第17讲带圆孔平板的均匀拉伸

§7.6 带圆孔平板的均匀拉伸

学习思路:

平板受均匀拉力q作用，平板内有半径为a的小圆孔。圆孔的存在，必然对应力分布产生影响。孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍远处的应力。这种现象称为应力集中。

孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。

根据上述分析，在与小圆孔同心的厚壁圆筒上，应力可以分为两部分：一部分是沿外圆周作用的不变的正应力，另一部分是以三角函数变化的法向力和切向力。对于前者是轴对称问题；或者根据问题性质可以确定应力函数后求解。

孔口应力分析表明，孔口应力集中因子为3。

学习要点：

1. 带圆孔平板拉伸问题；

2. 厚壁圆筒应力函数；

3. 应力与边界条件；

4. 孔口应力。

设平板在x方向受均匀拉力q作用，板内有一个半径为a的小圆孔。圆孔的存在，必然对应力分布产生影响。如图所示。孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍远处的应力。这种现象称为应力集中。

孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。随着距离增加，在离孔口较远处，这种影响也就显著的减小。

根据上述分析，假如b与圆孔中心有足够的距离，则其应力与无圆孔平板的分布应该是相同的。因此

上述公式表明在与小圆孔同心的，半径为b的圆周上，应力可以分为两

部分：一部分是沿外圆周作用的不变的正应力，其数值为；另一部分是随ϕ

变化的法向力cos2ϕ 和切向力sin2ϕ。

对于沿厚壁圆筒外圆周作用的不变的正应力，其数值为。由此产生的应力可用轴对称应力计算公式计算。则

这里，将均匀法向应力作为外加载荷作用于内径为a，外径为b的厚壁圆筒的外圆周处。使得问题成为一个典型的轴对称应力。

对于厚壁圆筒的外径作用随2ϕ 变化的法向外力cos2ϕ 和切向外力sin2ϕ ，如图所示。

根据面力边界条件，厚壁圆筒的应力分量也应该是2ϕ 的函数。由应力函数与应力分量的关系可以看出，由此产生的应力可以由以下形式的应力函数求解，即

将上述应力函数表达式代入变形协调方程

，可得f（ρ）所要满足的方程

即

上述方程是欧拉(Euler)方程，通过变换可成为常系数常微分方程，其通解为

因此，将其代入公式 ,可得应力函数为

因此，应力分量为

应力分量表达式中的待定常数A，B，C，D可用边界条件确定，本问题的面力边界条件为

将应力分量代入上述边界条件，则

联立求解上述方程，并且注意到对于本问题，a/b≈0,可得

将计算所得到系数代入应力分量公式

，则

将随ϕ变化的法向力cos2ϕ 和切向力sin2ϕ 的计算所得结果与沿外圆周作用的不变的正应力结果相叠加，则

上述应力分量表达式表明，如果ρ 相当大时，上述应力分量与均匀拉伸的应力状态相同。

对于孔口应力，即ρ =a时，有

最大环向应力发生在小圆孔的边界上的ϕ =π/2 和ϕ =3π/2 处，其值为

σϕ max = 3q

这表明，当板很大而孔很小时，则圆孔的孔口将有应力集中现象。通常把最大应力与平均应力的比值用于描述应力集中的程度。即

K称为应力集中因子。对于平板受均匀拉伸问题，K=3。

§7.7 楔形体顶端受集中力或集中力偶

学习思路:

本节将推导有关楔形体的几个有实用价值的解答。

对于弹性力学问题的求解，重要的问题是确定应力函数的形式。由于楔形体几何形状的特殊性，本身没有任何描述长度的几何参数，借助于几何特性，可以找到应力函数的基本形式，然后根据变形协调方程得到应力函数。

楔形体弹性力学解答可以推广为半无限平面应力的解答，这对于工程问题的求解具有指导意义。

学习要点：

1. 楔形体作用集中力问题的应力函数；

2. 楔形体边界条件；

3. 楔形体应力；

4. 半无限平面作用集中力；

5. 楔形体受集中力偶作用；

6. 楔形体受集中力偶作用的应力。

讨论题：楔形体顶端应力和无穷远应力分析

设有一楔形体，其中心角为α，下端可以认为是伸向无穷远处。

首先讨论楔形体在其顶端受集中力作用，集中力与楔形体的中心线成β 角。设楔形体为单位厚度，单位厚度所受的力为F，极坐标系选取如图所示。

通过量纲分析可以确定本问题应力函数的形式。由于楔形体内任一点的应力分量将与F成正比，并与α，β，ρ 和ϕ 有关。由于F的量纲为MT-2，ρ的量纲为L-1，而α，β和ϕ 是无量纲的，因此各个应力分量的表达式只能取ρ 的负一次幂。

而根据应力函数表达式，其ρ的幂次应比各应力分量ρ 的幂次高两次。因此可以假设应力函数为ϕ 的某个函数乘以 ρ 的一次幂。有

将上述应力函数表达式代入变形协调方程

，可得f ( ) 所要满足的方程。即

求解上式，可得

其中A，B，C和D为待定常数，将上式代入应力函数表达式可得，

由于为线性项，不影响应力分量的计算，因此可以删去。因此应力函数为

由应力分量表达式，可得楔形体的应力分量

现在的问题是利用面力边界条件确定待定常数。楔形体左右两边的面力边界条件为

已经自然满足。此外还有一个应力边界条件：在楔形体顶端附近的一小部分边界上有一组面力，它的分布没有给出，但已知它在单位宽度上的合力为F。

如果取任意一个截面，例如圆柱面ab，如图所示。

则该截面的应力分量必然和上述面力合成为平衡力系，因此也就必然和力F 形成平衡力系。

于是得出由应力边界条件转换而来的平衡条件

将应力分量表达式代入上式，则

积分可得

即

将常数C和D代入应力分量表达式

，则本问题的解答为

上述楔形体应力在 等于0时，将趋于无限大。即在载荷作用点的应力无限大，解答是不适用的。但是如果外力不是作用于一点，而是按照上述应力分布作用于一个小圆弧区域，上述解答则为精确解。

根据圣维南原理，除了力的作用点附近，解答是有足够精度的。