多元复合函数的偏导数(一)

链式法则(多元套多元)
Baidu Nhomakorabea
如果u = ©{x, y)及v =屮(x, y)都在点 (x,
y)具有对x和y的偏导数，且函数z = f ( u, v) 在对
应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z = f泌 (x, y ),^( x, y)］在对应点(x, y)的两个偏 导数存
在，且可用下列公式计算
dz dz du dz dv dz dz du dz dv
重J =
I---，
=
I---.
dx du dx dv dx dy du dy dv dy
链式法则如图示
dz dz 合〃 dv
=—. H---dx du dx dv dx dz dz du dz dv
= • — H--dy du dy dv dy
。 w 在对类应似点地(x再,y推)的广两，个设偏u导=数存在，且可(x用,y下)、列v公=式计(算X,y)> w =
dy
dy
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类 似
两者的区别
r1
1
把 z=f ( u, x, y)
把复合函数z = f [©( x, y ), x, y ] 中的"及y看作不
中的y看作不变而萍的偏导数 变而对x的偏导数
例设z = eu sin v，而u = xy, v = x + y,
求勿和四.
dx dy
解 dz dz du
dz dv
特殊地 z = f (u,x,y)其中 u - ©(x,y)
即 z = f [©( x, y), x, y ],令 v = x, w = y,
卽, dw dv dw ,
——=1, = 0, = 0,——=1.
dzd\_xdf dOxu * dfy
dx\
du dx
dx ^
涉dz 区=df .勿+ du f 别
dx du dx
H--dv dx
=eu sin v - y + eu cos v -1 = eu (y sin v + cos
v), dz dz du dz dv —= •— + •dy du dy dv dy
=eu sin v - x + eu cos v -1 = eu (x sin v + cos v).
一元函数求导法则:
° y = /(u)，u = (x) ■口 > y = /(p(x))=y(x)
空=虫空=/，( u)^ (x)
Tf
Tf
Tf *Z X Z J
XZ
dx du dx
dy du
一元函数的^链式则y du > u dx > x
多元函数的复合情况要复杂一些 （一） 多元与多元的复合 （二） 多元与一元的复合 （三） 一元与多元的复合
三,小结
链式法则（多元套多元）
dz dz du dz dv dz 伽
—=---1----1---
w(x,y)都在点
。 叭 dx du dx dv dx dw dx
(x,d—yz)=具dz有+d对u—xd和z…yd的v 偏dz导d数w，复合函数z = f [
( x, y),
x,
y),dwy( dxu, yd)y] dv dy dw dy