2014初中数学基础知识讲义—分式方程及应用
初二数学分式方程及其应用(基础)
分式方程及其应用（基础）学习目标1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题．要点梳理要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点梳理要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.∙类型一、判别分式方程∙类型二、解分式方程∙类型三、分式方程的增根∙类型四、分式方程的应用典型例题类型一、判别分式方程1、下列方程中，是分式方程的是（）．A．B．C．D．，（，为非零常数）类型二、解分式方程2、解分式方程（1）；（2）【变式】解方程：．类型三、分式方程的增根3、m为何值时，关于的方程会产生增根？【变式】如果方程有增根，那么增根是________．类型四、分式方程的应用4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树?【变式】两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快?巩固练习一.选择题1．下列关于的方程中，不是分式方程的是（）A． B．C． D．2．解分式方程，可得结果( )．A. B. C. D. 无解3．要使的值和的值互为倒数，则的值为( )．A. 0B. －1C.D. 14．已知，若用含的代数式表示，则以下结果正确的是( )．A. B. C. D.5．若关于的方程有增根，则的值为( )．A. 3B. 1C. 0D. －16．完成某项工作，甲独做需小时，乙独做需小时，则两人合作完成这项工作的80％，所需要的时间是( )．A. 小时B. 小时C. 小时D. 小时二.填空题7. 当＝______时，分式与的值互为相反数．8．仓库贮存水果吨，原计划每天供应市场吨，若每天多供应2吨，则要少供应______天．9．＝______时，两分式与的值相等．10．当＝______时，关于的方程的根是1．11．若方程有增根，则增根是______．12．关于的方程的解是负数，则的取值范围为____________．三.解答题13. 解下列分式方程：（1）；（2）；（3）．14. 甲、乙两地相距50，A骑自行车，B乘汽车，同时从甲城出发去乙城．已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，B中途休息了0.5小时还比A早到2小时，求自行车和汽车的速度．15. 有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．。
《分式方程》 讲义
《分式方程》讲义一、什么是分式方程在我们学习数学的过程中，方程是一个非常重要的概念。
之前我们接触过一元一次方程、二元一次方程等，今天我们要来认识一种新的方程类型——分式方程。
那到底什么是分式方程呢？分式方程是指方程里含有分式，并且分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
比如说，像这样的方程：＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，＄＼frac{2}｛x} ＋ 3 ＝ 5$ ，它们都是分式方程。
因为在这些方程中，分母中都含有未知数。
二、分式方程的解法接下来，我们重点来学习一下分式方程的解法。
解分式方程的一般步骤可以总结为以下几步：1、去分母这是解分式方程最为关键的一步。
我们要找到所有分式的最简公分母，然后将方程两边同时乘以这个最简公分母，把分式方程化为整式方程。
例如，对于方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，最简公分母是＄x 1$ ，方程两边同时乘以＄x 1$ ，得到＄x ＝ 2(x 1)＄。
2、解整式方程完成去分母后，我们得到了一个整式方程。
接下来，按照解整式方程的方法求解这个方程。
就以上面得到的整式方程＄x ＝ 2(x 1)＄为例，展开得到＄x ＝2x 2$ ，移项可得＄2x x ＝ 2$ ，即＄x ＝ 2$ 。
3、检验这一步非常重要，却很容易被忽略。
我们将求得的解代入原分式方程的分母中，如果分母不为零，那么这个解就是原分式方程的解；如果分母为零，那么这个解就是增根，原分式方程无解。
还是以方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ 为例，把＄x ＝ 2$ 代入分母＄x 1$ ，＄2 1 ＝ 1$ ，不为零，所以＄x ＝ 2$ 是原方程的解。
三、分式方程的增根在解分式方程的过程中，增根是一个需要特别关注的概念。
增根是分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为零的根。
为什么会产生增根呢？这是因为在去分母的过程中，我们乘以了一个含有未知数的式子，这个式子有可能为零。
而等式两边同乘以零是不符合数学规则的，所以可能会产生额外的根，也就是增根。
《分式方程》课件
检验：当x=1.5时，3(x-1)=1.5≠0，
所以原分式方程的解是x=1.5.
分式方程的常数项“1”也要乘以最简公分母3(x-1).
4
2.解分式方程：x2 -1
1
x -1
x 1.
