磁场 F洛 F安 圆周运动的题型
高中物理-“带电粒子在磁场中的圆周运动”解析
“带电粒子在磁场中的圆周运动”解析处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，其本质是平面几何知识与物理知识的综合运用。
重要的是正确建立完整的物理模型，画出准确、清晰的运动轨迹。
下面我们从基本问题出发对“带电粒子在磁场中的圆周运动”进行分类解析。
一、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的基本型问题找圆心、画轨迹是解题的基础。
带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛仑兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。
【例1】图示在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁场的磁感应强度为B；一带正电的粒子以速度V0从O点射入磁场中，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为θ；若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L。
求①该粒子的电荷量和质量比；②粒子在磁场中的运动时间。
分析：①粒子受洛仑兹力后必将向下偏转，过O点作速度V0的垂线必过粒子运动轨迹的圆心O’；由于圆的对称性知粒子经过点P时的速度方向与x轴正方向的夹角必为θ，故点P作速度的垂线与点O处速度垂线的交点即为圆心O’（也可以用垂径定理作弦OP的垂直平分线与点O处速度的垂线的交点也为圆心）。
由图可知粒子圆周运动的半径由有。
再由洛仑兹力作向心力得出粒子在磁场中的运动半径为故有，解之。
②由图知粒子在磁场中转过的圆心角为，故粒子在磁场中的运动时间为。
【例2】如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B1＝2B2，现有一质量为m带电+q的粒子从O点以初速度V0沿垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。
（粒子重力不计）分析：粒子在二磁场中的运动半径分别为，由粒子在磁场中所受的洛仑兹力的方向可以作出粒子的运动轨迹如图所示。
磁场的圆周运动
入射角300时
t 1 2m m
6 qB 3qB
入射角1500时
t 5 2m 5m
6 qB 3qB
例:如图所示，在第一象限有磁感应强度为B的 匀强磁场，一个质量为m，带电量为+q的粒子 以速度v从O点射入磁场，θ角已知，求粒子在磁 场中飞行的时间和飞离磁场的位置（粒子重力 不计）（2）如仅改变速度大小为2v，时间？
判断下图中带电粒子（电量q，重力不计）所受洛伦兹力的大小和
方向：
× × ×B× ×
F=0
-
v
B
×××××
F × × × × ×
× × +× × v×
匀速直线运动
×××××
匀速圆周运动
粒子运动方向与磁场有一夹角（大于0度小于90度）轨迹为螺线
一、带电粒子运动轨迹的半径 思路:带电粒子初速度方向与磁场方向垂直射 入匀强磁场时,粒子仅在洛伦兹力的作用下将 做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。
磁场边缘A点沿半径方向射人一束速率不同的质子，
对这些质子在磁场中的运动情况的分析中，正确的是：
A.运动时间越长的，在磁场中通过的距离越长
B.运动时间越短的，其速率越大
BC
C.磁场中偏转角越小的，运动时间越短
D.所有质子在磁场中的运动时间都相等
v0
A
•
B
结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆 心角都越小，运动时间越短。
• (2)定半径．
• 由几何知识知，
• 弧AB的圆心角θ＝30°，OB为半径．
例3： 1.圆心在哪里?
d
A
v
2.轨迹半径是多少?
f
3、圆心角θ =?
