高中数学必修二：圆的方程

2019-2020学年高一数学必修二

第三节:圆的方程

1．圆的定义及方程

2．点与圆的位置关系

点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )

(2)方程(x －a )2＋(y －b )2＝t 2(t ∈R)表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＝0不一定表示圆．( )

(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 2

0＋Dx 0＋Ey 0＋F

>0.(

)

答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√

2．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )

A ．－4

3

B ．－3

4

C.3

D ．2

解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝

|a ＋4－1|a 2＋1

＝1，解得a ＝－4

3.

3．(教材习题改编)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________．

解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，

则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．

半径r ＝12|AB |＝1

2[1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.

∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2. 答案：x 2＋(y －3)2＝2

4．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________． 解析：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝－3

4a 2－a ＋1，因为该方程表示圆，所以－34a 2－a ＋1>0，即3a 2＋4a －4<0，所以－2

3

.

答案：⎝

⎛⎭⎫－2，2

3 5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4. 即a 2＜1，故－1＜a ＜1. 答案：(－1,1)

考点一 求圆的方程 (重点保分型考点——师生共研)

(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.

❶

(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；

❷

(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程.

❸

[学审题]

①由此条件可知，直线AB 的方程可设为x ＝my ＋2.如果设为点斜式，则需讨论斜率的

存在性；

②若坐标原点O 在圆M 上，则OA ⊥OB ； ③由此可知PA ⊥PB ，|MO |＝|MP |.

解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.

由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝my ＋2，y 2＝2x

可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 22

2，故x 1x 2＝(y 1y 2)24

＝4.

因此OA 与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－4

4＝－1，

所以OA ⊥OB .

故坐标原点O 在圆M 上．

(2)法一：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.

由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP ―→·BP ―→

＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.

所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－1

2

.

当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.

当m ＝－1

2时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为

854

，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝85

16. 法二：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )． 又圆M 过坐标原点O 和点P (4，－2)， ∴|MO |＝|MP |，

即(m 2＋2)2＋m 2＝(m 2－2)2＋(m ＋2)2， 整理得2m 2－m －1＝0， 解得m ＝1或m ＝－1

2

.

当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，