解：方程两边同乘(x+1)(x-1)，得4+x2-1=(x-1)2，
解得x=-1.
检验：当x=-1时，(x+1)(x-1)=0，
1 x-6
1 x-8
.
通分，得
x2
-2 - 6x
8
-2
x2 -14x 48.
所以x2-6x+8=x2-14x+48， 解得x=5. 经检验，x=5是原分式方程的解. 所以原分式方程的解为x=5.
课堂小结
解分式 方程
基本 思路
步骤
分式 去分母 整式 方程 转化 方程
一去 二解 三验 四写
拓展提升
1.解分式方程： x -1 x - 7 x - 3 x - 5 . x-2 x-8 x-4 x-6
分析： 观察原方程发现每一项分式的分母加1都等于它
的分子，将分子拆成分母与1的和，分别除以分母，消
所以x=-1不是原分式方程的解. 分式方程的常数项
所以原分式方程无解.
“1”也要乘以最简 公分母(x+1)(x-1).
3.解分式方程：4xx2 -11
3 2x 1
-
4 4x -
.
2
解：原分式方程可化为
(2x
x 1 1)( 2 x
-1)
3 2x 1
-
2
2x -1,
方程两边同乘(2x+1)(2x-1)，得x+1=3(2x-1)-2(2x+1) ， 解得x=6， 检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0， 所以原分式方程的解是x=6.
《分式方程》 讲义
《分式方程》讲义一、分式方程的定义首先，咱们来聊聊啥是分式方程。
分式方程啊，就是指方程里含有分式，并且分母里含有未知数的方程。
比如说，像这样的方程：＼（＼frac{x}｛x 1} ＝ 2\），＼（＼frac{3}｛x ＋ 2} ＝ 5\），这里的＼（x 1\）、＼（x ＋ 2\）就是分母，而且里面都有未知数＼（x\），所以它们就是分式方程。
那为啥要研究分式方程呢？因为在很多实际问题中，我们常常会遇到这种形式的方程，通过求解分式方程，就能找到问题的答案。
二、分式方程的解法接下来，重点讲讲分式方程咋解。
解分式方程的关键步骤就是去分母，把分式方程转化为整式方程。
举个例子，对于方程＼（＼frac{x}｛x 1} ＝ 2\），我们在方程两边同时乘以＼（x 1\），得到＼（x ＝ 2(x 1)＼）。
这时候就得到了一个整式方程，接下来就可以按照整式方程的解法来求解啦。
展开式子：＼（x ＝ 2x 2\），然后移项：＼（2x x ＝ 2\），解得＼（x ＝ 2\）。
但是，这里要特别注意！解完之后一定要检验！为啥要检验呢？因为在去分母的过程中，我们乘以了一个含未知数的式子，可能会产生增根。
所谓增根，就是使分母为＼（0\）的根。
比如上面这个例子，把＼（x ＝ 2\）代入原方程的分母＼（x1\），＼（2 1 ＝ 1\neq 0\），所以＼（x ＝ 2\）是原方程的根。
再看个例子，方程＼（＼frac{1}｛x 2} ＋ 3 ＝＼frac{x 1}｛x 2}＼）。
先在方程两边同时乘以＼（x 2\），得到＼（1 ＋ 3(x 2) ＝ x1\）。
去括号：＼（1 ＋ 3x 6 ＝ x 1\），移项：＼（3x x ＝ 1 1 ＋ 6\），合并同类项：＼（2x ＝ 4\），解得＼（x ＝ 2\）。
检验一下，把＼（x ＝ 2\）代入原方程分母＼（x 2\），＼（2 2 ＝ 0\），所以＼（x ＝ 2\）是增根，原方程无解。
三、分式方程的应用分式方程在实际生活中有很多用处呢。
初二数学培训讲义第3讲 分式方程及其应用
第三讲分式方程及其应用一、主要知识点回顾1．分式方程：分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程。
2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
3．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否。
4．易错知识点辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项（整式项）；还要注意符号。
（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法：①可代入最简公分母，使最简公分母为0的值是原分式方程的增根，应舍去；②也可直接代入原方程验根。
（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值。
二、感悟与实践例题1：解方程：（1）326x x=-；（2）2110525x x=--；变式练习1：解方程：（1）512552xx x+=--；（2）2236111x x x+=+--；例题2：若关于x的方程31422kx x--=--无解，求k的值。
变式练习2：（1）已知关于x的方程122ax x=+-无解，则实数a＝。
（2）已知关于x的方程2122x mx x-=--的解为正数，求m的取值范围是_______。
例题3：“要致富，先修路！”甲乙两地相距360千米，为更好的促进甲、乙两地经济往来，新修的高速公路开通后，在甲乙两地间行驶的客运车辆平均车速提高了50%，而从甲到乙的时间比原来缩短了2小时，求原来车辆的平均速度是多少?变式练习3：A、B两地相距45千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B 地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）。
A．4545944x x+=+-B．4545944x x+=+-C．4549x+=D．9090944x x+=+-例题4：在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造。
