线性规划求最值(详细)ppt课件
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线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
4.2线性规划ppt课件
4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
简单线性规划 课件(48张)
22
由 z＝x＋3y，得 y＝－13x＋3z，平移直线 x＋3y＝0 可
知，当直线 y＝－13x＋3z经过 A 点时 z 取最大值．由
2x＋y＝4，
得 A(1，2)，所以 zmax＝1＋2×3＝7.
x＝1，
2021/10/10
23
类型 2 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0，
[典例 2] 设实数 x，y 满足约束条件x＋2y－4≥0， 2y－3≤0，
2021/10/10
30
[变式训练] (1)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不
2x－y－2≥0， 等式组x＋2y－1≥0，所表示的区域上一动点，则直线
3x＋y－8≤0， OM 斜率的最小值为( )
A．2 B．1 C．－13 D．－12
2021/10/10
31
2x＋y－5≥0， (2)已知3x－y－5≤0，求(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大、
简单的线性规划
2021/10/10
1
[学习目标] 1.了解线性规划的意义，了解线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概 念． 2.掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求线性 目标函数的最大值、最小值． 3.训练数形结合、化归等 数学思想，培养和发展数学应用意识．
2021/10/10
x－2y＋5≥0， 最小值．
(1)解析：如图所示，
2021/10/10
32
2x－y－2≥0， x＋2y－1≥0，所表示的 3x＋y－8≤0，
平面区域为图中的阴影部分．
x＋2y－1＝0，
由
得 A(3，－1)
3x＋y－8＝0，
当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，
2021/10/10
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顶点可达到。 4.解题思路是：先找出凸集的任一顶点，计算Z值，比较
Z值最大的顶点为止。
4.无可行解(例1.15):原因是模型本身错误，约束条件之间互相
矛盾，应检查修正。
1、2情形为有最优解 3、4情形为无最优解
-
36
图解法得到的启示
1.求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解、无 穷多最优解、无界解和无可行解。
2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一凸集。 3.若线性规划问题的最优解存在，则最优解一定在某个
一般情况，决策变量只取正值（非负值）
x1 0, x2 0
-
6
数学模型
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120
2x1+ x2 50 x1,x2 0
线性规划数学模型三要素：
决策变量、约束条件、目标函数
-
7
1-2 线性规划问题的数学模型
例1 .2 营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中
第一章 线性规划与单纯形方法
-
1
内容：
线性规划的数学模型，标准形式，基本概念及基本原理；线性规划 的图解法，单纯形法，大M法，两阶段法。
• 重点： • （1）线性规划的基本概念 • （2）单纯形法的基本原理与计算步骤 • 难点： • （1）单纯形法的基本原理与计算步骤
• 基本要求： • （1）理解线性规划的基本概念：目标函数、约束条件、可行解与可行域、基可
和约束方程的影响是独立于其他变量的，
目标函数值是每个决策变量对目标函数
贡献的总和。
-
16
•连续性假定：线性规划问题中的 决策变量应取连续值。
•确定性假定：线性规划问题中的 所有参数都是确定的参数。线性 规划问题不包含随机因素。
Z值最大的顶点为止。
4.无可行解(例1.15):原因是模型本身错误，约束条件之间互相
矛盾，应检查修正。
1、2情形为有最优解 3、4情形为无最优解
-
36
图解法得到的启示
1.求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解、无 穷多最优解、无界解和无可行解。
2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一凸集。 3.若线性规划问题的最优解存在，则最优解一定在某个
一般情况，决策变量只取正值（非负值）
x1 0, x2 0
-
6
数学模型
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120
2x1+ x2 50 x1,x2 0
线性规划数学模型三要素：
决策变量、约束条件、目标函数
-
7
1-2 线性规划问题的数学模型
例1 .2 营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中
第一章 线性规划与单纯形方法
-
1
内容：
线性规划的数学模型，标准形式，基本概念及基本原理；线性规划 的图解法，单纯形法，大M法，两阶段法。
• 重点： • （1）线性规划的基本概念 • （2）单纯形法的基本原理与计算步骤 • 难点： • （1）单纯形法的基本原理与计算步骤
• 基本要求： • （1）理解线性规划的基本概念：目标函数、约束条件、可行解与可行域、基可
和约束方程的影响是独立于其他变量的，
目标函数值是每个决策变量对目标函数
贡献的总和。
-
16
•连续性假定：线性规划问题中的 决策变量应取连续值。
•确定性假定：线性规划问题中的 所有参数都是确定的参数。线性 规划问题不包含随机因素。
线性规划求最值问题
(2)若z=2x-y,求z的最值.
