泰尔指数公式及计算方法

1.泰尔指数

泰尔指数（Theil index ）或者泰尔熵标准(Theil ’s entropy measure)泰是由泰尔(Theil,1967)利用信息理论中的熵概念来计算收入不平等而得名。

熵在信息论中被称为平均信息量。在信息理论中，假定某事件E 将以某概率p 发生，而后收到一条确定消息证实该事件E 的发生，则此消息所包含的信息量用公式可以表示为：

1h()ln()p p

= 设某完备事件组由各自发生概率依次为12(,,,)n p p p 由n 个事件12(,,,)n E E E 构成，则有

11n i i p

==∑，

熵或者期望信息量等于各事件的信息量与其相应概率乘积的总和：

1111()()log()log()n n

n i i i i i i i i i H x p h p p p p p ======-∑∑∑（6-4） 将信息理论中的熵指数概念用于收入差距的测度时，可将收入差距的测度解释为将人口份额转化为收入份额（类似于洛伦兹曲线中将人口累计百分比信息转化为收入累计百分比）的消息所包含的信息量。而泰尔指数只是熵指数中的一个应用最广泛的特例。泰尔指数的表达式为：

11log()n i i i y y T n y y

==∑ （6-5） 式中T 为收入差距程度的测度泰尔指数，

i y 与y 分别代表第i 个体的收入和所有个体的平均收入。

2.泰尔指数分解法

泰尔指数作为收入不平等程度的测度指标具备良好的可分解性质，即将样本

分为多个群组时，泰尔指数可以分别衡量组内差距与组间差距对总差距的贡献。假设包含n 个个体的样本被分为K 个群组，每组分别为(1,2,,)k g k

K =,第

k 组k g 中的个体数目为k n ，则有1

K k k n n ==∑，i y 与k y 分别表示某个体i 的收

入份额与某群组k 的收入总份额，记b T 与w T 分别为群组间差距和群组内差距，则可将泰尔指数分解如下：

1

1log (log )1k K K

k i i k b w k k k k i g k k k y y y y T T T y y n n y n ==∈=+=+∑∑∑ (6-6)

在上式中群组间差距b T 与群组内差距w T 分别有如下表达式： 1log

K k b k k k y T y n n

==∑ （6-7）

1(log )1k K i i k w k k i g k k y y y T y y n =∈=∑∑ （6-8） 另外，值得注意的是群组内差距项分别由各群组的组内差距之和构成，各群组的组内差距的计算公式与样本总体的计算公式并无二致，只是将样本容量控制在第k 组的个体数目k n 。