2014初中数学基础知识讲义—分式
【知识点链接】分式⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩分式有理式分式的有关概念最简分式最简公分母分式的基本性质分式的运算分式方程的解法与应用1. 分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果除式B 中含有 ，那么称 A B为分式． 下列式子是分式的是（ ） A 、2x B 、1+x x C 、y x +2D 、3x 2.分式有无意义及分式的值为0：若 ，则 A B 有意义；若 ，则 A B 无意义；若 ，则 A B＝0. （2013湖南郴州）函数y=中自变量x 的取值范围是（ ）A ．.x ＞3 B ．x ＜3 C ．x≠3 D ．x≠﹣3、（2013深圳）分式242x x -+的值为0，则x 的取值是（ ） A ．2x =- B ．2x =± C ．2x = D ．0x = 2、（2013湖南娄底）式子有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≥﹣12且x≠1 B ．x≠1 C ．x≥﹣12 D ．x>﹣12且x≠1 3．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 ．用式子表示为 .1、（2013•淄博）下列运算错误的是（ ）（A ）22()1()a b b a -=- （B ）1a b a b --=-+ （C ）0.55100.20.323a b a b a b a b ++=-- （D ）a b b a a b b a--=++ 2、把分式)0,0(≠≠+y x yx x 中的分子、分母的x 、y 同时扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小2倍 C. 改变原来的41 D. 不改变 x y =3，则x y y +=（ ） A ．43B ．xyC ．4D ．x y初中数学基础知识讲义—分式及分式方程应用知识梳理：4. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分．（目标：最简分式） 化简分式：22544______,202ab x x a b x -+=-=________ 5．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.通分的关键是确定最简公分母6．最简公分母：最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积7．分式的运算（注意：因式分解）⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： .② 异分母的分式相加减： .⑵ 乘法法则： .乘方法则： .⑶ 除法法则：1、（2013衡阳）计算：=2、分式223111,,342x y xy x-的最简公分母是_______ 3、（2013凉山州）化简：11(1)1m m ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭的结果为 4、（2013江苏南京）计算a 3．( 1 a)2的结果是（ ） (A) a (B) a 5 (C) a 6 (D) a 9 5、（2013莆田）先化简，再求值：，其中a=3．、（2012杭州）化简得2、（2013沈阳）计算2311x x +-- 的结果是( ) A ．11x - B ．11x - C ．51x - D ．51x- 3、（2013黄冈）计算：()()=---221313x x x 4、（2013上海市）计算：23b a a b⨯= _________ 5、（2013龙岩）先化简，再求值：231234923x x x x 缸--+，其中2x =1、在代数式3,252,43,3,2,1,32222xx x x x xy x x -++中，分式共有 ( )．(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个2、（2012义乌市）下列计算错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．3、（2013成都）要使分式15-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）（A ）x ≠1 （B ）x>1 （C ）x<1 （D ）x ≠-14、（2013凉山州）如果代数式有意义，那么x 的取值范围是（ ）A ．x≥0B ．x≠1C ．x ＞0D ．x≥0且x≠15、（2013温州）若分式43+-x x 的值为0，则x 的值是A. 3=xB. 0=xC. 3-=xD. 4-=x6、（2013山东莱芜）方程242x x --=0的解为（ ） A. ﹣2 B. 2 C. ±2 D. 12- 7、（2013漳州）计算111xx x ---结果是（ ） A ．0 B ．1 C ．－1D ．x 8、（2013•三明）计算﹣的结果是（ ）A ．1 B ．-1 C ．0D．-5 9、(2013山东滨州)化简3a a ，正确的结果为（ ）A ．aB ．a 2C ．a －1D ．a －210、（2013福建福州）计算：2a －1a ＝________11、（2013湖南永州）已知0ab a b +=，abab 则的值为12、（2013广西钦州）当x= 时，分式无意义13、（2013湖南邵阳）计算：3a3a -2b - 2b3a -2b =14、（2013河北省）若x +y ＝1，且，则x ≠0，则(x +2xy +y 2x ) ÷x+yx 的值为_______15、（2013湖北省咸宁市）化简+的结果为16、（2012山西）化简的结果是中考零距离训练17、（2013广州）先化简，再求值：yx y y x x ---22，其中321+=x ,321-=y18、（2013吉林省）先化简，再求值：b a b a b ++-1222其中a =3，b =119、（2013泸州）先化简：2223(1)11a a a a --÷---，再求值，其中a =.20、（2013南宁）先化简，再求值：，其中x=﹣2．21、（2013•东营）先化简再计算：22112111a a a a a a a --?-++-，再选取一个你喜欢的数代入求值.。