Zmax 2 5 2 8,
x
Zmin 2 1 4.4 2.4.
y
(3)若z=x2+y2,求z的最值.
( x 2 y 2 )min 12 12 2, ( x y )max 52 22 29,
2 2
5
C
注意： 目标函数化为斜截式后， 分析斜率大小；z的系数符号。
x 0 1. x , y满足 x 2 y 3 2 x y 3
求z=x-y的最值
解：z x y化为y x z， 与直线y x平行,纵截距为-z
直线过点 A 时z值最大; 过点 B 时z值最小.
4 2 2 1 1 10
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1. y
C
x-4y+3=0
A B
1 x=1 5
3x+5y-25=0
O
x
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1.
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
最值问题课件
总结词
闭区间上连续函数的性质是求最值的重要依据，通过利用这些性质可以简化最值的求解 过程。
详细描述
闭区间上连续函数具有一些重要的性质，如介值定理和零点定理。介值定理指出，如果 函数在闭区间的两个端点取不同的函数值，则至少存在一个点使得函数在该点的值为两 个端点值的平均值。零点定理指出，如果函数在闭区间的两端取不同的符号，则至少存
最值问题的分类
01
02
03
函数最值
在给定区间上求函数的最 大值或最小值。
极值问题
研究函数在某一点的极值 ，包括极大值和极小值。
约束最值
在满足某些约束条件下， 求数学表达式的最大值或 最小值。
最值问题在数学中的重要性
应用广泛
最值问题在数学、物理、 工程等多个领域都有广泛 应用，是解决实际问题的 重要工具。
VS
统计学中的最值应用
在统计学中，最值的应用非常广泛。例如 ，在统计分析中，我们需要找到一组数据 中的最大值和最小值，以了解数据的分布 情况；在回归分析中，我们需要找到使误 差平方和最小的参数值等。这些问题的解 决都需要利用最值定理和优化算法等数学 工具。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
梯度法的步骤
计算目标函数的梯度，沿着负梯度的 方向搜索，确定步长，更新解的位置 。
牛顿法与最值
牛顿法
基于目标函数的二阶导数（海森 矩阵）信息，通过迭代寻找最优
解的方法。
牛顿法的步骤
计算目标函数的二阶导数（海森矩 阵），求解线性方程组，确定步长 ，更新解的位置。
牛顿法的优缺点
优点是对于凸函数收敛速度快；缺 点是需要计算二阶导数（海森矩阵 ），对于非凸函数可能陷入局部最 优解。
闭区间上连续函数的性质是求最值的重要依据，通过利用这些性质可以简化最值的求解 过程。
详细描述
闭区间上连续函数具有一些重要的性质，如介值定理和零点定理。介值定理指出，如果 函数在闭区间的两个端点取不同的函数值，则至少存在一个点使得函数在该点的值为两 个端点值的平均值。零点定理指出，如果函数在闭区间的两端取不同的符号，则至少存
最值问题的分类
01
02
03
函数最值
在给定区间上求函数的最 大值或最小值。
极值问题
研究函数在某一点的极值 ，包括极大值和极小值。
约束最值
在满足某些约束条件下， 求数学表达式的最大值或 最小值。
最值问题在数学中的重要性
应用广泛
