同济六版高等数学下册第十章 习题课

y
P

y
f ( x , y , z )dxdydz

f ( r sin cos , r sin sin , r cos )r

2
sin drd d .
20
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相关的知识点
1、强调积分是一个数值，只和被积函数和积分区域 有关，与积分变量的记法无关. 2、对于二重积分： （1）根据被积函数和积分区域选择合适的坐标系 （直角坐标，极坐标）.先作出图形，若积分区域为 扇形或圆、圆环，最好用极坐标；若被积函数用直角 坐标积分积不出，例如
sin x 0 e dx e dx , x dx等 ，试选择极坐标.(
x
2
b a
1 x
b a
注意积分次序.)
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为什么引用极坐标计算二重积分
I
y
f ( x , y )d xdy
D
D: x y 和 x y
之间的环域




I

c2
z

先做二重积分，后做定积分
z
Dz
c1
0 y
x
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计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）
I f ( x , y , z )dxdydz

c2
z

先做二重积分，后做定积分
z
Dz
c1
0
.
y
x
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计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）
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8、三重积分的计算
(１) 直角坐标
: z1 ( x , y ) z z2 ( x , y ); y1 ( x ) y y2 ( x ); a x b.
f ( x , y , z )dv dx
a
b
y2 ( x )
y1 ( x )

D1 D2 D3 D4
.
怎么计算？
必须把D分块儿!
D3
D
D1
0 1
D2
2 x
D4
此题用直角系算麻烦 需使用极坐标系！
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(2)在直角坐标系中，先作出图形，然后根据被积函 数、积分区域选择合适的积分次序，选择时首先要 保证被积函数能积出，其次使积分区域尽量简单. (3)含有绝对值号的，含有max{},min{}的， 根据图形划分区域去掉绝对值号. （4）充分利用对称性来化简积分. 3、对于三重积分： （1）充分利用对称性来化简积分.
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若 的边界曲面与球面有关，而被积函 数中含有 x y z 的因子，则以选用 球面坐标系.
2 2 2
其余的可考虑选用直角坐标系.直角坐标系中 还有先一后二、先二后一（截面法）方法， 注意截面法所要求的条件.
z

z
o
D
y
x
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例1 计算二重积分
D
即
f ( i , i ) i f ( x , y )d lim 0 i 1
D
n
２、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
3
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３、二重积分的性质
性质１
当 k 为常数时，
kf ( x , y )d k f ( x , y )d .
重积分习题课
一、主要内容
定 义 定 义
二 重 积 分
几何意义 几何意义
性 质 性 质
计算法
计算法
三 重 积 分
1
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1、二重积分的定义
定义 设 f ( x , y ) 是有界闭区域 D 上的有界函数，将闭
n ， 区域 D 任意分成n 个小闭区域 1 ， 2 , ，
i 个小闭区域，也表示它的面积，在每 其中 i 表示第
2 ( )
1 ( )
f (r cos , r sin )rdr.
8
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域D如图
r ( )
, D: 0 r ( ).
D

o

A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d
c2
z

先做二重积分，后做定积分
I=

c2
c1
dz
f ( x,y,z)dxdy
Dz
c1
0 y
.
x
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z
(２) 柱面坐标
x r cos , y r sin , dv rdrddz, z z.
M ( x, y, z )
o