初中数学知识归纳分式方程的解法与应用
初中数学知识归纳分式方程的解法与应用分式方程是初中数学的重要内容之一，解决分式方程的问题需要归纳总结各种解法和应用方法。
本文将系统地介绍分式方程的解法与应用。
一、基本概念分式方程是含有分式的方程，形如：$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = c$其中，a、b、c为已知实数，x、y为未知数。
求解分式方程即是要找到使等式成立的x、y的取值。
二、分式方程的基本解法1. 通分法对于分式方程中的两个分式，如果其分母之间没有公约数，可以采用通分法求解。
具体步骤如下：Step 1：确定两个分式的最小公倍数为分母的通分分母。
Step 2：对原方程的两个分式进行通分，得到分母相同的两个分式。
Step 3：将通分后的两个分式的分子相加，得到新的分式。
Step 4：将新的分式等于给定的实数c，得到新的分式方程。
Step 5：解新的分式方程，得到x、y的值。
2. 消元法对于分式方程中只有一个未知数的情况，可以采用消元法求解。
具体步骤如下：Step 1：选择未知数的系数较小的一方作为基准，将另一方的分子乘以基准方的分母，将两个分式的分母统一。
Step 2：将新的方程化简，得到未知数的一次方程。
Step 3：解未知数的一次方程，得到未知数的值。
Step 4：将求得的未知数代入原分式方程中，得到另一个未知数的值。
三、分式方程的应用1. 比例问题分式方程在解决比例问题时非常有用。
比例问题可以通过建立分式方程来解决，而求解分式方程就是求解比例问题的具体步骤。
例如，已知某比例中，一个分数和另一个分数的和等于1，可以建立分式方程求解两个分数的值。
2. 速度问题分式方程在解决速度问题时也具有广泛的应用。
速度问题涉及到物体的速度、时间和距离等概念，通过建立分式方程，可以求解物体的速度、时间和距离等具体数值。
例如，已知两个物体以不同的速度出发，相隔一定距离后相遇，根据已知条件可以建立分式方程求解两个物体的速度和相遇时间。
2第二节 分式方程及其应用
第二节分式方程及其应用分式方程的概念及解法1．分式方程的概念分母中含有的方程，叫做分式方程．2．解分式方程的一般步骤(1)，化为整式方程；(2)；(3)；(4)确定原方程的根．3．分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为零的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数的取值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为零，那么就会出现不适合原方程的根，即增根．(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．(3)验根的方法：方法一：利用方程程的定义，直接代入原方程检验．方法二：把整式方程的解代入最简公分母，看计算结果是否为0.分式方程的应用1．应用问题常用的数量关系及题型(1)行程问题：涉及的量是时间、速度、路程，它们之间的关系是：时间＝路程速度.(2)工程问题：涉及的量是工作时间、工作总量和工作效率，它们之间的关系是：工作时间＝工作总量工作效率.(3)商品销售与利润问题：涉及的量是进价、利润和利润率，它们之间的关系是：利润率＝商品利润进价×100%.2．列分式方程解应用题的步骤列分式方程解应用题与列一次方程(组)解应用题的步骤基本相同：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、验根、作答．1.列分式方程解应用题是用分式表示数量之间的等量关系；2．列分式方程解应用题的验根，既要符合所列的分式方程，又要符合实际问题．解分式方程解分式方程应注意以下四点：(1)去分母时，方程中的常数项要乘最简公分母；(2)去分母时，分子是多项式则需加括号；(3)约分时，不能约去含未知数的整式；(4)去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，一定要检验．(2019·合肥三十八中一模)解分式方程：2x＋1＋3x－1＝6x2－1.分式方程的应用在列方程之前，应先弄清问题中的已知量与未知量，以及它们之间的数量关系，用含未知数的式子表示相关量，再用题中的主要相等关系列出方程．求出解后，必须进行检验，既要检验是否为所列分式方程的解，又要检验是否符合题意．(2019·合肥瑶海二模)甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两个小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的1.5倍，结果提前6小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是()A．