关于_赛程安排_的数学建模

（ ５）
当 ｉ 为偶数时， ｍ＝（ｉ ｎ－ １）／２－ ３（ ｉ－ ２）／２
Baidu Nhomakorabea
（ ６）
（ 其中 ｎ≥６ 且 ｎ≥ｉ＋１）
或者： 当 ｉ 为奇数时， ｍ＝（ ｉ－ １（） ｎ－ １）／２＋（［ ｎ－ ｉ）／２］－（ ｉ－ ３）
（ ７）
当 ｉ 为偶数时， ｍ＝（ ｉ－ ２（） ｎ－ ２）／２＋（［ ｎ－ ｉ）／２］－（ ｉ－ ３）
队两场比赛最多相隔 ｎ－ ２ 场。
②Ｂ（ ｎ， ３， ３） ： ｎ 支 球 队 三 轮 共 赛 ｎ＋［ｎ／２］场 ， Ａ 队 只 能 参 加 首
末 两 场 和 正 数 （ 或 倒 数） 第 ３ 场 ， ｍ 才 能 取 最 大 值 ， ｍ＝ｎ＋［ｎ／２］－
（ ３＋１）。
③Ｂ（ ｎ， ４， ４） ： ｎ 支 球 队 比 赛 ４ 轮 ， 共 进 行 ２ｎ 场 ， Ａ 队 只 能 参
具体特点， 给出了一种简明而快捷的解决方案。 问题 １
题目的意思是只要找出一个符合条件的赛程即可。而这种 赛程的安排具有随机性， 故其结果会因人而异， 各不相同。尽管 符合题目的要求， 但给 人 一 种 杂 乱 无 序 的 感 觉 。 如 果 将 问 题（ ３） 中衡量赛程的优劣指标结合起来多方面考虑问题， 一定会找到 一个比较合理的赛程安排。
Ｂ ２００６年 ８月
表２
赛程表
（ ｎ＝５）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ 每两场比赛间相隔场次数
Ａ
１ ６９３
１２２
Ｂ１
４ ７ １０
２２２
Ｃ６ ４
２８
１１１
Ｄ９ ７ ２
５
２１１
Ｅ ３ １０ ８ ５
１２１
值。
（ １） 以下各种情形均以编号为 １ 的 Ａ 队为例进行讨论。
（ ２） 当 ｎ＝２， ３， ４ 时， 题设条件不成立。
３ 模型的建立
在 以 上 规 定 下 ， 就 可 以 很 快 地 编 制 出 一 个 赛 程 ： 设 Ｐｉ 为 第 ｉ 场比赛。
Ｐ（１ １， ２， ０， ０， ０） ： 按规定（ １） 和（ ２） ， 第 １ 场只能取排在前边的 两个数字， 即第 １ 场由 Ａ， Ｂ 两队参加比赛。
Ｐ（２ ０， ０， ３， ４， ０） ： 按 规 定（ １） ， 第 ２ 场 可 从 ３， ４， ５ 中 任 意 取 两 个数字， 但又由规定（ ２） ， 小数字优先取， 故取 ３， ４。
为了描述 ５ 支球队比赛时所处的状态， 给出状态向量的概
念， 即当该队参赛时， 相应分量为该队的编号 （ｉ ｉ＝１， ２， ３， ４， ５） ， 同 时不参赛的队相应的分量用 ０ 表示。这时， 所给的向量就表示各 队比赛时的状态， 称为状态向量。比如：（ １， ０， ０， ４， ０） 表示 Ａ 队和 Ｄ 队在进行比赛， 而 Ｂ 队、Ｃ 队和 Ｅ 队休息。由所给问题的限制条 件， 则可取的状态向量为以下 １０ 个：
至少相隔一场的赛程。 （ ２） 当 ｎ 支球队比 赛 时 ， 各 队 每 两 场 比 赛 中 间 相 隔 的 场 次 数
的上限是多少。 （ ３） 除了每两场比 赛 间 隔 场 次 数 这 一 指 标 外 ， 你 还 能 给 出 哪
