数据，广义估计方程利用了每次测量的结果 ，较少损失资料的信息。
总结3)应变量不是连续性变量时，考察应变量之间
联合分布和协方差矩阵非常困难，常规的统计模 型难以处理这个问题。利用广义估计方程不仅解 决了这类资料的建模问题，还可得到相关矩阵以 衡量重复测量之间相关性的大小，是一种较好的 分析策略。
一般线性模型
方差分析
一般线性模型
应用： 用于研究某个指标(应变量，记为Yi)与一
组指标(Xi1， Xi2，… ，Xij)之间的线性关系 。 表达式：
yi=β0+ β1Xi1+ β2Xi2+ … βjXij+ei
一般线性模型
一般线性模型对于残差分布的三个重要假设： (1)独立 (2)符合正态分布，且均数为0 (3)方差齐性，即ei的方差相等
纵向数据
传统的统计方法一般都要求应变量是独立 的，因而，由于应变量之间的相关，纵向数据 不能用传统的方法来分析。因为如果忽略重复 测量间的相关性，将损失数据中的信息，参数 估计可能不准确。因此，Liang和Zeger等创立 了广义估计方程(generalized estimating equations) 。
4)模型可以引入多种形式的自变量，考察分类 、等级、连续的或其他形式的自变量对应变量影 响的大小。
应用举例
表2 某药物抗癫痫的随机对照临床试验对照组每2周的发作次数
ID Base Visit4
Visit1
Visit2 Visit3
1
11
广义线性模型
2 1/ 2 2
1
3 2
伽玛分布
1
ln
1
1
2
二项分布 ln p
ln1 e 1
1 p
Poisson 分布 ln
e
1
p
e 1 e
e
p1 p
负二项分布 ln
e
k
e
k2
何为“广义线性模型”？(续)
一个广义线性模型包括以下三个组成部分： （1）线性成分(linear component ) ：
SAS软件中的PROC GENMOD：
The GENMOD Procedure
The GENMOD procedure fits generalized linear models. The class of generalized linear models is an extension of traditional linear models that allows the mean of a population to depend on a linear predictor through a nonlinear link function and allows the response probability distribution to be any member of an exponential family of distributions. Many widely used statistical models are generalized linear models. These include classical linear models with normal errors, logistic and probit models for binary data, and log-linear models for multinomial data. Many other useful statistical models can be formulated as generalized linear models by the selection of an appropriate link function and response probability distribution.
统计学中的广义线性模型解析
统计学中的广义线性模型解析统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而广义线性模型（Generalized Linear Model，简称GLM）则是统计学中一种重要的分析方法。
GLM不仅可以用于描述和预测数据，还可以帮助我们理解变量之间的关系和影响。
一、GLM的基本概念广义线性模型是由统计学家Nelder和Wedderburn于1972年提出的，它是线性回归模型的扩展。
在传统的线性回归模型中，我们假设因变量Y与自变量X之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X + ε，其中β0和β1是待估计的系数，ε是误差项。
而GLM则允许因变量和自变量之间的关系不是线性的，可以是非线性的、离散的、非正态的等。
二、GLM的三个重要组成部分GLM由三个重要的组成部分构成：随机分布、系统性成分和连接函数。
随机分布用于描述因变量的分布特征，系统性成分用于描述自变量和因变量之间的关系，连接函数则用于将系统性成分与随机分布联系起来。
1. 随机分布在GLM中，我们常常假设因变量Y服从指数分布家族中的某个分布，如正态分布、泊松分布、二项分布等。
通过选择合适的分布，我们可以更好地描述和解释数据。
2. 系统性成分系统性成分是GLM中的关键部分，它用于描述自变量和因变量之间的关系。
通常，我们将系统性成分表示为线性组合的形式，即η = β0 + β1X1 + β2X2 + ... +βpXp，其中η是系统性成分，β0、β1、β2等是待估计的系数，X1、X2等是自变量。
3. 连接函数连接函数是将系统性成分和随机分布联系起来的桥梁。
它的作用是将系统性成分的线性组合映射到随机分布的参数空间中，使得我们可以通过系统性成分来预测和解释因变量的分布特征。
常见的连接函数有恒等函数、对数函数、逆正态函数等。
三、GLM的应用领域广义线性模型在统计学中有着广泛的应用领域。
以下是几个常见的应用示例：1. 生物医学研究在生物医学研究中，研究人员常常需要分析和解释疾病发生的风险因素。
generalized linear model结果解释-概述说明以及解释