17小时B．14小时C．12小时D．10小时解分式方程时不检验结果导致出错解方程：1x －2＋2＝1－x 2－x .解分式方程去分母时容易漏乘项导致出错解方程：x x ＋2＋1x＝1.分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解，而分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．1．(2019·建平期末)定义：如果一个关于x 的分式方程a x ＝b 的解等于1a －b，我们就说这个方程叫差解方程．比如：2x ＝43就是个差解方程．如果关于x 的分式方程m x＝m －2是一个差解方程，那么m 的值是()A ．2 B.12C ．－12D ．－22．(2019·铜仁模拟)对于实数a ，b ，定义新运算“⊙”：a ⊙b ＝1a －b 2，例如：2⊙3＝12－32，则方程x ⊙(－2)＝24－x －1的解是．3．(2019·荆州一模)数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现：112－115＝110－112，就将具有这样性质的三个数称之为“调和数”，如6，3，2也是一组调和数．现有一组调和数：x －1，5，3(x ＞6)，则x 的值是．解分式方程（2019年安徽淮南市中考模拟12-5分）当m =____________时,解分式方程533x m x x-=--会出现增根．（2018年安徽阜阳市中考模拟14-5分）若关于x 的分式方程2322x m m x x++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是．(2017年安徽合肥中考模拟7-4分)若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则m 的值为()A.－32 B.1 C.32或2Ｄ－12或－32(2016年安徽5-4分)方程2x ＋1x －1＝3的解是()A.-45 B.45 C.-4 D.4(2014年安徽13-5分)方程4x －12x －2＝3的解是x ＝________．分式方程的应用（2019年安徽合肥市中考模拟20-10分）我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．（2019年安徽六安市中考模拟20-10分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？(2017年安徽阜阳市中考模拟19-10分)某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？(2013年安徽20-10分)某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍．(1)若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；(2)若购买的两种球拍数一样，求x.(2005年安徽19-10分)2004年12月28日,我国第一条城际铁路——合宁铁路（合肥至南京）正式开工建设.建成后,合肥至南京的铁路运行里程将由目前的312km缩短至154km,设计时速是现行时速的2.5倍,旅客列车运行时间将因此缩短约3.13h.求合宁铁路的设计时速.。
分式方程的应用(课件ppt）
数学湘教版 八年级上
新知导入
1.什么是分式方程？ 分母中含有未知数的方程叫作分式方程
2.解分式方程的一般步骤是什么？ （1）去分母：方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为 整式方程； （2）解整式方程； （3）验根：把一元一次方程的解代入最简公分母中，若它的 值不等于0,则这个解是原分式方程的根；若它的值等于0,则原 分式方程无解..
则可得方程__5__0_x0__0____x_5_0__02_0_0____1_5__．
课堂练习
3.商场用50 000元从外地采购回一批T恤衫，由于销路好，
商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多两倍的T恤衫，但第
二次比第一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件T恤衫．
解：设第一次购进x 件T恤衫，由题意得，
新知讲解
(4)列：根据等量关系，列出分式方程.
180 60 180 60 40
x
1.5x 60
(5)解：解分式方程，
解得 x＝60．
(6)验：检验所求的解是否为分式方程的解，并检验分式方程的解
是否符合问题的实际意义．
经检验： x＝60是原方程的解，且符合题意．
(7)答：写出答案(不要忘记单位)．
新知讲解 思考：A，B两种型号机器人搬运原料， 已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20 kg， 且 A型机器人搬运1000 kg所用的时间与B型机器人搬运 800 kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬 运多少原料？
你能说一说这 两个机器人在 时间上的等量
关系吗？
A型机器人搬运1 000 kg所用时间=B型机器人搬运800 kg所用时间
解：设B型机器人每小时搬运x kg,则A型机器人每小时搬运(x + 20) kg，根据题意可列方程：
中考数学一轮复习课件分式方程及其应用
（2）如果小张在家取票和寻找共享单车共用了5 min，他能否在演唱会开始前 赶到奥体中心？请说明理由.