4.穿透磁场的时间如何求？
圆形磁场试题及答案
圆形磁场试题及答案1. 一个带正电的粒子以速度v垂直于磁场方向进入一个均匀的圆形磁场中，其半径为R。
如果粒子的电荷量为q，磁场强度为B，求粒子在磁场中的运动轨迹。
答案：粒子在磁场中将做匀速圆周运动。
根据洛伦兹力提供向心力的原理，有qvB = m*v^2/R，其中m为粒子的质量。
解得粒子的运动半径R' = mv/qB。
2. 若上述粒子的质量为m，求粒子在磁场中运动的周期T。
答案：周期T可以通过公式T = 2πm/qB计算得出。
3. 一个带负电的粒子以速度v进入一个垂直于磁场方向的圆形磁场中，磁场强度为B，求粒子在磁场中的运动半径。
答案：由于粒子带负电，其运动半径R'与正电粒子相反，即R' = -mv/qB。
4. 若磁场强度B增大为原来的2倍，求粒子在磁场中的运动周期。
答案：磁场强度B增大为原来的2倍，粒子在磁场中的运动周期T不变，因为周期T与磁场强度B无关。
5. 一个带电粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动，已知粒子的电荷量为q，质量为m，磁场强度为B，求粒子的运动速度v。
答案：根据洛伦兹力提供向心力的原理，有qvB = m*v^2/R，解得粒子的运动速度v = qBR/m。
6. 若磁场强度B减小为原来的一半，求粒子在磁场中的运动半径。
答案：磁场强度B减小为原来的一半，粒子在磁场中的运动半径R'将增大为原来的2倍，即R' = 2mv/qB。
7. 一个带电粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动，已知粒子的电荷量为q，质量为m，求粒子的运动周期T。
答案：根据周期公式T = 2πm/qB，可以计算出粒子的运动周期T。
8. 若粒子的质量m增大为原来的2倍，求粒子在磁场中的运动半径。
答案：粒子的质量m增大为原来的2倍，粒子在磁场中的运动半径R'将减小为原来的1/2，即R' = mv/2qB。
9. 一个带电粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动，已知粒子的电荷量为q，磁场强度为B，求粒子的质量m。
高考物理高考物理带电粒子在磁场中的运动常见题型及答题技巧及练习题(含答案)
高考物理高考物理带电粒子在磁场中的运动常见题型及答题技巧及练习题(含答案)一、带电粒子在磁场中的运动专项训练1．如图所示为电子发射器原理图，M 处是电子出射口，它是宽度为d 的狭缝．D 为绝缘外壳，整个装置处于真空中，半径为a 的金属圆柱A 可沿半径向外均匀发射速率为v 的电子；与A 同轴放置的金属网C 的半径为2a.不考虑A 、C 的静电感应电荷对电子的作用和电子之间的相互作用，忽略电子所受重力和相对论效应，已知电子质量为m ，电荷量为e.(1)若A 、C 间加速电压为U ，求电子通过金属网C 发射出来的速度大小v C ；(2)若在A 、C 间不加磁场和电场时，检测到电子从M 射出形成的电流为I ，求圆柱体A 在t 时间内发射电子的数量N.(忽略C 、D 间的距离以及电子碰撞到C 、D 上的反射效应和金属网对电子的吸收)(3)若A 、C 间不加电压，要使由A 发射的电子不从金属网C 射出，可在金属网内环形区域加垂直于圆平面向里的匀强磁场，求所加磁场磁感应强度B 的最小值． 【答案】(1)22e eUv v m=+4alt N ed π=(3) 43mv B ae = 【解析】 【分析】（1）根据动能定理求解求电子通过金属网C 发射出来的速度大小；（2）根据=neI t求解圆柱体A 在时间t 内发射电子的数量N ；（3）使由A 发射的电子不从金属网C 射出，则电子在 CA 间磁场中做圆周运动时，其轨迹圆与金属网相切，由几何关系求解半径，从而求解B. 【详解】（1）对电子经 CA 间的电场加速时，由动能定理得221122e e U mv mv =- 解得：22e eUv v m=+（2）设时间t 从A 中发射的电子数为N ，由M 口射出的电子数为n ， 则 =ne I t224d dNn N a aππ==⨯解得4altN edπ=（3）电子在 CA 间磁场中做圆周运动时，其轨迹圆与金属网相切时，对应的磁感应强度为B ．设此轨迹圆的半径为 r ，则222(2)a r r a -=+2v Bev m r=解得：43mvB ae=2．如图甲所示，在直角坐标系中的0≤x≤L 区域内有沿y 轴正方向的匀强电场，右侧有以点（2L ，0）为圆心、半径为L 的圆形区域，与x 轴的交点分别为M 、N ，在xOy 平面内，从电离室产生的质量为m 、带电荷量为e 的电子以几乎为零的初速度从P 点飘入电势差为U 的加速电场中，加速后经过右侧极板上的小孔Q 点沿x 轴正方向进入匀强电场，已知O 、Q 两点之间的距离为2L，飞出电场后从M 点进入圆形区域，不考虑电子所受的重力。
