取模运算————数学

蔡勒（Zeller）公式，是一个计算星期的公式，随便给一个日期，就能用这个公

式推算出是星期几W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1 或者是:w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1

w：星期； w对7取模得：0-星期日，1-星期一，2-星期二，3-星期三，4-星期四，5-星期五，6-星期六 c：世纪-1（前两位数） y：年（后两位数） m：

月（m大于等于3，小于等于14，即在蔡勒公式中，某年的1、2月要看作上一

年的13、14月来计算，比如2003年1月1日要看作2002年的13月1日来计算）d：日 [ ]代表取整，即只要整数部分。

以下是星期计算公式的推导·不想要推导可以不看

星期制度是一种有古老传统的制度。据说因为《圣经·创世纪》中规定上帝用了

六

天时间创世纪，第七天休息，所以人们也就以七天为一个周期来安排自己的工作

和生

活，而星期日是休息日。从实际的角度来讲，以七天为一个周期，长短也比较合适。所

以尽管中国的传统工作周期是十天（比如王勃《滕王阁序》中说的“十旬休暇”，

即是

指官员的工作每十日为一个周期，第十日休假），但后来也采取了西方的星期制度。

在日常生活中，我们常常遇到要知道某一天是星期几的问题。有时候，我们还

想知

道历史上某一天是星期几。通常，解决这个方法的有效办法是看日历，但是我们

总不会

随时随身带着日历，更不可能随时随身带着几千年的万年历。假如是想在计算机

编程中

计算某一天是星期几，预先把一本万年历存进去就更不现实了。这时候是不是有

办法通

过什么公式，从年月日推出这一天是星期几呢？

答案是肯定的。其实我们也常常在这样做。我们先举一个简单的例子。比如，知道

了2004年5月1日是星期六，那么2004年5月31日“世界无烟日”是星期几

就不难推算出

来。我们可以掰着指头从1日数到31日，同时数星期，最后可以数出5月31

日是星期一。

其实运用数学计算，可以不用掰指头。我们知道星期是七天一轮回的，所以5

月1日是星

期六，七天之后的5月8日也是星期六。在日期上，8-1=7，正是7的倍数。同样，5月15

日、5月22日和5月29日也是星期六，它们的日期和5月1日的差值分别是14、

21和28，也

都是7的倍数。那么5月31日呢？31-1=30，虽然不是7的倍数，但是31除以7，余数为2，

这就是说，5月31日的星期，是在5月1日的星期之后两天。星期六之后两天正是星期一。

这个简单的计算告诉我们计算星期的一个基本思路：首先，先要知道在想算的日子

之前的一个确定的日子是星期几，拿这一天做为推算的标准，也就是相当于一个计算的

“原点”。其次，知道想算的日子和这个确定的日子之间相差多少天，用7除这个日期

的差值，余数就表示想算的日子的星期在确定的日子的星期之后多少天。如果余数是

0，就表示这两天的星期相同。显然，如果把这个作为“原点”的日子选为星期日，那

么余数正好就等于星期几，这样计算就更方便了。

但是直接计算两天之间的天数，还是不免繁琐。比如1982年7月29日和2004年5月

1日之间相隔7947天，就不是一下子能算出来的。它包括三段时间：一，1982年7月29

日以后这一年的剩余天数；二，1983-2003这二十一个整年的全部天数；三，从2004年

元旦到5月1日经过的天数。第二段比较好算，它等于21*365+5=7670天，之所以要加

5，是因为这段时间内有5个闰年。第一段和第三段就比较麻烦了，比如第三段，需要把

5月之前的四个月的天数累加起来，再加上日期值，即31+29+31+30+1=122天。同理，第

一段需要把7月之后的五个月的天数累加起来，再加上7月剩下的天数，一共是155天。

所以总共的相隔天数是122+7670+155=7947天。

仔细想想，如果把“原点”日子的日期选为12月31日，那么第一段时间也就是一个

整年，这样一来，第一段时间和第二段时间就可以合并计算，整年的总数正好相当于两

个日子的年份差值减一。如果进一步把“原点”日子选为公元前1年12月31

日（或者天文

学家所使用的公元0年12月31日），这个整年的总数就正好是想算的日子的年份减一。这

样简化之后，就只须计算两段时间：一，这么多整年的总天数；二，想算的日子是这一

年的第几天。巧的是，按照公历的年月设置，这样反推回去，公元前1年12月31日正好是

星期日，也就是说，这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期几。那么现在的问题就

只有一个：这么多整年里面有多少闰年。这就需要了解公历的置闰规则了。

我们知道，公历的平年是365天，闰年是366天。置闰的方法是能被4整除的年份在

2月加一天，但能被100整除的不闰，能被400整除的又闰。因此，像1600、2000、2400

年都是闰年，而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年，按公历也是闰年。

因此，对于从公元前1年（或公元0年）12月31日到某一日子的年份Y之间的所有整年

中的闰年数，就等于

[(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]，

[...]表示只取整数部分。第一项表示需要加上被4整除的年份数，第二项表示需要去掉

被100整除的年份数，第三项表示需要再加上被400整除的年份数。之所以Y 要减一，这

样，我们就得到了第一个计算某一天是星期几的公式：

W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] +

D． (1)

其中D是这个日子在这一年中的累积天数。算出来的W就是公元前1年（或公元0年）12月

31日到这一天之间的间隔日数。把W用7除，余数是几，这一天就是星期几。比如我们来

算2004年5月1日：

W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] + (31+29+31+30+1)

= 731702，

731702 / 7 = 104528……6，余数为六，说明这一天是星期六。这和事实是符合的。

上面的公式(1)虽然很准确，但是计算出来的数字太大了，使用起来很不方便。仔