generalized linear model结果解释-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括对广义线性模型的简要介绍以及结果解释的重要性。
以下是一种可能的编写方式：在统计学和机器学习领域，广义线性模型（Generalized Linear Model，简称GLM）是一种常用的统计模型，用于建立因变量与自变量之间的关系。
与传统的线性回归模型不同，广义线性模型允许因变量（也称为响应变量）的分布不服从正态分布，从而更适用于处理非正态分布的数据。
广义线性模型的理论基础是广义线性方程（Generalized Linear Equation），它通过引入连接函数（Link Function）和系统误差分布（Error Distribution）的概念，从而使模型能够适应不同类型的数据。
结果解释是广义线性模型分析中的一项重要任务。
通过解释模型的结果，我们可以深入理解自变量与因变量之间的关系，并从中获取有关影响因素的信息。
结果解释能够帮助我们了解自变量的重要性、方向性及其对因变量的影响程度。
通过对结果进行解释，我们可以推断出哪些因素对于观察结果至关重要，从而对问题的本质有更深入的认识。
本文将重点讨论如何解释广义线性模型的结果。
我们将介绍广义线性模型的基本概念和原理，并指出结果解释中需要注意的要点。
此外，我们将提供实际案例和实例分析，以帮助读者更好地理解结果解释的方法和过程。
通过本文的阅读，读者将能够更全面地了解广义线性模型的结果解释，并掌握解释结果的相关技巧和方法。
本文的目的是帮助读者更好地理解和运用广义线性模型，从而提高统计分析和机器学习的能力。
在接下来的章节中，我们将详细介绍广义线性模型及其结果解释的要点，希望读者能够从中受益。
1.2文章结构文章结构部分的内容应该是对整篇文章的结构进行简要介绍和概述。
这个部分通常包括以下内容：文章结构部分的内容：本文共分为引言、正文和结论三个部分。
其中，引言部分主要概述了广义线性模型的背景和重要性，并介绍了文章的目的。
广义线性模型的分析及应用
广义线性模型的分析及应用一、引言广义线性模型（Generalized Linear Model, GLM）提供了一种在保持简单性的前提下，对非正态响应变量建立连续性预测模型的方法，适用于许多实际应用问题中。
本文旨在介绍广义线性模型的基本概念、模型构建方法、推断等内容，并通过实际案例的分析加深对GLM的理解与应用。
二、基本概念GLM是统计学中一种具有广泛适用性的模型框架，它的基本思想是将未知的响应变量与已知的协变量之间的关系描述为一个线性预测器和一个非线性函数的组合，即：g(E(Y)) = β_0 + β_1X_1 + ⋯+ β_pX_p其中，g(·)称为联接函数（Link Function），它定义了响应变量的均值与预测变量之间的关系，E(Y)为响应变量的期望，X_1,X_2,…,X_p为解释变量（predictor）或协变量（covariate），β_0, β_1, …, β_p是模型的系数或参数。
GLM假定响应变量Y服从指数分布族中的某一个分布，如正态分布、二项分布、泊松分布等。
三、模型构建方法1. 选择联接函数和分布族：不同的响应变量应选用不同的分布族。
例如，连续性响应变量可选用正态分布，二元响应变量可选用二项分布，而计数型响应变量可选用泊松分布等。
2. 选择解释变量：可使用变量选择算法，如前向选择法、向后选择法、逐步回归等，在给定样本内拟合出最佳模型。
3. 选择估计方法：由于某些非正态分布族无法使用最小二乘法拟合，可以使用极大似然估计法或广义估计方程法。
对于大样本，一般使用广义线性混合模型等。
4. 模型比较与选择：模型拟合后，需要进行模型检验和模型诊断，主要包括残差分析、Q-Q图检验、$R^2$值、F检验、AIC/BIC值等指标的分析。
四、模型应用GLM的应用非常广泛，特别是在医学、生态、社会科学、金融等领域。
下面以某市2019年全年医疗保险数据为例，运用GLM模型进行分析。
1. 数据描述健康保险数据包含了每个缴费人的性别、年龄、缴费金额、报销金额等信息。
关于广义线性模型和一般线性模型的数学理论和应用
关于广义线性模型和一般线性模型的数学理论和应用线性模型是统计学领域非常重要的一类模型，其中包括广义线性模型（Generalized Linear Models，简称GLM）和一般线性模型（General Linear Models，简称GLM）。
GLM和GLM有着紧密的联系，但也各自有着特点和应用。
本文将探讨GLM和GLM的数学理论和应用。
一、广义线性模型广义线性模型是由Mcullagh和Nelder于1982年提出的，它是线性模型的扩展，可以适应更为复杂的数据结构和变异模式。
与传统的线性模型相比，GLM的形式更为灵活，不仅能够模拟标量数据，还能够模拟其他类型的数据，比如二元数据、计数数据、序数数据等。
GLM的最大特点是可以将因变量的均值与自变量联系起来，并将自变量的参数与因变量的概率分布函数联系起来。
具体地说，GLM的一般形式为：$$ g(E(Y_i))=\beta_0+\beta_1x_{1i}+\dots+\beta_px_{pi} $$其中，$Y_i$表示因变量，$x_i$是自变量，$g$是一个连续函数，称为连接函数（link function），一般为对数函数、逆正弦函数、逆双曲正切函数等。
$\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_p$是待求参数。
通常情况下，GLM的因变量$Y$的概率分布函数是指数分布族，具体包括正态分布、二项分布、泊松分布、伽马分布等。
GLM的优点是可以拟合非正态分布的数据，并且能够建立出统一的推导框架。
在实际应用中，GLM广泛用于医疗、金融、风险分析等领域。
二、一般线性模型一般线性模型是经典的线性模型，也是广义线性模型的一种特殊情况。