带电粒子在磁场中的圆周运动高考题
60°时，为了使粒子从ab的中点c射出磁场，则
速度应为：（ D ）
A．1 2
(
v1
v2
)
B． 2 2
(
v1
v2
)
B x
C． 3 3
(
v1
v2
)
D． 6 6
(
v1
v2
Oa )
解见下页
c
b
解：设a、b、c三点的坐标分别为x1、 x2 、 x3 ，
当 α= 45°x1,速度2为R1v1的2粒mq子B从v1 a点射出磁场, 有:
-Pq
M
v
b. 已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点 作入射方向的垂线,连接入射点和出射点, O 作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧
轨道的圆心(如图示，P为入射点，M为出
M
射点)．
P-q v
(2) 半径的确定和计算
利用平面几何关系,求出该圆的可能半径(或圆心角)． 并注意以下两个重要的几何特点：
a. 粒子速度的偏向角(φ)等于回旋角 (α)，
并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2
倍(如图)，
即．φ=α=2θ=ωt
O′ (偏向角)
b. 相对的弦切角(θ)相等， 与相邻的弦切角(θ′)互补， 即．θ+θ′ =180°
v
A
θ
θB
O
v
(3) 运动时间的确定
a. 直接根据公式 t =s / v 或 t =α/ω求出运动时间t
2.2006年北京卷20、
20.如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，一带
电微粒从磁场边界d点垂直于磁场方向射入，沿曲线
dpa打到屏MN上的a点，通过pa段用时为t,若该微粒经
高中物理磁场的常见题型解题技巧
高中物理磁场的常见题型解题技巧在高中物理学习中，磁场是一个重要的概念，也是考试中常见的题型之一。
掌握解题技巧对于学生来说至关重要。
本文将介绍几种常见的磁场题型，并提供相应的解题技巧，帮助学生更好地应对这些题目。
一、磁场力的计算题磁场力的计算题是磁场题型中最基础的一种。
通常，题目给出一个带电粒子在磁场中受到的力以及其他相关参数，要求求解带电粒子的速度、磁场强度等。
解决这类题目的关键是运用洛伦兹力公式F=qvBsinθ，其中F为力，q为电荷量，v为速度，B为磁场强度，θ为磁场与速度的夹角。
例如，题目给出一个电子在磁场中受到的力为2×10^-15 N，电子的电荷量为1.6×10^-19 C，磁场强度为0.5 T，求解电子的速度。
根据洛伦兹力公式，我们可以得到F=qvBsinθ，由此可以解出电子的速度为v=F/(qBsinθ)。
二、磁感应强度的计算题磁感应强度的计算题是另一类常见的磁场题型。
题目通常给出一个导线或线圈的长度、电流以及其他相关参数，要求求解磁感应强度。
解决这类题目的关键是运用安培环路定理B=μ0nI，其中B为磁感应强度，μ0为真空中的磁导率，n为线圈的匝数，I为电流。
例如，题目给出一个长度为0.2 m的直导线，电流为2 A，求解导线中心点的磁感应强度。
根据安培环路定理，我们可以得到B=μ0nI/(2πr)，由此可以解出导线中心点的磁感应强度为B=μ0I/(2πr)。
三、磁场中的电荷运动轨迹题磁场中的电荷运动轨迹题是较为复杂的一类磁场题型。
题目通常给出一个带电粒子在磁场中的初始速度、磁场强度以及其他相关参数，要求求解带电粒子的运动轨迹。
解决这类题目的关键是运用带电粒子在磁场中受力的性质，即洛伦兹力的方向垂直于速度和磁场。
例如，题目给出一个带正电的粒子在磁场中的初始速度为2×10^5 m/s，磁场强度为0.5 T，求解带电粒子的运动轨迹。
由于洛伦兹力的方向垂直于速度和磁场，带电粒子将绕着磁场线做圆周运动。
高中物理带电粒子在磁场中的运动试题类型及其解题技巧含解析
高中物理带电粒子在磁场中的运动试题类型及其解题技巧含解析一、带电粒子在磁场中的运动专项训练1．如图所示，在一直角坐标系xoy 平面内有圆形区域，圆心在x 轴负半轴上，P 、Q 是圆上的两点，坐标分别为P （-8L ，0），Q （-3L ，0）。
y 轴的左侧空间，在圆形区域外，有一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy 平面向外，磁感应强度的大小为B ，y 轴的右侧空间有一磁感应强度大小为2B 的匀强磁场，方向垂直于xoy 平面向外。
现从P 点沿与x 轴正方向成37°角射出一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，带电粒子沿水平方向进入第一象限，不计粒子的重力。
