专题：二次函数中的相似问题

二次函数中的相似问题 导学稿（专题）

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课题：二次函数与相似问题 课型：新授 主备： 九年级数学组 审核 九年级数学组

例1.已知抛物线经过A （－2，0），B （－3，3）及原点O ，顶点为C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，

是否存在点P 使得以点P 、M 、A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，

求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

例2.把抛物线 向左平移

1个单位，再向下平移4个单位， 得到抛物线 所得抛物线与轴交于A,B 两点（点A 在点B 的左边），与轴交于点C ，顶点为D.

（1）写出h,k 的值；（2）判断 的形状，并说明理由；

（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM 与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.

例3.抛物线 与X 轴的两个交点分别为A （-3，0）

、B （1，0）， 过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H .

（1）直接填写：a= ，b = ，顶点C 的坐标为 ；

（2）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC

于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.

2

y x =2()y x h k =-+ACD △32++=bx ax y

例4.如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．

(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE

(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．

练习一

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3：2．

（1）求这条抛物线对应的函数关系式；

（2）连接BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由

（3）连接BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

练习二

如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，设E 是抛物线上在第一象限内的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点F 作FG 垂直于x 轴于点G ，再过点E 作EH 垂直于x 轴于点H ，得到矩形EFGH ．则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长

（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 轴的垂线，垂足为点M ，过点M 作MN ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．

练习三：

如图①，已知二次函数223y x x =-++的图像与x 轴交于点,,A B 与y 轴交于点C

（1）求ABC ∆的面积；

（2）点M 在OB 边上以每秒1个单位的速度从点O 向点B 运动，点N 在BC 2个单位的速度从点B 向点C 运动，两个点同时开始运动，同时停止。设运动的时间为t 秒，试求当t 为何值时，以,,B M N 为顶点的三角形与BOC ∆相似？

（3）如图②，点P 为抛物线上的动点，点Q 为对称轴上的动点，是否存在点,P Q 使得以,,,P Q C B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。