一般线性模型将因变量$Y$视为自变量的一个线性组合，即：$$ Y=X\beta+\epsilon $$其中，$X$是一个$n\times(p+1)$的矩阵，第一列全为1，$\beta$是$p+1$个待求参数，$\epsilon$是一个$n$维的随机误差向量，假设$\epsilon$服从正态分布$N(0,\sigma^2I)$。
广义线性模型（GLM,GeneralizedLinearModel）
⼴义线性模型（GLM,GeneralizedLinearModel）
引⾔：通过⾼斯模型得到最⼩⼆乘法(线性回归)，即：
通过伯努利模型得到逻辑回归，即：
这些模型都可以通过⼴义线性模型得到。
⼴义线性模型是把⾃变量的线性预测函数当作因变量的估计值。
在机器学习中，有很多模型都是基于⼴义线性模型的，⽐如传统的线性回归模型，最⼤熵模型，Logistic回归，softmax回归，等等。
今天主要来学习如何来针对某类型的分布建⽴相应的⼴义线性模型。
1. ⼴义线性模型
⼴义线性模型：⼴义线性模型是基于指数分布族(Exponential Family)，⽽指数分布族的原型如下：
其中，η是⾃然参数(Natural Parameter)，T(y)为充分统计量(Sufficient Statistic)，通常T(y)=y。
实际上，许多分布(如，⾼斯分布、指数分布、泊松分布、伽马分布灯)都属于指数分布族。
所以，线性回归、逻辑回归等都是⼴义线性模型的特例，实际上，性分布中，y服从⾼斯分布那么⼴义线性模型为线性回归，y服从伯努利分布为逻辑回归。
在使⽤⼴义线性模型构建其他模型之前，⾸先有三个假设：
(1) y|x; θ~ExpFamily；
(2) 给定x，⽬标是输出期望E[T(y)|x]，得到h(x)= E[T(y)|x]；
(3) η与x的关系是线性的，即：
1. 常见概率模型由⼴义线性模型的推导
(1) ⾼斯模型
⾼斯分布可以表⽰为：
⾼斯模型的⾃然参数与均值成线性分布，所以
(2) 伯努利模型
伯努利模型可以表⽰为：
其中，b(y)=1。
从⽽得到逻辑回归模型。
带⼊a(η)可以得到：。
广义线性模型的推广及应用
广义线性模型的推广及应用广义线性模型（Generalized Linear Model，简称GLM）是统计学中一种重要的模型，它将线性模型推广到了更广泛的情况下，可以处理非正态分布的响应变量。
在实际应用中，广义线性模型被广泛应用于各个领域，如医学、金融、市场营销等。
本文将介绍广义线性模型的推广及其在实际应用中的具体案例。
## 一、广义线性模型的基本概念广义线性模型是由Nelder和Wedderburn于1972年提出的，它是线性模型的一种推广形式。
在传统的线性模型中，假设因变量服从正态分布，而在广义线性模型中，因变量的分布可以是指数分布族中的任意一种分布，如正态分布、泊松分布、二项分布等。
广义线性模型的基本形式如下：$$g(E(Y)) = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... +\beta_pX_p$$其中，$g()$是连接函数（link function），用于将因变量的均值与自变量的线性组合联系起来；$E(Y)$表示因变量的期望；$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_p$是模型的系数；$X_1, X_2, ..., X_p$是自变量。
## 二、广义线性模型的推广### 1. 权重广义线性模型（Weighted GLM）在一些实际应用中，观测数据的方差可能不相等，此时可以使用权重广义线性模型来处理这种情况。
权重广义线性模型通过赋予不同观测数据不同的权重，来更好地拟合数据。
在权重广义线性模型中，模型的似然函数被修改为考虑到每个观测数据的权重，从而得到更准确的参数估计。
### 2. 分层广义线性模型（Hierarchical GLM）分层广义线性模型是将广义线性模型与分层模型相结合的一种形式。
在分层广义线性模型中，模型考虑了数据的层次结构，将数据分为不同的层次，并在每个层次上建立广义线性模型。
这种模型适用于具有多层次结构的数据，能够更好地捕捉数据之间的相关性。
广义线性模型
广义线性模型广义线性模型*（Nelder和Wedderburn，1972）除了正态分布，也允许反应分布，以及模型结构中的一定程度的非线性。
GLM具有基本结构g(μi)=X iβ,其中μi≡E（Yi），g是光滑单调'链接函数'，Xi是模型矩阵的第i行，X和β是未知参数的向量。
此外，GLM通常会做出Yi是独立的和Yi服从一些指数族分布的假设。
指数族分布包括许多对实际建模有用的分布，如泊松分布，二项分布，伽马分布和正态分布。
GLM的综合参考文献是McCullagh和Nelder（1989），而Dobson（2001）提供了一个全面的介绍。
因为广义线性模型是以“线性预测器”Xβ的形式详细说明的，所以线性模型的许多一般想法和概念通过一些修改而继续存在到广义线性模型中。
除了必须选择的链接函数和分布之外，基本模型公式与线性模型公式基本相同。
当然，如果恒等函数被选择作为链接以及正态分布，那么普通线性模型将作为特例被恢复。
然而，泛化是以某种成本为代价的：现在的模型拟合必须要迭代完成，而且用于推理的分布结果是近似的，并且由大样本限制结果证明是正确的而不是精确的。
但在深入探讨这些问题之前，请考虑几个简单的例子。
μi=cexp(bt i),例1：在疾病流行的早期阶段，新病例的发生率通常会随着时间以指数方式增加。
因此，如果μi是第ti天的新病例的预期数量，则该形式的模型为请注意，“广义”和“一般”线性模型之间存在区别-后一个术语有时用于指除简单直线以外的所有线性模型。
可能是合适的，其中c和b是未知参数。
通过使用对数链路，这样的模型可以变成GLM形式log(μi)=log(c)+bt i=β0+t iβ1（根据β0=logc和β1=b的定义）。
请注意，模型的右侧现在在参数中是线性的。
