旋转与相似

2
证 M、D、F、G四点共圆：
连DM，由MADC四点共圆可知∠ DMC= ∠ DAC
F
又∠ DAC= ∠ DGF ∴ ∠ DMC= ∠ DGF，得证.
旋转相似中 存在两组四点共圆的应用
A D
M
G
C
1
2
A D
Rt△ADC≌ Rt △GDF， ∠ ADC=∠ GDF=90， 求∠ AMC的度数
M
G
C
F
探寻解决方法
寻求变化规律，以不变应万变
应用：求对应点连线比值、求对应点连线长
应用：求两组对应点连线夹角 求两组对应点连线交点的轨迹
应用：求点的运动轨迹长，求运动点的轨迹的解析式
旋转相似中的存在双重相似
基本图形：
如图， △AOB∽ △COD，且点A、点B的对应点分别 是点C,点D. 则可证 △ AOC∽ △ BOD.
B
D C
A
O
相似旋转型中由对应点连线段及所对旋转角 组成的两个三角形也相似。
旋转相似中 存在双重相似的应用
例1、如图4，△ABC与△DEF均 变式： 为等边三角形，O为BC、EF的中 点，则AD：BE的值为（ ）。
可证： △AOD ∽ △BOE ∴ AD：BE=AO：BO
旋转相似中对应点连线段的比值不变！
感谢聆听！
变与不变 多变归一
——探旋转相似型的解法
概念提出
旋转和相似是初中数学图形变换的重 要内容,两个知识点看似毫无关联,但它们 会同时出现在数学综合试题中,对于此类 题型我们不妨叫作“旋转相似型”。
学生解此类题的困惑
图形在变、旋转角度在变，对应点 之间的连线段长在变等等… 旋转中的变化元素成了解题的“绊脚石”！
可证M、A、D、C四点共圆和M、D、F、G四点共圆。
证 M、A、D、C四点共圆：
由双重相似可知△ ADG ∽ △ CDF ,
A
∴ ∠ AGD= ∠ CFD
M
∴ ∠ AMC= ∠ AGD+ ∠ 1+ ∠ 2
= ∠ CFD+∠ 1+ ∠ 2
G
D
C
1
=180- ∠ GDF =180- ∠ ADC
∴ ∠ AMC+ ∠ ADC=180，得证.
F （2015学年上学期期末第16题） 如图，△ABC，△EFG均是边长为4的 等边三角形，点D是边BC、EF的中点， 直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕 点D旋转时，∠AMC=（ ）线段BM长 的最大值是（ ）
旋转Fra Baidu bibliotek似中两个点的运动轨迹有共性
常见的，一个图形绕一定点旋转时， 则图像上任一点都在作圆弧运动。
应点连线段， ∠ ACA’ ，∠ BCB’
分别为所对旋转角。所以
△ACA‘∽△BCB’，可知AA’：
BB’=AC：BC=6：3√5，所以要
先求AA’的长。
求对应点连线段的长
旋转相似中的存在两组四点共圆
例：如图， △ADC ∽ △GDF，A、C的对应点分别是G、
F。当△GDF绕点D旋转时，直线AG、CF交于点M，则
作EH ⊥AB
H
可证△HEF ∽ △AEG
∴ EF：GE = HE：AE
= HE：BE
=
旋转相似中 存在双重相似的应用
例2、已知△ABC中，∠C=90°AB=9，
，
把△ABC 绕着点C旋转，使得点A落在点A’，点B落
在点B’．若点A’在边AB上，则点B、B’的距离____．
简析：
C
由题可知AA’,BB’是旋转中的对
旋转相似中 存在双重相似的应用
23．（12分）（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°， AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G， 点F在BC上． （1）如图1，AC:AB=1:2，EF⊥CB，求证：EF=CD． （2）如图2，AC:AB=1： ，EF⊥CE，求EF：EG的值．
旋转相似中两个点的运动轨迹有共性
四边形ABCD,AEFG都是正方形，点E为BC边 上一点，求证：点G一定落在直线CD上。
y
若AB=BC=2，
试描述点F的运动轨迹。
x
像这样的点E在作直线运动的旋转相似变换中，则其他 的对应点也都沿着各自的一条直线运动。
几点建议
1.基本模型牢记于心,以不变应万变 2.重视带领学生探究模型的重现过程 3.变式训练中体会模型的应用价值 4.培养学生方法能力的迁移过程 5.提高解决问题及归纳总结的能力