求： （1）带电粒子的初速度；（2）粒子从P 点射出到再次回到P 点所用的时间。
【答案】(1)8qBLv m=；(2)41(1)45m t qB π=+ 【解析】 【详解】(1)带电粒子以初速度v 沿与x 轴正向成37o 角方向射出，经过圆周C 点进入磁场，做匀速圆周运动，经过y 轴左侧磁场后，从y 轴上D 点垂直于y 轴射入右侧磁场，如图所示，由几何关系得：5sin37o QC L =15sin37OOQO Q L ==在y 轴左侧磁场中做匀速圆周运动，半径为1R ，11R O Q QC =+21v qvB mR =解得：8qBLv m=； (2)由公式22v qvB m R =得：2mv R qB =，解得：24R L =由24R L =可知带电粒子经过y 轴右侧磁场后从图中1O 占垂直于y 轴射放左侧磁场，由对称性，在y 圆周点左侧磁场中做匀速圆周运动，经过圆周上的E 点，沿直线打到P 点，设带电粒子从P 点运动到C 点的时间为1t5cos37o PC L =1PCt v=带电粒子从C 点到D 点做匀速圆周运动，周期为1T ，时间为2t12mT qBπ=2137360oo t T = 带电粒子从D 做匀速圆周运动到1O 点的周期为2T ，所用时间为3t22·2m mT q B qBππ== 3212t T =从P 点到再次回到P 点所用的时间为t12222t t t t =++联立解得：41145mt qB π⎛⎫=+⎪⎝⎭。
带电粒子在磁场中运动的六类高考题型归类解析
带电粒子在磁场中运动的六类高考题型归类解析一、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的基本问题带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必做匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题．定圆心、画轨迹、找几何关系是解题的基础．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．【例1】钍核Th 23090发生衰变生成镭核Ra 22688并放出一个粒子．设该粒子的质量为m 、电荷量为q ，它进入电势差为U 的带窄缝的平行平板电极1S 和2S 间电场时，其速度为0υ，经电场加速后，沿Ox 方向进入磁感应强度为B 、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，Ox 垂直平板电极1S ，当粒子从P 点离开磁场时，其速度方向与Ox 方向的夹角θ=60º，如图所示，整个装置处于真空中．⑪写出钍核的衰变方程；⑫求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨迹半径R ； ⑬求粒子在磁场中运动所用的时间t ．【解析】⑪钍核衰变方程Ra He Th 226884223090+→ ① ⑫设粒子离开电场时速度为υ，对加速过程有：2022121υυm m qU -= ② 粒子在磁场中有：Rm B q 2υυ= ③ 由②③得：202υ+=mqU qB m R④ ⑬粒子做圆周运动的回旋周期：qBmRT πυπ22==⑤粒子在磁场中运动时间：T t 61= ⑥由⑤⑥得：qBmt 3π= ⑦二、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题 导致轨道半径变化的原因有：①带电粒子速度变化导致半径变化．如带电粒子穿过极板速度变化；带电粒子使空气电离导致速度变化；回旋加速器加速带电粒子等．②磁场变化导致半径变化．如通电导线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化． ③动量变化导致半径变化．如粒子裂变，或者与别的粒子碰撞． ④电量变化导致半径变化．如吸收电荷等．总之，由qBm R υ=看m 、υ、q 、B 中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致带电粒子的轨道半径变化．【例2】如图所示，在x ＜0与x ＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为1B 与2B 的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且21B B >．一个带负电荷的粒子从坐标原点O 以速度υ沿x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O 点，1B 与2B 的比值应满足什么条件？