反应变量是每天新病例的数量，因为这是一个计数，所以泊松分布可能是一个合理的可以尝试的分布。
因此，针对这种情况的GLM使用泊松反应分布，对数链路和线性预测器β0+tiβ1。
广义线性模型在社会科学研究中的应用
广义线性模型在社会科学研究中的应用广义线性模型（Generalized Linear Model, GLM）是一种统计学的分析方法，被广泛应用于社会科学的研究中。
在社会科学研究中，数据的特征通常是非正态分布、异方差性和离群值等，这些特征使得传统的线性回归模型无法适应社会科学中的数据分析，而GLM则可以很好地处理这些问题。
本文将探讨GLM在社会科学研究中的应用。
一、GLM的概念和原理GLM是一种广义的线性回归模型，在传统的线性回归模型基础上，将响应变量的概率分布扩展为了更广泛的分布类型，可以通过不同的分布类型解决非正态分布的问题。
GLM使用的是最大似然估计方法，通过最大化似然函数，求得模型参数。
GLM的模型可以表示为：Y = g(β0 + β1X1 + β2X2 + … + βpXp) + ε其中，Y表示响应变量，g()函数为链接函数，将线性关系映射到响应变量上，β0到βp表示模型的系数，X1到Xp表示自变量，ε是误差项。
二、GLM模型的分布参数和链接函数GLM中响应变量的概率分布可以是正态分布、泊松分布、二项分布、伽马分布等。
以下列举几种在社会科学研究中经常使用的分布类型：1. 正态分布：适用于连续型变量，例如年龄、身高、收入等。
链接函数为恒等函数(identity)，即Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + … + βpXpi + εi。
2. 泊松分布：适用于计数型变量，例如犯罪率、事故率等。
链接函数为对数函数(log)，即log(Yi) = β0 + β1X1i + β2X2i + … +βpXpi + εi。
3. 二项分布：适用于二元变量，例如投票、婚姻等。
链接函数为对数几率函数(logit)，即log(Yi/1-Yi) = β0 + β1X1i + β2X2i + … + βpXpi + εi。
4. 伽马分布：适用于右偏的连续型变量，例如医疗费用、保险理赔等。
链接函数为倒数函数(reciprocal)，即1/Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + … + βpXpi + εi。
广义线性模型的参数估计及其经验应用
广义线性模型的参数估计及其经验应用广义线性模型是统计学中重要的一种模型，它统一了多种线性回归模型，包括普通线性回归、Logistic回归、Poisson回归、Gamma回归等。
广义线性模型的参数估计是模型分析的关键步骤之一，本文将探讨广义线性模型的参数估计及其经验应用。
一、广义线性模型广义线性模型（Generalized Linear Models，简称GLM）的基本表达式为：$g(E(Y))=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_ix_i$其中，$g(E(Y))$是链接函数，$Y$是因变量，$x_i$是自变量，$\beta_i$是系数。
链接函数在不同的模型中有不同的定义，下面介绍几种常见的链接函数及其作用。
1.1. 普通线性回归普通线性回归的链接函数为恒等函数，即：$g(E(Y))=E(Y)$因此，普通线性回归的模型表达式为：$Y=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_ix_i+\epsilon$其中，$\epsilon$为误差项。
1.2. Logistic回归Logistic回归的链接函数为logit函数，即：$g(E(Y))=\log\frac{E(Y)}{1-E(Y)}$Logistic回归用于二分类问题，因此$Y$只有两种取值，通常用0和1表示。
Logistic回归的模型表达式为：$\log\frac{P(Y=1)}{1-P(Y=1)}=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_ix_i$其中，$P(Y=1)$表示$Y$取值为1的概率。
1.3. Poisson回归Poisson回归的链接函数为log函数，即：$g(E(Y))=\log(E(Y))$Poisson回归用于计数数据的分析，因此$Y$只能取非负整数值。
Poisson回归的模型表达式为：$\log(E(Y))=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_ix_i$1.4. Gamma回归Gamma回归的链接函数为倒数函数，即：$g(E(Y))=-\frac{1}{E(Y)}$Gamma回归用于连续正值数据的分析。
广义线性模型的模型选择算法研究
广义线性模型的模型选择算法研究一、绪论广义线性模型是统计学中一类常见的模型，在许多实际应用中广泛使用。
模型选择是广义线性模型中一项非常重要的任务，因为一个最优模型可以大大提高模型的质量和预测能力。
二、广义线性模型的基本形式广义线性模型（Generalized Linear Model，GLM）是线性模型的一种扩展。
其构建方法是一个连接函数将响应变量y与预测变量线性结合起来，即：g(E(y))=Xβ其中，g() 是一个已知的单调可微函数，称为连接函数。
X是预测变量的设计矩阵，β是未知参数向量。
在广义线性模型中，还需要假定一个分布族，这样，可以将响应变量y的条件概率密度函数表示成g()的反函数h()函数和未知参数向量β的线性函数的形式。
即：f(y|X,β,ϕ)=exp{(yθ−b(θ))/a(ϕ)}c(y,ϕ)其中，θ=h(E(y)), b(θ)和a(ϕ)是已知的函数，c(y,ϕ)是归一化常数，ϕ是分布族的参数。
三、模型选择的方法模型选择是确定最佳模型的过程，需要考虑多个因素，如模型的拟合能力、预测能力和解释能力等。