解：（2）不能.理由如下：小张跑步到家所需时间为2 520÷210＝12（min），小张骑车所用时间为12－4＝8（min），小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12＋8＋5＝25（min）.∵25＞23，∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心.
答：甲每小时做零件45个，乙每小时做零件60个.
A.1＋3＝3x（1－x）
B.1＋3（x－1）＝－3x
C.x－1＋3＝－3x
D.1＋3（x－1）＝3x
B
巩固训练
A.x＝－2
B.x＝2
C.x＝－4
D.x＝4
3.（2023·遵义模拟）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5 t货物，且大货车运输75 t货物所用车辆数与小货车运输50 t货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x t货物，则所列方程正确的是（ B ）
【思路引导】设小琪步行的速度为b km/h，则小文骑车的速度为4b km/h，利用时间＝路程÷速度，结合“小琪步行出发0.5 h后小文骑自行车出发，结果他们同时到达体育馆”列方程求解.
【自主解答】
答：小琪步行的速度为3 km/h.
【夺分宝典】
【对点训练】
1.某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵.开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵？
【自主解答】
解得a＝100.经检验，a＝100是原方程的解，且符合题意.
答：足球的单价为100元.
（3）小琪和小文相约到体育馆锻炼，小琪和小文家分别距体育馆3 km，6 km，小文骑车的速度是小琪步行速度的4倍，若小琪步行出发0.5 h后小文骑自行车出发，结果他们同时到达体育馆，求小琪步行的速度.
分式方程及其应用课件
04
分式方程的练习题及解答
分式方程的练习题
总结词：巩固提高
练习题2：某种植物生长速度很快，已知它1天前的高 度，求现在的高度。
练习题1：小明打篮球，每场得分相同，已知他1场比 赛得分，求他打了多少场。
练习题3：已知一个矩形的面积和长，求宽。
分式方程的解答
总结词：解题技巧
解答1：通过观察， 发现分母可以约掉， 化简得分式方程即可 。
03
分式方程的注意事项
解分式方程的步骤
整理方程
将方程化为最简形式，以便后 续步骤。
确定根
通过交叉相乘等方法，确定方程 的根。
验根
通过代入法，验证方程的根是否正 确。
分式方程的局限性
适用范围有限
分式方程适用于可以化成分母 中带有未知数的形式的问题， 但有些问题可能无法使用分式
方程求解。
解法有限
分式方程的解法有限，常用的 只有几种，如部分分式、对数
超越分式方程：分母是超越式的分式方 程，如 $\frac{x}{e^x}$
分式方程的解法
约分法：将方程中的因子约掉， 化简方程
图象法：画出方程中变量的图象 ，通过交点求解方程
分式方程的求解方法包括以下几 种
换元法：引入新的变量，将方程 转化为容易求解的形式
逐步迭代法：通过逐步迭代，逼 近方程的解
02
2023
分式方程及其应用课件
目录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的练习题及解答 • 分式方程的应用实例
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
1
分式方程是一种描述两个变量之间关系的数学 模型
2
它的一般形式为 $f(x) = \frac{B}{A}$，其中A 和B是两个整式
分式方程及其应用讲义
分式方程及其应用讲义1、解分式方程时注意去分母、检验根。
2、分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题．本课内容： 营销类应用性问题、工程类应用性问题行程中的应用性问题、轮船顺逆水应用性问题浓度应用性问题、货物运输应用性问题———————————————————————————题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验.例1.解方程(1) 2223-=---x xx (2) 114112=---+x x x题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根.例;1. 若方程x x x --=+-34731有增根,则增根为 . 2. 若方程113122-=-++x k x x 有增根,则k 的值为 . 3. 若分式方程x x k x x x k +-=----2225111有增根1-=x ,求k 的值?题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解.例题：1. 若关于x 的方程11+=+x mx x无解, 则m 的值为 . 2. 当k 取何值时关于X 的方程4162222-=--+-x k x x x x 无解？ 3. 已知关于x 的方程m x mx =-+3无解,求m 的值.题型四：解的正负情况:先化为整式方程,求整式方程的解①若解为正⎩⎨⎧>去掉增根正的解0x ;②若解为负⎩⎨⎧<去掉增根负的解0x 例题：已知关于x 的方程323-=--x mx x解为正数,求m 的取值范围.一、【营销类应用性问题】例1：某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？二、【工程类应用性问题】例2：甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。
《分式方程的应用》PPT大纲