r
P(r , )
f ( x , y )d
D
f ( , ) .
（二重积分中值定理）
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二重积分在直角坐标下的计算公式
f ( x, y )d dx
f ( x, y )d
D
b
2 ( x )
D
a
1 ( x )
2 ( y )
f ( x , y )dy. (先y后x)
D D
性质２
[ f ( x, y ) g( x, y )]d
D
f ( x , y )d g ( x , y )d .
D D
4
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性质３
对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
D1 D2
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d .
f ( x , y )dx. (先x后y)
［Y－型］ c y d, 1 ( y ) x 2 ( y ).
d
d
c
dy
1 ( y )
［X－型］ a x b, 1 ( x ) y 2 ( x ).
y 2 ( x )
D
y 1 ( x )
a
b
x 1 ( y )
23
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(2) 选择合适的积分区域： 一般地,当积分区域在坐标面上的投影区域是圆或者 扇形域,被积函数含有式子x2+y2时,用柱坐标计算比 较简单(x2+y2=r2).注意投影的区域尽可能的简单.
2 2 z 2 a x y 例 求由曲面 x y az 和 ( a 0) 所围立体的体积 . 2 2
D D
5
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性质６ 设M 、m 分别是 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的最
大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x , y )d M
D
（二重积分估值不等式）
D 上连续， 为 D 性质７ 设函数 f ( x , y ) 在闭区域
的面积，则在 D 上至少存在一点( , ) 使得
e
D
max{ x 2 , y 2 }
dxdy , 其中D {( x , y ) : 0 x 1,0 y 1}.
练习. 计算二重积分
(1) I sgn( y x )d x d yD , : 1 x 1， 0 y 1; D
2
( 2 ) I ( x 2 y 2 2 xy 2) d x d y ,其中D 为圆域
Dz
先二后一
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z
z z2 ( x , y ) z2 S 2
z1 S1

z z1 ( x, y )
a
b
o
( x, y)
D
y
y y2 ( x )
x
y y1 ( x )
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
F ( x, y )d [
D D
0
2
( )
0
f ( r cos , r sin )rdr .
极坐标系下区域的面积
dxdy rdrd .
D
D
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5、三重积分的定义
上的有界函 设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 v2 , 任意分成 n 个小闭区域 v1 ， 数，将闭区域 i 个小闭区域，也表示它的 , v n ，其中v n 表示第 体积, 在每个vi 上任取一点( i , i , i ) 作乘积 f ( i , i , i ) v i ，( i 1,2, , n ) ，并作和, 如果当各 小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时，这和式 的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 上的三重积分，记为
dy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz .
{( x, y, z ) ( x, y ) Dz , c1 z c2 }.
先一后二
f ( x , y , z )dv

13
c2
c1
dz f ( x , y , z )dxdy.
D
性质４
性质５
若 为D的面积 1 d d . 若在D上， f ( x , y ) g( x , y )
D D
f ( x , y )d g( x , y )d .
D D
特殊地
f ( x, y )d f ( x, y ) d .
x 2 y 2 z 2 1
ax by
2
dxdydz
x y 1
x y
2
dxdy
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I f ( x , y , z )dxdydz

c2 z
z
Dz

先做二重积分，后做定积分
I=

.
c2
c1
dz
f ( x,y,z)dxdy
Dz
c1
0 y
x
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计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）
I f ( x , y , z )dxdydz

f ( x , y , z )dz]d .
dx
a
14
b
y2 ( x )
y1 ( x )
dy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz.
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计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）
I f ( x , y , z )dxdydz
f ( x , y , z )dv lim f ( , ,

0
i i i 1
n
i
) v i .
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6、三重积分的几何意义
当 f ( x , y , z ) 1 时,
dv V 表示空间区域的体积．

7、三重积分的性质
类似于二重积分的性质．

y
x
f ( x , y , z )dv

f ( r cos , r sin , z )rdrddz .

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(３) 球面坐标
z

r

M ( x, y, z )
z
o x r sin cos , x A y r sin sin , x z r cos . dv r 2 sindrdd ,



( )
0
f ( r cos , r sin )rdr.
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二重积分化为二次积分的公式（３）
区域D如图 0 2,
r ( )
D: 0 r ( ). f (r cos , r sin )rdrd
D
D
o
A
d
个 i 上任取一点( i , i ) ， 作乘积 并作和
f ( i , i ) i ，
( i 1,2,, n) ，
f ( i , i ) i ，
i 1
n
2
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如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y )在闭区域 D 上的二重积分， 记为 f ( x , y )d ，
D
x 2 ( y )
c
7
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（２）极坐标系下 区域D如图
r 1 ( )
r 2 ( )
, D: 1 ( ) r 2 ( ).
D

o

A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d



D
在第一象限部分.
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例2 计算二重积分 0 0
a
a 2
( a x y ) （其中 a 0 是常数）.
2 2
3 2
dxdy
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例3 计算
x 2 y 2 1

(2 x y ) dxdy
2
2
x y a b dxdy x 2 y 2 1