常见的模型选择方法包括最小二乘法、Akaike信息准则（AIC）、贝叶斯信息准则（BIC）和交叉验证等。
1. 最小二乘法最小二乘法（Least Squares，LS）是一种最简单的模型选择方法。
它的原理是将观测值与模型预测值之间的误差的平方和最小化，即：min β=(y−Xβ)T(y−Xβ)该方法最大的缺点是不考虑模型复杂度的影响，容易出现过拟合问题。
2. Akaike信息准则（AIC）Akaike信息准则（Akaike's Information Criterion，AIC）是一种经典的模型选择准则。
它的原理是对每个模型产生一个AIC值，最小化AIC值的模型被视为最优模型。
AIC的计算公式如下：AIC=−2log(L)+2(1+p)其中，L是模型的最大似然值，p是模型的参数个数。
广义线性模型（GeneralizedLinearModels）
⼴义线性模型（GeneralizedLinearModels）转载请注明出⾃BYRans博客：前⾯的⽂章已经介绍了⼀个回归和⼀个分类的例⼦。
在模型中我们假设：在分类问题中我们假设：他们都是⼴义线性模型中的⼀个例⼦，在理解⼴义线性模型之前需要先理解指数分布族。
指数分布族（The Exponential Family）如果⼀个分布可以⽤如下公式表达，那么这个分布就属于指数分布族：公式中y是随机变量；h(x)称为基础度量值（base measure）；η称为分布的⾃然参数（natural parameter），也称为标准参数（canonical parameter）；T(y)称为充分统计量，通常T(y)=y；a(η)称为对数分割函数（log partition function）；本质上是⼀个归⼀化常数，确保概率和为1。
当T(y)被固定时，a(η)、b(y)就定义了⼀个以η为参数的⼀个指数分布。
我们变化η就得到这个分布的不同分布。
伯努利分布属于指数分布族。
伯努利分布均值为φ，写为Bernoulli(φ)，是⼀个⼆值分布，y ∈ {0, 1}。
所以p(y = 1; φ) = φ; p(y = 0; φ) = 1 −φ。
当我们变化φ就得到了不同均值的伯努利分布。
伯努利分布表达式转化为指数分布族表达式过程如下：其中，再举⼀个⾼斯分布的例⼦，⾼斯分布也属于指数分布族。
由⾼斯分布可以推导出线性模型（推导过程将在EM算法中讲解），由线型模型的假设函数可以得知，⾼斯分布的⽅差与假设函数⽆关，因⽽为了计算简便，我们设⽅差=1。
⾼斯分布转化为指数分布族形式的推导过程如下：其中许多其他分部也属于指数分布族，例如：伯努利分布（Bernoulli）、⾼斯分布（Gaussian）、多项式分布（Multinomial）、泊松分布（Poisson）、伽马分布（Gamma）、指数分布（Exponential）、β分布、Dirichlet分布、Wishart分布。
广义线性模型
广义线性模型广义线性模型（Generalized Linear Model，GLM）是一种在统计学中常用的模型，它是对普通线性模型的扩展和推广。
在广义线性模型中，因变量不需要满足正态分布的假设，而是通过连接函数（link function）与线性组合的结果进行建模。
广义线性模型的应用领域十分广泛，涵盖了回归分析、分类分析以及其他众多领域。
1. 普通线性模型普通线性模型是一种经典的建模方法，其基本形式为：$$ Y = \\beta_0 + \\beta_1 X_1 + \\beta_2 X_2 + ... + \\beta_k X_k + \\epsilon $$ 其中，Y表示因变量，X1,X2,...,X k表示自变量，$\\beta_0, \\beta_1,\\beta_2, ..., \\beta_k$为模型参数，$\\epsilon$为误差项。
普通线性模型的关键假设是因变量Y服从正态分布。
2. 广义线性模型的基本原理广义线性模型是对普通线性模型的推广，其基本形式为：$$ g(\\mu) = \\beta_0 + \\beta_1 X_1 + \\beta_2 X_2 + ... + \\beta_k X_k $$其中，g()为连接函数（link function），$\\mu$表示期望的因变量Y，其他符号的含义同普通线性模型。
通过连接函数g()，广义线性模型在一般性上不再要求因变量Y服从正态分布。
3. 连接函数（Link Function）连接函数g()的选择是广义线性模型的关键之一，不同的连接函数对应不同的模型形式。
常见的连接函数包括：•恒等连接函数（Identity link function）: $g(\\mu) = \\mu$，对应普通线性模型。
•对数连接函数（Log link function）: $g(\\mu) = log(\\mu)$，常用于泊松回归等模型。
•逆连接函数（Inverse link function）: $g(\\mu) = \\frac{1}{\\mu}$，用于逻辑回归等模型。
广义线性模型在统计学中的应用
广义线性模型在统计学中的应用广义线性模型（Generalized Linear Model, GLM）是一种在统计学中常用的模型，它能够处理不同类型的响应变量，并且灵活性较强。
本文将讨论广义线性模型在统计学中的应用，并介绍一些相关的概念和方法。
一、广义线性模型的基本概念广义线性模型是对传统线性模型的拓展和推广，它的设计思想是将输入变量与输出变量之间的关系通过非线性函数进行建模。
与传统线性模型不同，广义线性模型可以处理非连续型的响应变量，例如二项分布、泊松分布和伽马分布等。
广义线性模型由三个基本要素组成：随机部分、系统部分和连接函数。
随机部分指的是响应变量的概率分布，例如二项分布、正态分布等。
系统部分则指的是与输入变量之间的关系，通常包括线性组合和非线性转换。
连接函数则将随机部分和系统部分连接起来，将非线性的输出转化为线性的输入。
二、广义线性模型的应用1. 二项分布的应用二项分布是广义线性模型中常用的概率分布之一。