最值问题在数学、物理、 工程等多个领域都有广泛 应用，是解决实际问题的 重要工具。
VS
统计学中的最值应用
在统计学中，最值的应用非常广泛。例如 ，在统计分析中，我们需要找到一组数据 中的最大值和最小值，以了解数据的分布 情况；在回归分析中，我们需要找到使误 差平方和最小的参数值等。这些问题的解 决都需要利用最值定理和优化算法等数学 工具。
THANKS FOR WATCHING
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梯度法的步骤
计算目标函数的梯度，沿着负梯度的 方向搜索，确定步长，更新解的位置 。
牛顿法与最值
牛顿法
基于目标函数的二阶导数（海森 矩阵）信息，通过迭代寻找最优
解的方法。
牛顿法的步骤
计算目标函数的二阶导数（海森矩 阵），求解线性方程组，确定步长 ，更新解的位置。
牛顿法的优缺点
优点是对于凸函数收敛速度快；缺 点是需要计算二阶导数（海森矩阵 ），对于非凸函数可能陷入局部最 优解。
高中数学第三章不等式3.4简单线性规划3.4.2.1求线性目标函数的最值课件北师大版必修5
题型二
题型一
题型二
题型三
反思当直线 y=− ������ − + (������ < 0)的纵截距取最小值时,函数
������ ������ ������
������
������
������
z=ax+by+c 取最大值,反之取最小值 .
题型一
题型二
题型三
������ + 2������ ≤ 4, 【变式训练 2】 已知关于 x,y 的二元一次不等式组 ������-������ ≤ 1, ������ + 2 ≥ 0. 求函数������ = 3������ − ������的最大值和最小值. ������ + 2������ ≤ 4, 解:作出二元一次不等式组 ������-������ ≤ 1, 表示的平面区域, ������ + 2 ≥ 0 如图阴影部分所示.
������ ≥ 1, 【做一做 1】 已知变量 x,y 满足条件 ������ ≤ 2, 则������ + ������-������ ≤ 0, ������的最小值是( ).
A.4 B.3 C.2 D.1 解析:设 x+y=b,则 y=-x+b,画出可行域,如图阴影部分所示. 利用图解法,知当直线 y=-x+b 过点 M 时,b 取最小值. ������ = 1, 由 得M(1,1),则 x+y 的最小值为 2. ������-������ = 0,
题型一
题型二
题型三
由u=3x-y,得y=3x-u,得到斜率是3,在y轴上的截距为-u,且随u变化 的一组平行直线. 由图可知,当直线u=3x-y经过可行域上的点C时,截距-u最大,即u 最小, ������ + 2������ = 4, ������ = -2, 解方程组 得 即 C(-2,3). ������ = 3, ������ + 2 = 0, ∴umin=3×(-2)-3=-9. 当直线 u=3x-y 经过可行域上的点 B 时,截距 -u 最小, ������ + 2������ = 4, 即 u 最大,解方程组 ������-������ = 1, ������ = 2, 得 即B(2,1).∴u max=3×2-1=5. ������ = 1, ∴u=3x-y 的最大值是 5,最小值是-9.
利用简单的线性规划求最值 课件
作出直线 y＝34x，平移得最优解 M(3,5)，N(5,3 x＝5，y＝3 时，zmax＝3.