些指标来衡量一个赛程的优劣。 该题用枚举法求解是相当繁琐和困难的， 以下抓住问题的
结论： 该赛程虽然 Ｃ 队每次参赛后只休息一场， 比起 Ｂ 队每 次参赛后休息两场来说略显不足， 但从总体上来说却是有条不 紊， 排列有序。故表 ２ 是满足第 １ 问题的最简捷的赛程安排。 问题 ２
题目实际上就是求各队每两场比赛中间相隔场次数的最大
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科学之友
Ｆｒｉｅｎｄ ｏｆ Ｓ ｃｉｅｎｃｅ Ａｍａｔｅｕｒｓ
加首、末两场和正数（ 倒数） 第 ３ 场和第 ５ 场， ｍ＝２ｎ－（ ４＋２）。
依次类推得： Ｂ（ ｎ， ｉ， ｉ） 时， ｍ 最大值为：
当 ｎ 为偶数时，
ｍ＝［ｎ／２］ｉ－ ［ｉ＋（ ｉ－ ２）］＝［ｎ／２］ｉ－ ２ｉ＋２
（ １）
当 ｎ 为奇数时， ｉ 为偶数且 ｉ≥２ 时，
ｍ＝［ｎ／２］ｉ－ ［ｉ＋（ ｉ－ ２）］＝［ｎ／２］ｉ－ ２ｉ＋２
起打首尾两场比赛。得：
ｍ＝（ ｎ－ １）＋（［ ｎ－ １）／２］－ １
思路 ２： 由不含 Ａ 队的 ｎ－ １ 支球队比赛 ２ 轮， 共进行（ ｎ－ １）
场， 然后从（ ｎ－ １）支队中选出两支同 Ａ 队一起打首尾两场， 其他剩
余对结合可比赛（［ ｎ－ ３）／２］场， 故
ｍ＝（ ｎ－ １）＋（［ ｎ－ ３）／２］
科学之友
Ｆｒｉｅｎｄ ｏｆ Ｓ ｃｉｅｎｃｅ Ａｍａｔｅｕｒｓ
Ｂ ２００６年 ８月
关于“赛程安排”的数学建模
刘桂莲
（ 山西大同大学工学院， 山西 大同 ０３７００３）
摘 要： 利用状态转移法及合理假设， 为一个赛程安排问题设计了非常简便的编制办法， 使原来复杂的枚举过程简单化。 关键词： 赛程安排； 数学建模； 状态向量 中图分类号： Ｇ６３３．６ 文献标识码： Ａ 文章编号： １０００－ ８１３６（２００６）０８－ ００７８－ ０２
２
首先不含 Ａ 队的 ｎ－ １ 支球队共 ３ 比赛 Ｃｎ－ １ 场； 其次将 Ａ 队
与这 ｎ－ １ 个队分别比赛共 ｎ－ １ 场， 并将它 们 分 别 安 排 在 第 １ 场 ，
以及倒数第 １ 场、倒数第 ３ 场……倒数第（ ２ｎ－ ３） 场（ 其中 ｎ≥６） 。
２
故得： ｍ＝Ｃｎ－ １ ＋（
ｎ－ １）－（
２ 合理假设
为了使每支球队在不连续比赛的情况下， 尽可能地公平， 则 在安排赛程前做以下合理规定（ 即第 ３ 个问题中所说的衡量一个 赛程优劣的指标） 。
（ １） 未参加过比赛的球队要优先选取。 （ ２） 每场参赛球队应从 １， ２， ３， ４， ５ 中由小到大的编号选取（ 即 只有编号排在前面的球队比赛过了， 方可取编号排在后面的球队） 。 （ ３） 每次比赛结 束 后 ， 各 球 队 参 加 比 赛 的 次 数 最 多 相 差 不 能 超过 ２ 次（ 即不允许某队已比赛三场或四场而另有 １ 队却只比赛 了一场的现象出现） 。 （ ４） 球队每两场比赛中间相隔的场次数不能少于一次且不能 超过两场。 （ ５） 每支球队参赛总次数为 ４ 次。
（ ８）
（ 其中 ｎ≥６ 且 ｎ≥ｉ＋１）