在实际应用中，我们经常遇到二元性的响应变量，例如成功与失败、生存与死亡等。
广义线性模型通过将二元性的响应变量建模为一个二项分布，并使用连接函数将其与线性组合联系起来，从而实现对应变量的预测和建模。
2. 泊松分布的应用泊松分布是一种在计数数据分析中常用的概率分布。
在实际应用中，我们经常需要对某一时间段内发生的事件次数进行建模和预测。
广义线性模型可以将事件次数建模为泊松分布，并使用连接函数将其与线性组合联系起来，从而实现对事件发生率的预测和建模。
3. 伽马分布的应用伽马分布是一种在连续性数据分析中常用的概率分布。
在实际应用中，我们经常需要对某一连续性变量进行建模和预测，例如收入、销售额等。
广义线性模型可以将连续性变量建模为伽马分布，并使用连接函数将其与线性组合联系起来，从而实现对变量的预测和建模。
三、广义线性模型的相关方法1. 最大似然估计最大似然估计是广义线性模型中常用的参数估计方法。
通过构建似然函数，最大似然估计可以寻找使似然函数取得最大值的参数值，从而实现对模型参数的估计。
广义线性模型
⼴义线性模型从线性回归，logistic回归，softmax回归，最⼤熵的概率解释来看，我们会发现线性回归是基于⾼斯分布+最⼤似然估计的结果，logistic回归是伯努利分布+对数最⼤似然估计的结果，softmax回归是多项分布+对数最⼤似然估计的结果，最⼤熵是基于期望+对数似然估计的结果。
前三者可以从⼴义线性模型⾓度来看。
⼴义线性模型⼴义线性模型建⽴在三个定义的基础上，分别为：定义线性预测算⼦η=θT x定义y的估计值h(x,θ)=E(y|x,θ)定义 y 的估值概率分布属于某种指数分布族：Pr(y|x,θ)=b(y)exp(ηT T(y)−a(η))接下来详细解释各个定义指数分布家族指数分布家族是指可以表⽰为指数形式的概率分布，指数分布的形式如下：p(y;η)=b(y)exp(ηT T(y)−a(η))其中:1. η被称为⾃然参数(natural parameters)2. T(y)称为充分统计量,通常T(y)=y3. a(η)称为对数分割函数（log partition function）；4. e−a(η)本质上是⼀个归⼀化常数，确保p(y;η)概率和为1。
当T(y)被固定时，a(η)、b(y)就定义了⼀个以η为参数的⼀个指数分布。
我们变化η就得到这个分布的不同分布。
为什么要把$ y的条件分布定义为这么奇怪的指数分布族？这是因为，在这样的定义下，我们可以证明：p(y|η)$ 的期望值满⾜：E(y|η)=ddηa(η)p(y|η)的⽅差满⾜：Var(y|η)=d2dη2a(η)如此简洁的期望和⽅差意味着：⼀旦待估计的y的概率分布写成了某种确定的指数分布族的形式（也就是给定了具体的a,b,T），那么我们可以直接套⽤公式h(x,θ)=E(y|x,θ)=ddηa(η) 构建回归模型。
实际上⼤多数的概率分布都属于指数分布家族，⽐如1）伯努利分布 0-1问题2）⼆项分布，多项分布多取值多次试验3）泊松分布计数过程4）伽马分布与指数分布5）β分布6）Dirichlet分布7）⾼斯分布现在我们将⾼斯分布和伯努利分布⽤指数分布家族的形式表⽰：Bernoulli分布的指数分布族形式：p(y=1;ϕ)=ϕ;p(y=0;ϕ)=1−ϕ⟹p(y;ϕ)=ϕy(1−ϕ)1−y=exp(ylogϕ+(1−y)log(1−ϕ))=exp((log(ϕ1−ϕ))y+log(1−ϕ))即：在如下参数下⼴义线性模型是 Bernoulli 分布η=log(ϕ/(1−ϕ))⟹ϕ=1/(1+e−η)T(y)=ya(η)=−log(1−ϕ)=log(1+eη)b(y)=1 Gaussian 分布的指数分布族形式：在线性回归中，σ对于模型参数θ的选择没有影响，为了推导⽅便我们将其设为1：p(y;µ)=1√2πexp(−12(y−µ)2)=1√2πexp(−12y2)⋅exp(µy−12µ2)得到对应的参数：η=µT(y)=ya(η)=µ2/2=η2/2b(y)=1√2πexp(−12y2)⽤⼴义线性模型进⾏建模想⽤⼴义线性模型对⼀般问题进⾏建模⾸先需要明确⼏个假设：1.y|x;θ∼ExponentialFamily(η)的条件概率属于指数分布族2.给定x ⼴义线性模型的⽬标是求解 T(y)|x ，不过由于很多情况下T(y)=y所以我们的⽬标变成了y|x , 也即我们希望拟合函数为h(x)=E[y|x](NOTE：这个条件在线性回归和逻辑回归中都满⾜，例如逻辑回归中hθ(x)=p(y=1|x;θ))3.⾃然参数η与x是线性关系：η=θT x (η为向量时,ηi=θT i x )有了如上假设就可以进⾏建模和求解了：⼴义线性模型推导出线性回归：step1: p(y|x;theta)∼N(µ,θ)step2: 由假设2h(x)=E[y|x]得到：h(x)=E[y|x]=µ=η=θT x⼴义线性模型推导出逻辑回归：step1: p(y|x;theta)∼Bernoulli(ϕ)step2: 由假设2h(x)=E[y|x]得到：h(x)=E[y|x]=ϕ=11+e−η=11+e−θT xProcessing math: 100%。
线性模型(5)——广义线性模型
线性模型(5)——广义线性模型广义线性模型是一种扩展了一般线性模型的模型，它在混合线性模型的基础上进一步扩展，使得线性模型的使用范围更加广泛。
每次扩展都是为了适用更多的情况。
一般线性模型要求观测值之间相互独立，残差（因变量）服从正态分布，残差（因变量）方差齐性。
而混合线性模型取消了观测值之间相互独立和残差（因变量）方差齐性的要求。
广义线性模型又取消了对残差（因变量）服从正态分布的要求。
残差不一定要服从正态分布，可以服从二项、泊松、负二项、正态、伽马、逆高斯等分布，这些分布被统称为指数分布族，并且引入了连接函数。
根据不同的因变量分布、连接函数等组合，可以得到各种不同的广义线性模型。
需要注意的是，虽然广义线性模型不要求因变量服从正态分布，但是仍要求相互独立。