答案：A
[研一题]
[例 2]
x－y＋2≥0， 已知x＋y－4≥0，
2x－y－5≤0，
求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
(2)z＝2xy＋＋11的取值范围．
名称
意义
最优解
线性规划 问题
使目标函数取得 最大值或最的小可值行解
线性约束
在
条件下求线性目标函数的最大值或最小
值问题
[小问题·大思维] 1．在线性约束条件下，最优解唯一吗？
提示：最优解可能有无数多个，直线l0：ax＋by＝0与可 行域中的某条边界直线平行时求目标函数z＝ax＋by＋c 的最值，最优解就可能有无数多个．
4．在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的最大、最小 值与截距的对应关系又是怎样的？ 提示：z的最大值对应截距的最小值，z的最小值对应 截距的最大值．
[研一题]
[例 1]
x≥－3， 设 x、y 满足约束条件－y≥4－x＋4，3y≤12，
4x＋3y≤36，
求目
标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值．
[自主解答] 由约束条件画出可行域(如图所示)为矩 形ABCD(包括边界)．
点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋8在y轴上 的截距最大，
∴－a<kCD，即－a<－1. ∴a>1. 即a的取值范围为(1，＋∞)．
在例3的条件下，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大 值的点有无数个，求a的取值范围．
[自主解答] 作出可行域如图，并求 出顶点的坐标 A(1,3)、 B(3，1)、C(7,9)． (1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域 内任一点(x，y)到定点 M(0,5)的距离的 平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故 z 的最小值|MN|2＝92.
线性规划基本题型PPT课件
2a＋3b＝6，而2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋6 3b＝163＋(ba＋ab)≥163＋2＝
2021659/，12/3故1 2a＋3b的最小值为265.
18
2019/12/31
19
【解】由题意，满足二元一次不等式 组的解的可行域如图所示．由 z＝3x ＋2y，得 y＝－32x＋2z.要求 z 的最大值， 可求2z 的最大值，即求斜率为－23的直 线在可行域内在 y 轴上截距的最大值．
如图，显然直线过 A 点时，y＝－32＋2z 在 y 轴上截距最大．
2019/12/31
3
联立2x＋x＋2yy＝ ＝4500 ，得xy＝＝2100 ， ∴A(10,20)． ∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20＝70.
2019/12/31
1
题型一 求线性目标函数的最值—截距型
线性规划问题的基本解法是图解法，解好线性规划问 题的关键是画好平面区域，找到目标点．
2x＋y≤40 例1 若变量 x，y 满足xx≥＋02y≤50 ，
y≥0 求 z＝3x＋2y 的最大值．
2019/12/31
2
【分析】 解答本题可先画出可行域，采用图解法， 平行移动直线求解．
x≥0，y≥0，
＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为
25
12，则2a＋3b的最小值为
____6____．
解析 不等式表示的平面区域如图所示
阴影部分，当直线 ax＋by＝z(a>0，b>0)
过直线 x－y＋2＝0 与直线 3x－y－6＝0
的交点(4,6)时，目标函数 z＝ax＋by(a>0，
b>0)取得最大值 12，即 4a＋6b＝12，即
高中数学人教A版必修5第三章简单线性规划ppt课件
下列条件：
3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
线性约 束条件
可行域
y
x=1 C 3x+5y-25=0
B
A x-4y+3=0
O
x
有关概念
约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。
线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。
目标函数：欲求最值的Z关于x、y的解析式。
x≥1
y
2x－y＝0
当ｚ＝0时，设直线 l0：2x－y＝0 3x+5y=25
平移l0， 得l:y=2x-z,当l经过可行域上点A时，
C (1,4.4)
－z 最小，即ｚ最大。
o 当l经过可行域上点C时，－ｚ最大，x－4y=－3
