抽象函数图像对称性问题

函数图像对称性得问题

一、函数自身得对称性得问题

函数就是中学数学教学得主线,就是中学数学得核心内容,也就是一个高中数学得基础。函数得性质就是高考得重点与热点,函数得对称性就是函数得一个基本性质,也就是难点,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身得对称性与不同函数之间得对称性这两个方面来探讨函数与对称有关得性质得一些思考。

例题1. 函数y = f(x)得图像关于点Ａ(ａ,b)对称得充要条件就是

ｆ(x) + f (2ａ—ｘ) = 2b

证明:(必要性)设点Ｐ(x,y)就是y＝ f (ｘ)图像上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a,b)得对称点Ｐ‘(2ａ-x,2b—y)也在y= f (x)图像上,∴2b—y = f(２a—x)

即y＋ f (2ａ—ｘ)＝２ｂ故f (ｘ) + ｆ(2a－x)= ２b,必要性得证。

(充分性)设点P(x０,y0)就是y = ｆ(x)图像上任一点,则y0 = f (x0)

∵ｆ(x) + f (2a－ｘ) ＝2b∴f(ｘ０) +ｆ(2a－x0) =２b,即2ｂ－ｙ０= f (2a-x0) 。

故点P‘(２a－x０,2b-y0)也在ｙ= f (ｘ) 图像上,而点P与点Ｐ‘关于点A(a ,b)对称,充分性得征。例题２

①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,ｃ)与点B (ｂ,ｃ)成中心对

(a≠ｂ),则y = ｆ(ｘ)就是周期函数,且2|ａ－ｂ｜就是其一个周期。

②若函数y =ｆ(x) 图像同时关于直线ｘ=ａ与直线x = b成轴对称(a≠b),则y =f(x)就是

周期函数,且２｜ａ—b｜就是其一个周期、

③若函数y =ｆ(ｘ)图像既关于点A(a ,ｃ) 成中心对称又关于直线ｘ＝ｂ成轴对称(a≠b),则y = f(x)就是周期函数,且4｜ａ-b|就是其一个周期。

①②得证明留给读者,以下给出③得证明:

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c)成中心对称,

∴f(x) ＋f(2a—ｘ) =2ｃ,用2b-ｘ代x得:

f(2b－x) ＋f ［2a-(２b－ｘ) ] =２c………………(*)

又∵函数y ＝ f (x)图像直线ｘ=b成轴对称,

∴ f (２ｂ-x) = f (x)代入(*)得:

ｆ (ｘ) = 2c —f ［2(a －b) + x ］…………(**),用2(ａ—ｂ)-ｘ代x 得

f [2 (a-b)+ x ］ = ２c-f [４(a-b) ＋ x ］代入(＊＊)得:

f (x) = ｆ ［4(a －b) + x ］,故ｙ = ｆ (ｘ)就是周期函数,且4｜ a-b ｜就是其一个周期、

二、 不同函数对称性得问题

数与形这两个基本概念,就是数学得两块基石、全部数学大体上都就是围绕这两个概念得提炼、演变、发展而展开得。在数学发展得进程中,数与形常常结合在一起,在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下互相转化、数与形得内在联系可使许多问题具有鲜明得直观性,数与形得结合也就是数学教学中一个非常重要得环节。

例题3

① 函数y = f (x)与y = ｆ (2a －x)得图像关于直线ｘ = a 成轴对称。

②函数y = f (x)与a —x = ｆ (a-y)得图像关于直线x +ｙ = a 成轴对称。

③函数ｙ = f (x)与x －a = f (y + a)得图像关于直线x －y ＝ a 成轴对称、

设点P(x 0 ,y 0)就是y = f (ｘ)图像上任一点,则y ０ = f (x 0)。记点P( ｘ ,y)关于直线x －y = a 得轴对称点为P ‘

(x １, ｙ1),则x 1 ＝ a + y 0 , ｙ1 ＝ ｘ0-a ,∴x 0 = ａ + ｙ１ , y ０＝ x １－a 代入y 0 = f (ｘ0)之中得ｘ1—a = f (ａ + ｙ1) ∴点Ｐ‘(ｘ１, ｙ１)在函数x －ａ ＝ ｆ (y + ａ)得图像上、

同理可证:函数x-a = f (ｙ ＋ ａ)得图像上任一点关于直线x －ｙ ＝ a 得轴对称点也在函数y ＝ f (x)得图像上。故定理5中得③成立、

推论:函数y = f (ｘ)得图像与x = f (y)得图像关于直线ｘ ＝ y 成轴对称。

三. 函数图像得中心对称与轴对称、

1、 函数得中心对称

定义在R 上得函数y=f (x )对其定义内得任意得x ,如果都有f (x )=2ｂ－f (2a －x )(或f (a ＋ｘ)＝2b －f (a －x )),那么ｙ=f (ｘ)关于点(ａ,b )成中心对称;反之亦然。