υ，交替地在xy 平面内1B 与2B 磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周．设粒子的质量和电荷量的大小分别为m 和q ，圆周运动的半径分别为1r 和2r ，有：11qB m r υ=① 22qB m r υ=②现分析粒子运动的轨迹．如图所示，在xy 平面内，粒子先沿半径为1r 的半圆1C 运动至y 轴上离O 点距离为12r 的A 点，接着沿半径为2r 的半圆1D 运动至y 轴的1O 点，O O 1距离)(212r r d -=③此后，粒子每经历一次“回旋”(即从y 轴出发沿半径1r 的半圆和半径为2r 的半圆回到原点下方y 轴)，粒子y 坐标就减小d ． 设粒子经过n 次回旋后与y 轴交于n O 点．若n OO 即nd 满足：12r nd =④ 则粒子再经过半圆1n +C 就能够经过原点，式中n=1，2，3，……为回旋次数．由③④式解得：121+=n nr r ⑤由①②⑤式可得1B 、2B 应满足的条件：112+=n nB B ，n=1，2，3，……三、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题 ①带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有： ②粒子运动范围的空间临界问题． ③磁场所占据范围的空间临界问题． ④运动电荷相遇的时空临界问题等．审题时应注意恰好，最大、最多、至少等关键字．【例3】两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x 轴和y 轴，交点O 为原点，如图所示，在y>0、0<x<a 的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在y>0、x>a 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B ．在O 点处有一小孔，一束质量为m 、带电量为q(q>0)的粒子沿x 轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮，入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0<x<a 的区域中运动的时间与在x>a 的区域中运动的时间之比为2∶5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T 为该粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中做圆周运动的周期．试求两个荧光屏上亮线的范围(不计重力的影响)．【解析】粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中运动的半径为：qBm r υ=① 速度小的粒子将在a x <的区域走完半圆，射到竖直屏上．半圆的直径在y 轴上，半径的范围从0到a ，屏上发亮的范围从0到2a ．轨道半径大于a 的粒子开始进入右侧磁场，考虑r=a 的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x 轴在D 点相切(图中虚线)，OD=2a ，这是水平屏上发亮范围的左边界．速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C 和C '，C 在y 轴上，由对称性可称C '在x=2a 直线上．设1t 为粒子在a x <<0的区域中运动的时间，2t 为在a x >的区域中运动的时间，由题意可知： 5221=t t ，12721T t t =+ 由此解得：61T t =②，1252Tt =③由②、③式和对称性可得： 60=∠OCM ④ 60='∠N C M ⑤︒=⨯='∠150125360 P C M ⑥所以︒=︒-︒='∠9060150P C N ⑦即NP 为1/4圆周．因此，圆心C '在x 轴上．设速度为最大值的粒子的轨道半径为R ，由直角C CO '∆可得：a R 260sin 2=即332aR =⑧ 由图可知OP=2a+R因此水平荧光屏发亮范围为a x a )331(22+≤≤⑨ 小结：本题考查带电粒子在磁场中的运动规律，正确分析带电粒子的运动并画出运动轨迹，运用几何知识解答是本题的关键，着重考查推理能力，应用数学处理物理问题的能力和分析综合能力．四、带电粒子在有界磁场中的极值问题 寻找产生极值的条件： ①直径是圆的最大弦．②同一圆中大弦对应大的圆心角．③由轨迹确定半径的极值．【例4】有一粒子源置于一平面直角坐标原点O 处，如图所示，以相同的速率0υ向第一象限平面内的不同方向发射电子，已知电子质量为m 、电量为e ．欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为B 的匀强磁场后，都能平行于x 轴沿+x 方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积S ．【解析】由于电子在磁场中做匀速圆周运动的半径eBm R 0υ=是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆O 1，它就是磁场的上边界．其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O 为圆心，以R 为半径的圆弧O 1O 2O n ．由于要求所有电子均平行于x 轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点．如对图中任一轨迹圆O 2而言，要使电子能平行于x 轴向右飞出磁场，过O 2作弦的垂线O 2A ，则电子必将从点A 飞出，相当于将此轨迹的圆心O 2沿y 方向平移了半径R 即为此电子的出场位置．由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧O 1O 2O n 沿y 方向向上平移半径R 后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧OAP 示．综上所述，要求的磁场的最小区域为弧OAP 与弧OBP 所围．利用正方形OO 1PC 的面积减去扇形OO 1P的面积即为OBPC 的面积；即R 2-πR 2/4．根据几何关系有最小磁场区域的面积为：2022))(12()41-(2eBm R R S υππ-==五、带电粒子在复合场中运动问题复合场包括：磁场和电场，磁场和重力场，或重力场、电场和磁场． 有带电粒子的平衡问题，匀变速运动问题，非匀变速运动问题，在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点．粒子动能的变化是电场力或重力做功的结果． 【例5】如图所示，在坐标系Oxy 的第一象限中存在沿y 轴正方形的匀强电场，场强大小为E ．在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里．A 是y 轴上的一点，它到座标原点O 的距离为h ；C 是x 轴上的一点，到O 点的距离为l ，一质量为m 、电荷量为q 的带负电的粒子以某一初速度沿x 轴方向从A 点进入电场区域，继而通过C 点进入大磁场区域，并再次通过A 点．此时速度方向与y 轴正方向成锐角．不计重力作用．试求：⑪粒子经过C 点时速度的大小和方向； ⑫磁感应强度的大小B ．【解析】⑪以a 表示粒子在电场作用下的加速度，有：ma qE =① 加速度沿y 轴负方向．设粒子从A 点进入电场时的初速度为0υ，由A 点运动到C 点经历的时间为t ，则有：221at h =②t l 0υ=③由②③式得：ha l20=υ④ 设粒子从C 点进入磁场时的速度为υ，υ垂直于x 轴的分量为：ah 21=υ⑤由①④⑤式得：mhl h qE 2)4(222120+=+=υυυ⑥ 设粒子经过C 点时的速度方向与x 轴的夹角为α，则有：01tan υυα=⑦ 由④⑤⑦式得：lh 2arctan=α⑧⑫粒子经过C 点进入磁场后在磁场中做速率为υ的圆周运动．若圆周的半径为R ，则有：Rm B q 2υυ=⑨设圆心为P ，则PC 必与过C 点的速度垂且有PC=PA=R ．用β表示PA 与y 轴的夹角，由几何关系得： h R R +=αβcos cos ⑩ αβsin sin R l R -=⑾ 由⑧⑩⑾式解得：222242l h hll h R ++=⑿由⑥⑨⑿式得：qmhEl h B 2122+=⒀ 六、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题 多解形成原因：①带电粒子的电性不确定形成多解． ②磁场方向不确定形成多解． ③临界状态的不唯一形成多解．④在有界磁场中运动时表现出来多解，运动的重复性形成多解．【例6】在半径为r 的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B ；一质量为m 、带电+q 的粒子以速度υ从筒壁A 处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛仑兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A 处射出；则B 必须满足什么条件？带电粒子在磁场中的运动时间？