即ｚ最小。
B
x=1
Ａ
(5,2)
x
由 x3－x＋4y5＝y＝－235得A点坐标__(5_,_2_)；由 x3=x1＋5y＝25得C点坐标_(_1_,_4_.4_)_；
线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。
-1 O 1 2 3 4
A
x-4y+3=0
•
3x+5y-25=0
56 7
x
zmin12252359l 0
-1
l2
同理，当直线取最小截距时，z有最大值
zmax5221
变题：若改为求z=3x+5y的最大值、最小值呢？
解：不等式组表示的平 面区域如图所示：
2 3
练习：
2x+3y≤24 设Z＝ｘ+3ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 x - y ≤ 7 ，
求ｚ的最大值和最小值。
y ≥0 y ≤6 x≥0
3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
线性约 束条件
可行域
y
x=1 C 3x+5y-25=0
B
A x-4y+3=0
O
x
有关概念
约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。
线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。
目标函数：欲求最值的Z关于x、y的解析式。
x≥1
y
2x－y＝0
当ｚ＝0时，设直线 l0：2x－y＝0 3x+5y=25
平移l0， 得l:y=2x-z,当l经过可行域上点A时，
C (1,4.4)
－z 最小，即ｚ最大。
o 当l经过可行域上点C时，－ｚ最大，x－4y=－3
即ｚ最小。
B
x=1
Ａ
(5,2)
x
由 x3－x＋4y5＝y＝－235得A点坐标__(5_,_2_)；由 x3=x1＋5y＝25得C点坐标_(_1_,_4_.4_)_；
线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。
-1 O 1 2 3 4
A
x-4y+3=0
•
3x+5y-25=0
56 7
x
zmin12252359l 0
-1
l2
同理，当直线取最小截距时，z有最大值
zmax5221
变题：若改为求z=3x+5y的最大值、最小值呢？
解：不等式组表示的平 面区域如图所示：
2 3
练习：
2x+3y≤24 设Z＝ｘ+3ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 x - y ≤ 7 ，
求ｚ的最大值和最小值。
y ≥0 y ≤6 x≥0
线性规划课件ppt
根据实际问题的特点，选择适合的线性规划模型进行建模和优化。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
线性规划求最值(详细)
2 2
其中P( x, y), M (1,0) 2 2 由图知 PM 1的最小值 AM 1
解：z （x 1) y 1 PM 1
2
2
补：x y OP
2 2
2
zmin 2 1 1
2
A P( x, y)
O
其中P( x, y)
2
B
由图知 OP 的最小值 d
z=2x+y
可行解： 满足约束条件的解(x,y) 即不等式组的解 可行域: 可行解组成的集合 （阴影部分） A(5,2),B(1,1) 最优解： 使目标函数取得最值的可行解 y x=1 2x+y=ｚ 线性规划问题： 可行域 线性目标函数在线性约 最优解 束条件下的最值 的问题
o
1 x-4y+3=0
A（5，2）
(1)求z x y 10y 25最小值
x y20 (2) x，y满足 x y 4 0 2x y 5 0 2 2
2 2
2 y 1 ( 2)求 的范围 x 1
x y20 C
M
(1)解：z x （y - 5） PM
其中P( x, y), M (0,5)
(1)画区域
（2）z 2 x 3 y化为y x 3 2 z 3 表示斜率为 ，纵截距为 的一组平行线 3 3
x 2 y 8 （4）解方程组 得点A(4,2) 4 x 16
(3)直线过点 A 时纵截距最大，此时z最大,过点 O 时z最小
zmax 2 4 3 6 14 Zmin 0 注：斜率越大， 倾斜角越大
2
由图知 PM 最小值 d 2
2
A
N
其中P( x, y), M (1,0) 2 2 由图知 PM 1的最小值 AM 1
解：z （x 1) y 1 PM 1
2
2
补：x y OP
2 2
2
zmin 2 1 1
2
A P( x, y)
O
其中P( x, y)
2
B
由图知 OP 的最小值 d
z=2x+y
可行解： 满足约束条件的解(x,y) 即不等式组的解 可行域: 可行解组成的集合 （阴影部分） A(5,2),B(1,1) 最优解： 使目标函数取得最值的可行解 y x=1 2x+y=ｚ 线性规划问题： 可行域 线性目标函数在线性约 最优解 束条件下的最值 的问题