总结： 从以上讨论我们的可以看出， 第 １ 类的第 １ 种和第 ２
种相对来说比较合理， 而 一 个 赛 程 安 排 中 如 果 出 现（ 包 括 第 ２ 类
在 内 的） 其 他 情 形 ， 虽 然 在 理 论 上 有 它 的 存 在 性 ， 但 实 际 中 不 仅
Ａ Ａ Ｂ１ Ｃ９ Ｄ３ Ｅ６
表１
赛程表
（ ｎ＝５）
Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ 每两场比赛间相隔场次数
１ ９３６
１２２
２ ５８
０２２
２
７ １０
４１０
５７
４
００１
８ １０ ４
１１１
Ａ， Ｅ 有利， 对 Ｄ 则不公平。 如何安排赛程， 对各支球队来说尽可能地公平呢？ 讨论以下
问题： （ １） 对于 ５ 支球队 的 比 赛 ， 给 出 一 个 各 队 每 两 队 比 赛 中 间 都
②Ｂ（ ｎ， ４， ３）
思路 １： 让 不 含 Ａ 队 的 ｎ－ １ 支 球 队 比 赛 ４ 轮 ， 共 进 行 ２（ ｎ－ １）
场， 然后从中选出两场， 让参加这两场的四支球队中的三支同 Ａ
队一起打首尾两场及正数（ 或倒数） 第 ３ 场比赛， 得：
ｍ＝２（ ｎ－ １）－ ２＋３－ ４＝２（ ｎ－ １）－ ３
（ ２）
当 ｉ 为奇数且 ｉ≥３ 时，
ｍ＝［ｎ／２（］ ｉ－ １）＋［ｎ／２］－ ［ｉ＋（ ｉ－ ２）］＝（ ｉ－ １）ｎ／２＋［ｎ／２］－ ２ｉ＋２
（ ３）
特殊的： 如果考虑整个赛程 Ｂ（ ｎ， ｎ， ｎ） ， 且对每个参赛队除要
求每两场不能相邻外没有其他任何限制条件， 则 Ａ 队每两场比
赛相隔的最大场次数 ｍ 按以下方法计算：
超过 ２ 次。
（ ４） 各球队每两 场 比 赛 中 间 相 隔 的 场 次 数 不 得 小 于 １ 次 ， 且
（ １， ２， ０， ０， ０） ，（ １， ０， ３， ０， ０） ，（ １， ０， ０， ４， ０） ，（ １， ０， ０， ０， ５） ， （ ０， ２， ３， ０， ０） ，（ ０， ２， ０， ４， ０） ，（ ０， ２， ０， ０， ５） ，（ ０， ０， ３， ４， ０） ， （ ０， ０， ３， ０， ５） ，（ ０， ０， ０， ４， ５）
在 ２００３ 年全国 大 学 生 数 学 建 模 比 赛 中 有 这 样 一 道 题 ： 你 所 在的年级有 ５ 个班， 每班 １ 支球队， 在同一块场地上进行单循环 赛， 共要进行 １０ 场比赛。下表 １ 是随便安排的一个赛程， 第 １ 场 Ａ 对 Ｂ， 第 ２ 场 Ｂ 对 Ｃ， …… 第 １０ 场 Ａ 对 Ｅ。 显 然 ， 这 个 赛 程 对
为 ｍ。
分以下两类情形加以讨论：
第 １ 类： Ｂ（ ｎ， ｉ， ｉ）
考虑 ｎ 支球队 ｉ 轮比赛， 寻找 Ａ 队比赛 ｉ 场时每两场比赛相
隔场次的最大值 ｍ。
分析： ①Ｂ（ ｎ， ２， ２） ： ｎ 支球队两轮共赛 ｎ 场， Ａ 队只能参加首
末两场比赛， ｍ 才是最大值， 即 ｍ＝ｎ－ ２。表明参加两轮比赛的 Ａ
同理： Ｂ（ ｎ， ５， ４）
ｍ＝２（ ｎ－ １）＋（［ ｎ－ １）／２］－ ２＋４－ ６＝２（ ｎ－ １）＋（［ ｎ－ １）／２］－ ４ 或 ｍ＝２（ ｎ－ １）