事实上:对任意x ∈R ,当都有f (x )=２b －ｆ(2a －ｘ)时,有点(x ,f (x ))与点(2a —x ,f (２ａ－ｘ))存在关系: b x a f x a f b x a f x f a x a x =-+--=-+=-+2

)2()2(22)2()(,2)2(,这说明点(a ,b )就是点(ｘ,(f (x ))与点(2a —x ,f (2a －x ))得中点,由x 得任意性及中心对称得定义,可知函数 y =ｆ(ｘ)关于点(a ,b )成中心对称;反之亦然、

特例:定义在Ｒ上得函数ｙ＝f (x )关于点(ａ,０)对称《=》对任意ｘ∈Ｒ,都有f (a +x ) =－f (a －x )(或 f (x )=—f (２a －x ))

例4:已知函数得反函数得图象得对称中心就是(-1,3),则实数ａ等于( )

(A )2 (B )３ (C )—2 (D )—4

解:

∵关于点(－1,３)对称,∴ =6－(—1-ｘ)

即:,也即:(2ａ—4)x = 0

由等式得恒等性可知:2a －4 = ０ ∴ a = 2 选(A )

例5:已知f (x )+f (2-x )+２ ＝ ０ 对任意实数x 恒成立,则函数f (x )图象关于 对称

解:由f (x )+f (2－ｘ)+2 = ０ 得:ｆ(x )+1 = -［f (2-x )＋１]

令φ(x )= ｆ(x )+１,则φ(2-x )=f (2-x )+1 ∴φ(x)=－φ(2－x)

∴ φ(x )关于点(1,０)对称,又f (ｘ)=φ(x )-1

故由平移知识可得:f (ｘ)关于点(１,－１)对称。

例6:设曲线C 得方程就是y=x 3－x ,将C 沿x 轴、y 轴得正向分别平行移动t 、ｓ单位长度后得曲线C 1

(１)写出曲线C 1方程;

(2)求证:曲线Ｃ与Ｃ1关于点对称。

解(1):Ｃ1得方程就是:

证(２):曲线C 关于点得对称曲线方程就是:s t x t x x t x t s x t x t s y +---=----=-⨯--⨯-⨯=)()()]()[()]2

2()22[(22333 即为曲线C １ ∴ 曲线Ｃ与曲线C １关于点对称。

2、函数得轴对称

定义在Ｒ上得函数y =f (x ),如果满足:ｆ(a +x )＝f (b -ｘ),那么函数y =ｆ(x )得图象关于直线成轴对称;反之亦然。

事实上:对任意x ∈R ,都有f (a +x )=f (b －x )时,有点(ａ＋x ,(a +x ))与点(ｂ—x ,f (b －x ))存在关系:,ｆ(a +x )=f (b —ｘ),由轴对称得定义可知:点(a ＋x ,ｆ(a ＋x ))与点(b －x ,f (b -ｘ))关于直线成轴对称,又由x 得任意性可知:函数y =ｆ(ｘ)关于直线成轴对称。反之亦然、

特例:定义在Ｒ上得函数y ＝f(x)关于直线ｘ=a 成轴对称《＝》对任意x ∈R ,都有f (a+x )=f (a —x )。 例７:二次函数f (x )满足f (2+x )=f (2-x ),又ｆ(2)＝１,f (０)=3,若在[０,m ］有最小值1,最大值3,则得取值范围( )

(A )0＜m ≤2 (Ｂ)m ≥２ (C )m ＞0 (D )2≤m ≤4

解:由函数得轴对称性可知:二次函数f (x )关于直线x ＝2对称,

又f (２)=1, ｆ(０)=3,

∴ f (x )在［０,２］上就是减函数,∴ ｆ(ｘ)在[2,＋∞)上增函数,又由轴对称可知:f (２+2)=f (2—2)即ｆ(4)=f (0)

∵ f (x )在[0,m]上有最小值１,最小值3,∴ 2≤m ≤4 选(D )

例8:函数f (x )对一切实数ｘ都满足,并且f (x )＝0有3个实根,求这3个实根之与。

解:由可知:函数f (ｘ)关于直线对称,又∵f (ｘ)=0有3个实根,∴f (x )=0必有一根就是,且其余两根ｘ2、x 3关于对称,∴ ∴

四. 函数对称性常用性质

函数得对称性一般体现在中心对称与轴对称、函数得奇偶性与周期性就就是对称性得直接体现,常见得有以下结论。

【性质1】函数ｙ=f(x)得图像关于原点O(０ ,０)对称f(x)=－f(—ｘ)。(这就是奇函数得数与形得体现)、

推论1:函数ｙ=f(x)得图像关于点M(a,b)对称f(x)+f(2ａ－x)＝2ｂ