如果不符合相互独立的要求，需要使用广义估计方程。
广义线性模型的一般形式包括线性部分、随机部分εi和连接函数。
连接函数为单调可微的函数，起到连接因变量的估计值μ和自变量的线性预测值η的作用。
在广义线性模型中，自变量的线性预测值是因变量的函数估计值。
广义线性模型设定因变量服从指数族概率分布，这样因变量就可以不局限于正态分布，并且方差可以不稳定。
指数分布族的概率密度函数包括θ和φ两个参数，其中θ为自然参数，φ为离散参数，a、b、c为函数广义线性模型的参数估计。
广义线性模型的参数估计一般不能使用最小二乘法，常用加权最小二乘法或极大似然法。
回归参数需要用迭代法求解。
广义线性模型的检验和拟合优度一般使用似然比检验和Wald检验。
似然比检验是通过比较两个相嵌套模型的对数似然函数来进行的，统计量为G。
模型P中的自变量是模型K 中自变量的一部分，另一部分是要检验的变量。
G服从自由度为K-P的卡方分布。
回归系数使用Wald检验进行模型比较。
广义线性模型的拟合优度通常使用以下统计量来度量：离差统计量、Pearson卡方统计量、AIC、AICC、BIC、CAIC准则，准则的值越小越好。
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SAS9.0 GENMOD过程中所整合的响应变量分布类型
DIST= BINOMIAL | BIN | B GAMMA | GAM | G IGAUSSIAN | IG Distribution binomial gamma Default Link Function logit inverse ( power(-1) )
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何为“广义线性模型”？(续)
一个广义线性模型包括以下三个组成部分：
（1）线性成分(linear component ) ：
i 0 1x1i 2 x2i m xmi
（2）随机成分(random component )：
i Yi i
（3）连接函数 ( link function)：
2010-4-15
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Log-likelihood functions
2010-4-15
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三、广义线性模型的假设检验
广义线性模型的检验一般用似然比检验、Wald检 验和记分检验。模型的比较用似然比检验。
（1）似然比检验：似然比检验是通过比较两个相嵌套模型 （如模型P嵌套于模型K内）的对数似然函数来进行的， 其统计量G为： 模型P的对数似然函数
Binomial Survival Counts
Model
Linear regression
Logistic regression Cox model Poisson regression
Uses
Control of confounding Model building, risk prediction
2 ˆ yi i 1 ˆ ˆ n p i 1 V n
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二、广义线性模型的参数估计(续)
各种分布因变量广义线性模型的对数似然函数表达式
分布类型 正态分布 对数似然函数
逆高斯分布
伽玛分布 二项分布 Poisson 分布 负二项分布
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一、何为“广义线性模型”？
广义线性模型（generalized linear model）由 Nelder & Wedderburn(1972)首先提出，是一般线 性模型的直接推广，它使因变量的总体均值通过 一个非线性连接函数（link function）而依赖于线 性预测值，同时还允许响应概率分布为指数分布 族中的任何一员。许多广泛应用的统计模型均属 于广义线性模型，如logistic回归模型、Probit回 归模型、Poisson回归模型、负二项回归模型等。
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Generalized linear models(广义线性模型)
Family of regression models Outcome variable determines choice of model
Outcome
Continuous
Compares two nested models
g() = + 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 g() = + 1x1 + 2x2 LR statistic -2 log (likelihood model 2 / likelihood model 1) = [-2 log (likelihood model 2) ]－ [-2log (likelihood model 1)] LR statistic is a 2 with DF = number of extra parameters in model
广义线性模型
Generalized linear model
明确两个概念：
线性模型（linear model），也称经典线性模型
（classical linear model）或一般线性模型
（general linear model, GLM）。
广义线性模型（generalized linear model，
inverse Gaussian inverse squared ( power(-2) ) cumulative logit