＋４＋（［ ｎ－ １）／２］－ ６＝２（ ｎ－ １）＋（［ ｎ－ ５）／２］－ ２
依次类推得出： Ｂ（ ｎ， ｉ， ｉ－ １）
当 ｉ 为奇数时， ｍ＝（ ｉ－ １（） ｎ－ １）／２＋（［ ｎ－ １）／２］－（ ３ｉ－ ７）／２
思 路 ２： 让 不 含 Ａ 队 的 ｎ－ １ 支 球 队 比 赛 ３ 轮 ， 共 进 行（ ｎ－ １）＋
（［ ｎ－ １）／２］场 ， 然 后 从（ ｎ－ １）支 队 中 选 出 三 支 同 Ａ 队 一 起 打 首 尾 两
场及正数（ 或倒数） 第 ３ 场， 剩余队结合可比赛［ｎ－ ４／２］场， 故
ｍ＝（ ｎ－ １）＋（［ ｎ－ １）／２］＋３＋（［ ｎ－ ４）／２］－ ４＝（ ｎ－ １）＋（［ ｎ－ １）／２］＋（［ ｎ－ ４）／２］－ １
１ 状态转移
（ １） 设 ５ 支 球 队 Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ， Ｅ 通 过 抽 签 的 方 式 确 定 编 号 为 １， ２， ３， ４， ５５ 个队， 且每支球队在下文中就用其所抽数字表示。
（ ２） 由于 ５ 支球队 来 自 不 同 的 班 级 ， 用 数 字 工 具 表 示 最 合 适 的是向量， 如果将 １， ２， ３， ４， ５ 依次表示成向量的一个分量， 就组 成一个五维向量。
２ｎ－ ３）＝１／２（
ｎ２－ ５ｎ＋８）
（ ４）
第 ２ 类： Ｂ（ ｎ， ｉ， ｉ－ １）
分析： ①Ｂ（ ｎ， ３， ２）
思 路 １： 让 不 含 Ａ 队 的 ｎ－ １ 支 球 队 比 赛 ３ 轮 ， 共 进 行（ ｎ－ １）＋
（［ ｎ－ １）／２］场， 然后， 从中选出一场， 让参加这场的两支球队同 Ａ 一
Ｐ（３ １， ０， ０， ０， ５） ： 按规定（ １） ， 优先取数字 ５， 再 由 规 定（ ２） ， 从 数字 １， ２ 中选 １。
其他同理， 有 Ｐ（４ ０， ２， ３， ０， ０） ， Ｐ（５ ０， ０， ０， ４， ５） ， Ｐ（６ １， ０， ３， ０， ０） ， Ｐ（７ ０， ２， ０， ４， ０） ， Ｐ（８ ０， ０， ３， ０， ５） ， Ｐ（９ １， ０， ０， ４， ０） ， Ｐ１（０ ０， ２， ０， ０， ５） 。
缺少说服力， 更缺少公平性， 所以不应采纳。
问题 ３
通过以上论述， 对衡量一个赛程优劣的指标作如下规定：
（ １） 未参加过比赛的球队要优先选取。
（ ２） 每场参赛球队应从 １， ２……ｎ 中由小到大的编号选取。
（ ３） 每场比赛结 束 后 ， 各 球 队 参 加 比 赛 的 次 数 最 多 相 差 不 能
（ ３） 当 ｎ＝５ 时 ， 可 以 从 问 题 １ 的 结 论 看 出 ， 各 队 每 两 场 比 赛
最多相隔两场。
（ ４） 记 号 Ｂ（ ｎ， ｉ， ｊ） 表 示 ｎ 支 球 队 比 赛 ｉ 轮 ， Ａ 队 参 赛 ｊ 场（ 其
中 ｎ≥６， ｎ≥ｉ＋１， ｉ≥２， ｉ≥ｊ） 。
（ ５） 对任意一支球 队 来 说 ， 设 每 两 场 比 赛 相 隔 的 最 大 场 次 数