在国际贸易和金融领域，汇率换算是一个常见问题。利用 分式方程，可以方便地进行货币之间的汇率换算，提高计 算的准确性。
供需平衡
在市场经济中，供需平衡是一个关键概念。通过分式方程 ，可以描述市场价格与供需关系之间的动态平衡，为政策 制定提供决策依据。
其他实际问题中的分式方程
01
人口增长
人口学家常用分式方程来描述人口增长与时间的关系，以预测未来人口
Chapter
高次分式方程
定义
高次分式方程是指分子、 分母中都含有未知数的次 数大于2的分式方程。
解法步骤
通过对方程进行多次化简 ，将高次分式方程转化为 低次分式方程或整式方程 ，进而求解未知数。
注意事项
在化简过程中，需要注意 等式两边平衡，以及避免 产生增根。
可化为整式的分式方程
定义
可化为整式的分式方程是指能够通过乘法、加减法等手段将方程 转化为整式方程的分式方程。
通过以上内容，我们可以更全面地了解分式方程 的定义、与整式方程的区别以及实际应用场景， 为后续深入学习分式方程的求解方法和应用打下 基础。
02
解分式方程的基本方法
Chapter
去分母法
• 通过去分母将分式方程转化为整式方程。
去分母法
•· • 步骤一：观察分式方程，确定所有分母。 • 步骤二：选取一个公共倍数，将所有分母消去。
分式方程的应用场景
物理学：分式方程在物理学中用于描述某些特殊 现象，如电阻、电容等元件的工作原理。
经济学：经济学领域的许多问题，如投资回报、 市场供需平衡等，可以通过分式方程进行建模和 分析。
工程学：在解决某些实际问题时，如计算流体动 力学中的阻力、确定最佳设计方案等，分式方程 具有重要应用价值。
2014湘教版八年级上册数学分式方程及其应用
分式方程及其应用一、知识要点1、分母中含有________________的方程叫________________。
2、分式方程的解法：（1）方程的两边都乘各个分式的________________； （2）转化为一元一次方程； （3）解一元一次方程得X ＝C ；（4）检验（将X ＝C 代入最简公分母是否为0，若为0，原方程无解； 若不为0，X ＝C 是原方程的解。
3、列分式方程解应用题的步骤： （1）审题；（2）找等量关系；3）设未知数；（4）列分式方程； （5）解分式方程；（6）检验；（7）作答。
二、夯实基础★训练题组一：1、下列方程中，是分式方程的是（ ）A.412131=--+x xB.141211-=-+-+-x x x x x C.0522=+x x D.),0(为常数、b a ab x b aa x ≠=+2、如果分式2313x x -+与的值相等，则x 的值是（ ） A ．9 B ．7 C ．5 D ．33、解分式方程11222x x x-+=--，可知方程（ ） A ．解为2x = B ．解为4x = C ．解为3x = D ．无解4、用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=， 将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）A ．230y y +-=B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --= 5、若关于x 的方程111m xx x ----=0有增根，则m 的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-16、已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，则m 的取值范围为______________ .7、某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术， 使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务， 问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套， 则根据题意可得方程为（ ） （A ）18%)201(400160=++x x （B ）18%)201(160400160=+-+x x （C ）18%20160400160=-+x x （D ）18%)201(160400400=+-+xx ★训练题组二：1、解方程：（1） 3123x x =+； （2） 1233x x x +=--2、 已知关于x 的分式方程xx-3 －2= 3-x m 无解，求m 的值。
分式方程及其应用课件
密度与质量的关系
总结词
通过已知密度和质量，求体积
详细描述
密度是物质的质量除以其体积，可以用以下方程表示：密度 = 质量 / 体积。 已知密度和质量，就可以求出体积。例如，已知水的密度是1克/立方厘米， 质量为100克的水，其体积是100立方厘米。
效率与成本的关系
总结词
通过已知效率和成本，求产量或收益
示例
例如，x/3=2就是一个简单的分式方程，其中x是未知数，3 是分母。
分式方程的分类
简单分式方程
只有一个分式和一个未知数，且未知数在分母中。
复杂分式方程
包含多个分式和未知数，或者未知数在分子或分母中。
分式方程的解法
1 2
转化法
将分式方程转化为整式方程，求解整式方程得 到未知数的值。
图像法
画出分式方程对应的函数图像，通过交点或切 线求解未知数。
运动学问题
在物理学中，分式方程也经常用来解决运动学问题，例如计算物体的速度和 加速度。
在化学中的应用
化学反应速率
在化学反应中，分式方程可以用来描述化学反应的速率，以及反应物和生成物之 间的比例关系。
溶液浓度问题
在化学中，分式方程也经常用来解决溶液的浓度问题，例如计算溶液的渗透压等 。
在工程中的应用
例子
解分式方程 $x+1\div x-1=3$，通过建立方程 $(x+1)(x1)=3$，解决了问题。
分类讨论思想
分类讨论思想
对于一些未知数的取值范围不明确的问题，需要分类讨论。