MULTINOMIAL | MULT multinomial NEGBIN | NB NORMAL | NOR | N POISSON | POI | P
negative binomial log normal Poisson identity log
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SAS软件中的PROC GENMOD：
The GENMOD Procedure
The GENMOD procedure fits generalized linear models. The
class of generalized linear models is an extension of traditional linear models that allows the mean of a population to depend on a linear predictor through a nonlinear link function and allows the response probability distribution to be any member of an exponential family of distributions. Many widely used statistical models are generalized linear models. These include classical linear models with normal errors, logistic and probit models for binary data, and log-linear models for multinomial data. Many other useful statistical models can be formulated as generalized linear models by the selection of an appropriate link function and response probability distribution.
i g (i )
连接函数为一单调可微（连续且充分光滑）的函数。
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因变量常见分布及其常用的连接函数
分布 概率密度（概率函数）及其主要参数 连接函数
正态分布
Identity (恒等函数)
逆高斯分布
Inverse squared (平方的倒数)
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GENMOD）是一般线性模型的直接推广，由
Nelder & Wedderburn(1972)首先提出。
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SAS软件中的PROC GLM：
PROC GLM analyzes data within the framework of general linear models. PROC GLM handles models relating one or several continuous
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何为“广义线性模型”？（续）
广义线性模型在两个方面对经典线性模型进行了推广： （1）一般线性模型中要求因变量是连续的且服从正态 分布，在广义线性模型中，因变量的分布可扩展到非连 续的资料，如二项分布、Poisson分布、负二项分布等。 （2）一般线性模型中，自变量的线性预测值就是因变 量的估计值，而广义线性模型中，自变量的线性预测值 是因变量的函数估计值。
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二、广义线性模型的参数估计
广义线性模型的参数估计一般不能用最小二
乘估计，常用加权最小二乘法（weighted least squared, WLS）或最大似然法(maximum likelihood)估计。
各回归系数需用迭代方法求解。
ˆ 后，用下式估计： 求得
伽玛分布
Inverse （倒数）
1
1
①Logit： ln 二项分布
②probit： 1 ( )
Log（对数） Poisson 分布
log( )
Log（对数） 负二项分布
log( )
多项分布
2010-4-15
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dependent variables to one or several independent variables. The independent variables may be either classification variables or continuous variables. Thus, the GLM procedure can be used for many different analyses, including simple regression multiple regression analysis of variance (ANOVA), especially for unbalanced data analysis of covariance response-surface models (响应面模型) weighted regression polynomial regression (多项式回归) partial correlation multivariate analysis of variance (MANOVA) repeated measures analysis of variance