o
1 x-4y+3=0
A（5，2）
(1)求z x y 10y 25最小值
x y20 (2) x，y满足 x y 4 0 2x y 5 0 2 2
2 2
2 y 1 ( 2)求 的范围 x 1
x y20 C
M
(1)解：z x （y - 5） PM
其中P( x, y), M (0,5)
(1)画区域
（2）z 2 x 3 y化为y x 3 2 z 3 表示斜率为 ，纵截距为 的一组平行线 3 3
x 2 y 8 （4）解方程组 得点A(4,2) 4 x 16
(3)直线过点 A 时纵截距最大，此时z最大,过点 O 时z最小
zmax 2 4 3 6 14 Zmin 0 注：斜率越大， 倾斜角越大
2
由图知 PM 最小值 d 2
2
A
N
利用简单的线性规划求最值 课件
(x，y)与定点(a，b)的连线的斜率；z＝acxy＋＋db＝
a c
·y－－ba x－－dc， Nhomakorabea表
示
可
行
域
内
的
点
(x
，
y)
与
定
点
－dc，－ba的连线的斜率的ac倍．
[思考 3] z＝|ax＋by＋c|(a2＋b2≠0) 的几何意义是什么？
名 师 指 津 ： z ＝ |ax ＋ by ＋ c| ＝ a2＋b2·|ax＋a2b＋x＋b2c|，表示可行域内的 点(x，y)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离的 a2＋b2倍．
利用简单的线性规划求最值
某工厂用 A、B 两种配件生产甲，乙两 种产品，每生产一件甲种产品使用 4 个 A 配件耗时 1 h，每生产一件乙种产品使用 4 个 B 配件耗时 2 h，该厂每天最多可从 配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，
按每天工作 8 小时计算，该厂所有可能 的日生产安排是什么？若生产 1 件甲种产品 获利 2 万元，生产 1 件乙种产品获利 3 万元， 采用哪种生产安排利润最大？
2．归纳总结，核心必记 线性规划的有关概念
名称 约束条件 线性约 束条件
目标函数
意义 关于变量 x、y 的 不等式(组) . 由 x、y 的 一次 不等式组成的不
等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变
量 x，y 的函数解析式
线性目标 函数 可行解 可行域
最优解
线性规划 问题
关于 x，y 的 一次 解析式
(2)移：运用数形结合的思想，把目 标函数表示的直线平行移动，最先通过或 最后通过的顶点(或边界)便是最优解．
(3)求：解方程组求最优解，进而求 出目标函数的最大值或最小值．
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10
3.xx
y 3
5
0
z 2x 4y最小值 -6，求k
x
解：z
yk 0
2x 4y化为y
1
x
z
x y50
与y 1 x平行
22
当直线过 A2 点，z最小. 可求A(3,-3- k)
x
y
O
k
3
0
zmin 23 4(3 k) 6
A
k 0
11
4.z=mx+y(m>0)取得最大值的最优解有无数个,求m
y
x y 5 0 x y 0
x+y=0
x 3
5
表示的平面区域.
-5O
x
x-y+5=0 x=3
注：不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。
2
1.点(-1,2)和(3,- 3)在直线3x+y-a=0两侧，则a的范围 . 解：点(-1,2)和(3,- 3)在直线3x+y-a=0的两侧，将这两
线性规划问题：
x=1 2x+y=ｚ 可行域
线性目标函数在线性约 最优解 束条件下的最值 的问题
x-4y+3=0
A（5，2）
B（1，1）3x+5y-25=0
o1
x
7
理解记忆：三个转化
约束条件
转化
可行域
目标函数 Z=Ax+By
转化
一组平行线 yA x Z
ΒB
最优解 转化
四个步骤： 1.画：画可行域
寻找平行线的 最大(小) 纵截距
2.
x,
y满足
y
0
求z=x-y的最值
(1)画区域 x y 1 (2)z x y化为y x z，斜率为1，
B
纵截距为-z的一组平行线 l
(3)平移直线y x
(4)直线过点A时纵截距-z最小，z最大;
OA
x y1
过点B时纵截距-z最大，z最小.
交点A(1,0),B(0,1)
Zmax 1 0 1, Zmin 0 1 1.
2.移：线性目标函数表示的一组平行线中，利用平移方
法找出与可行域公共点且纵截距最大或最小的直线
3. 求：求交点点的坐标，并求最优解
4.答： 8
一、目标函数
z Ax By即y A x 1 z表示一组平行线，
BB
其中 A 为斜率，1 z为纵截距，
B
B
当B>0时,
当直线向上平移时,所对应的截距随之增大;z 增大.
