感生电动势的分析

感生电动势的分析

文／占幸儒

感应电动势是由于通过闭合导体回路的磁通量发生变化而产生的．而导致磁通量变化的方式有两种，所以感应电动势可分为两种类型：一是磁场不变，导体在磁场中运动；二是导体不动磁场在变化．由前一种原因产生的感应电动势称为动生电动势，后一种原因产生的感应电动势称为感生电动势（现行教材对这两种电动势未作区分）．感生电动势是由于变化的磁场在它周围所激发的电场（涡旋电场）作用于导体中的自由电子而产生的．它的大小等于作用于单位电荷绕导体回路一周涡旋电场力所做的功，即＝∮Ｅ·ｄｌ．需注意的是涡旋电场与静电场不同，它对电荷做功是与路径有关的，由此产生的感生电动势是分布在整个导体回路的．由于高中知识的局限，学生对涡旋电场的特点以及感生电动势的起因认识不足，因此在学习和应用中对相应的一些问题感到似是而非，对于感生电动势在概念上的理解和计算出错较多．本文将通过对以下几例的分析，说明在这一内容的教学中应注意的一些问题．

例1如图1所示，两个正方形导线框1、2边长都是Ｌ，两个线框的一对对角上分别接有短电阻丝（图中用粗黑线表示），

图1

其阻值ｒ

１＝ｒ

１

′＝ｒ

２

＝ｒ

２

′＝ｒ，线框电阻不计．两框交叠放在水平面上，

对应边互相平行，交叠点Ａ、Ｃ位于所在边的中点，两框交叠处彼此绝缘，在两框的交叠区域内存在方向竖直向上的匀强磁场，交叠区恰好在磁场边缘内，当磁场的磁感强度从零均匀增加时，即Ｂ＝ｋｔ（ｋ为常量），求：

（1）通过电阻ｒ

１和ｒ

２

的电流Ｉ

１

和Ｉ

２

的大小和方向．以及线框两边中点

Ａ、Ｃ间的电压Ｕ

ＡＣ

．

（2）若交叠处导通，通过ｒ

１和ｒ

２

的电流Ｉ

１

′和Ｉ

２

′又如何?

解析（1）根据楞次定律，可知两线框中感生电流的方向为顺时针方向．由于交叠处彼此绝缘，对每一个正方形线框来说，其中的磁场面积均为交叠区域的面积．如图2所示，每个线框所产生的感生电动势为

＝ΔΦ／Δ

ｔ＝（ΔＢ／Δ

ｔ

）Ｓ

小

＝ｋＬ2／4，

图2

（上式中Ｓ

小

为交叠区域的磁场面积．不少学生用正方形线框面积代入计算得出＝ｋＬ2是错误的）

所以线框中的电流为

Ｉ

1＝Ｉ

２

＝／2ｒ＝ｋＬ２／8ｒ．

在计算Ａ、Ｃ两点的电压时，很多学生作如下解答：回路中的感生电动势

＝ΔΦ／Δ

ｔ＝（ΔＢ／Δ

ｔ

）Ｓ

小

＝ｋＬ２／4，

回路中的电流Ｉ

１

＝／2ｒ＝ｋＬ２／8ｒ，所以Ａ、Ｃ两点的电压大小为

Ｕ

ＡＣ＝Ｉ

１

ｒ

１

＝（ｋＬ２／8ｒ）ｒ

１

＝ｋＬ２／8．

以上这种解法是错误的．

由于交叠区域变化的磁场所激发的涡旋电场波及整个线框及其周围，由此所产生的感生电动势应分布在整个正方形线框导体内，以上解答是把ｒ

１

（ＡＢＣ段）看作外电路（如图3所示），认为感生电动势只分布在磁场区域中的ＡＤＣ段是错误的．实际上线框中ＡＢＣ段也分布着感生电动势′．用等效方法很容易求出ＡＢＣ这部分导体的感生电动势′．

将整个正方形线框产生的感生电动势等效为如图4所示的小正方形（交叠区）ＡＥＣＤ中产生的感生电动势．显然图3中大正方形线框中的ＡＢＣ这部分导体中产生的感生电动势′等效于图4中ＡＥＣ这部分导体中产生的感生电动势，其大小与ＡＤＣ部分导体中产生的感生电动势是相等的，即

图３图4

′＝

ＡＥＣ＝

ＡＤＣ

＝（1／2）Δ（Φ／Δ

t

）

＝（1／2）（ΔＢ／Δ

ｔ）Ｓ

小

＝（1／2）（ｋＬ2／4）＝（1／8）ｋＬ

2，

按以上分析画出如图5所示的等效电路，显然，正确的答案应为Ｕ

ＡＣ

＝′

－Ｉ

1ｒ

1

＝（1／8）ｋＬ2－（ｋＬ2／8ｒ）ｒ＝0．

类似上述问题在不少资料中出现．如很多复习书中都有这样一道题：

一均匀导线做成的正方形线圈，边长为Ｌ，线圈一半放在磁场中，如图6所示，当磁场以Ｂ＝ｋｔ均匀变化时，求线圈中点ｅ、ｆ两点的电势差．几乎一致的解法都是把线圈ｅｆｃｄ段当作外电路，没有考虑ｅｆｃｄ中分布的感生电动势，而出现类似上例中的错误，这一点在教学中要予以注意．

图5图6

（2）交叠处导通时，不少同学画出如图7所示的等效电路求解，意思在于把包含磁场（交叠区）的小框看作是两个电动势均为′（′＝（1／2）（Δ

Ｂ／Δ

ｔ）Ｓ

小

＝（1／8）ｋＬ２），内阻分别为ｒ

2

、ｒ

1

′的电源串联的内电路，

而把左、右大框中的ｒ

1、ｒ

2

′当作外电路，显然，这种想法是错误的．由于交

叠处导通，则两线框就连成闭合回路．从交叠区小框回路看，相当于图8（ｂ）所示的等效电路．设回路中产生的感生电动势为，所以回路左、右两半中的电动势′＝（1／2）．

图7图8

再从左、右两大框构成的回路看，它相当于图9所示的等效电路．由于这个回路所包含的变化磁场的面积就是图8（ａ）中小框（交叠区）的面积，所以回路中产生的感生电动势同为，回路中左、右两半中的感生电动势亦为′＝（1／2）．综合图7、图8、图9各图，所以整个闭合回路应画成如图10所示的等效电路．图中

′＝（1／2）＝（1／2）（ΔＢ／Δ

ｔ）Ｓ

小

＝（1／8）ｋＬ２，