例子
解分式方程 $\frac{x}{x-1}-\frac{3}{x}=1$，需要考虑 x 的取值范围，当 x<0 时，方程无解；当 0<x<1 时，方程的解为 x=3-2\sqrt{2}；当 x>1 时，方程的解为 x=3+2\sqrt{2}。
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1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.
2．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
3. 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.
4．分式方程的应用：找等量关系
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .
5．易错知识辨析：
（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.
（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增
根,应舍去,也可直接代入原方程验根.
（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.
题型一 解分式方程（注意因式分解）
【例题1】（2013南平市）分式方程
x x 332=-的解是 【例题2】（2013宜宾）分式方程
的解为 题型二 分式方程解的判定
【例题1】(福建中考)若关于x 方程23
32+-=--x m x x 无解，则m 的值是 关键：把使最简公分母为0的x 值代人化简的一元一次方程后即可求出。
【例题2】（2013牡丹江）若关于x 的分式方程
的解为正数，那么字母a 的取值范围是 关键：这类题型解法是化简后求出x 值（其中x 是含字母的值），再用不等式解法求解。
初中数学基础知识讲义—分式及分式方程应用
题型三 分式方程应用（找等量关系）
【例题1】（2013河北省）甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路x m.依题意，下面所列方程正确的是
A ．120x ＝100x －10
B ．120x ＝100x +10
C ．120x －10
＝100x D ．120x +10＝100x 【例题1】(2013嘉兴）杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x 千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为
1、（2013黄石）分式方程
3121x x =-的解为（ ） A.1x = B. 2x = C. 4x = D. 3x = 2、（2013襄阳）分式方程的解为（ ） A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.x=﹣1
3、（2013吉林省）分式方程1
32
+=x x 的解为x = 4、（2013铁岭）某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原 D
10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需 +=1 +8（+）=1 D ）台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器
7、（牡丹江）若关于x 的分式方程311x a x x
--=-无解，则a = 8、（湖北襄樊）当m=_________时,关于x 的分式方程
213x m x +=--无解. 9、（2013绥化）若关于x 的方程
=+1无解，则a 的值是 10、（2013威海）若关于x 的方程
无解，则m= 11、（2013大兴安岭）若关于x 的分式方程
112=--x a x 的解为正数，那么字母a 的取值范围是 12、（2013武汉）解方程：
x x 332=-
13、（2013龙岩）解方程：412121x x x =+++
14、（2013漳州）解方程：2112-=-x x 15、（2013宁夏）解方程：
16、（2013红河）解方程 2
12x
x x +=+
17、（2013宁波）解方程：=﹣5
18、（2013南京）解方程 2x x -2 =1- 1
2-x 19
、（2013珠海）解方程：
20、（2013深圳）解方程：0
)1x (x 2
x 1x 3=-+--
21、（2013泰州） 解方程：22222222x x x x x x x ++--=--
22、（2013十堰）甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？
23、（2013泰州）某地为了打造风光带，将一段长为360 m的河道整治任务由甲乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m,乙工程队每天整治16 m..求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.
24、（2013长春）某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27
本.已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍．求第一组的人数．
25、（2013三明）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．
（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价）。