---------向下----------------------------------减小. Z 减小.
当B<0时, 当直线向上平移时,所对应的截距随之增大，但z 减小. ---------向下----------------------------------减小，但z 增大.
注意：斜率大小及截距符号。
4. P(x0,y0)在Ax+By+C<0表示的区域内，则 Ax0+By0+C<0 - - -- - - -- 在Ax+By+C>0- - - -- - -，则Ax0+By0+C>0
5.点P(x1,y1), Q(x2,y2) 在直线Ax+By+C=0的 (1)同侧，则 ( Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C) >0 (2)两侧，则 ( Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C) <0
特殊地P(x, y), O(0,0)
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2
k AB
y2 y1 x2 x1
OP x2 y2
1.二元一次方程Ax+By+C=0 对应的图形为 直线.
2.二元一次不等式Ax + By + C＞(<)0表示对应直线 Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。
3.>0 (或<0) 时, 直线画成虚线;区域不包括边界直线 ≥0(或≤0)时,- --- --- - -实线.区域包括- - - - - -- --
(2)求z=x+2y的最值
(1)画区域
（2）z
2x
3 y化为y
O
2
x
4z
表示斜率为 2，纵截距为 z 的3一组平3 行线
(3)直线过点
A
3
3
时纵截距最大，此时z最大,过点
O
时z最小
（z4m）ax 解 2方程4 组 34x6x2141y6Z8m得in 点A0(4,2注) ：倾斜斜率角越越大大，4
x 0
9
x 0
1. x ,
y满足
x
2
y
3
求z=x-y的最值
2x y 3
解：z x y化为y x z，
与直线y x平行,纵截距为-z
B
直线过点 A时z值最大;
过点 B 时z值最小.
A
解方程组得点A(1,1),B(0,3) O
zmax 1 1 0, zmin 0 3 3 3 z 0
注意： 目标函数化为斜截式后，
分析斜率大小；z的系数符号。
5
x 0
1. x ,
y满足
x
2
y
3
2x y 3
求z=x-y的最值
(2)z x y化为y x z，
B
斜率为1，纵截距为-z的 一组平行线 l
A
(3)平移直线y x
O
(4)直线过点 A时z值最大;过点 B时z值最小.
解方程组求交点A(1,1),B(0,3)
同侧同号， 异侧异号
6.二元一次不等式Ax+By+C> 0(<0) 对应区域判别方法:
特殊点法
直线定界，特殊点定域； 当C≠0时,取原点(0,0)为特殊点，
当C=0时, (1,0)或(0, 1) 为特殊点。
若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，
否则是另一侧区域为需画区域。
1
例：画出不等式组
Zmax 1 1 0, Zmin 0 3 3
6
基本概念：
x 4 y 3
线性约束条件： 3x 5 y 25
x
1
目标函数，线性目标函数
z=2x+y
可行解： 满足约束条件的解(x,y) 即不等式组的解
可行域: 可行解组成的集合 （阴影部分）
最优解： 使目标函数取得最值y的可行解 A(5,2),B(1,1)
解：z mx y化为y mx z
m 0
y C(1, 22)
直线y mx z与直线AC重合时 5
线段AC上的每一点都是最优解
斜率k m kAC
BA(1(1,,11))
k AC
3 22 5
5 1
7 20
0
m 7x 1 20
A(5,3)
x
12
A(x1, y1), B(x2 , y2 )
点坐标代入3x+y-a=0后，符号相反，
∴(-3+2+a)(9-3-a) <0， 得－1＜a＜6.
2.点(-1,2) 在5x+y-a<0表示的区域内，则a的范围 .
-5+2-a <0，得a>-3
3
x+2y≤8
例1. 4x≤16 求z=2x+3y的最值 4y≤12
B(2,3)
x≥0 ,y≥0
3
A
补(1)求z=x+4y的最值