【解析】由于粒子从A 处沿半径射入磁场后必做匀速圆周运动，要使粒子又从A 处沿半径方向射向磁场，且粒子与筒壁的碰撞次数未知，故设粒子与筒壁的碰撞次数为n(不含返回A 处并从A 处射出的一次)，由图可知12112+=+=n n ππα，其中n 为大于或等于2的整数(当n=1时即粒子必沿圆O 的直径做直线运动，表示此时B=0)．由图知粒子圆周运动的半径R 为：1tan tan +==n r r R πα再由粒子在磁场中的运动半径qB m R υ=可求出1cot +=n qr m B πυ粒子在磁场中的运动周期为qBmT π2=，粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得：παπθ112+-=-=n n粒子从A 射入磁场再从A 沿半径射出磁场的过程中将经过n+1段圆弧，故粒子运动的总时间为：T n t πθ2)1(+= 将前面B 代入T 后与θ共同代入前式得：1tan)1(+-=n rn t πυπ练习1．一质量为m 、电量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它运动的平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是A ．m qB 4 B ．m qB 3 C ．m qB 2 D ．mqB2．在半径为R 的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B ．一质量为m ，带有电量q 的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD 方向经P 点(AP=d)射入磁场(不计重力影响)．⑪如果粒子恰好从A 点射出磁场，求入射粒子的速度．⑫如果粒子经纸面内Q 点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q 点切线的夹角为φ(如图)．求入射粒子的速度．3．如图所示，以ab 为边界的两匀强磁场的磁感应强度为1B =22B ，现有一质量为m 、带电+q 的粒子从O 点以初速度0υ沿垂直于ab 方向发射．在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab 所经历的时间、路程及离开点O 的距离．(粒子重力不计)4．一质量m 、带电q 的粒子以速度0υ从A 点沿等边三角形ABC 的AB 方向射入强度为B 的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC 射出，求圆形磁场区域的最小面积．5．如图所示真空中宽为d 的区域内有强度为B 的匀强磁场，方向如图，质量m 带电-q 的粒子以与CD 成θ角的速度0υ垂直射入磁场中；要使粒子必能从EF 射出则初速度0υ应满足什么条件？EF 上有粒子射出的区域？答案:1 AC 2解：⑪由于粒子在P 点垂直射入磁场，故圆弧轨道的圆心在AP 上，AP 是直径．设入射粒子的速度为1υ，由洛伦兹力的表达式和牛顿第二定律得：2/211d m B q υυ=①解得：mqBd21=υ②⑫如图所示，设O′是粒子在磁场中圆弧轨道的圆心，连接O ′Q ，设O ′Q =R′，由几何关系得： ∠OQO ′=φ③O ′Q=R ′+R －d ④由余弦定理得：ϕcos 2)(222R R R R O O '-'+='⑤解得：])cos 1([2)2(d R dd R R -+-='ϕ⑥设入射粒子的速度为υ，由R m B q '=2υυ解得：])cos 1([2)2(d R m d R qBd -+-=ϕυ⑦3、解：粒子在两磁场中的运动半径分别为101qB m R υ=，12022R qB m R ==υ，由粒子在磁场中所受的洛仑兹力的方向可以作出粒子的运动轨迹如图所示．粒子从点O 出发第6次穿过直线ab 时的位置必为点P ；故粒子运动经历的时间为：)22(321TT t +=而粒子的运动周期112qB m T π=，222qB mT π=代入前式有：229qB mt π=粒子经过的路程：20219)(3qB m R R s υπππ=+=点O 与P 的距离为：11623qB m R OP υ=⨯=4、解：由题中条件求出粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径为一定，故作出粒子沿AB 进入磁场而从BC 射出磁场的运动轨迹图中虚线圆所示，只要小的一段圆弧PQ 能处于磁场中即能完成题中要求；故由直径是圆的最大弦可得圆形磁场的最小区域必为以直线PQ 为直径的圆如图中实线圆所示．由于三角形ABC为等边三角形，故图中α=30°，那么qB m R PQ r 03cos 22υα===，故最小磁场区域的面积为：22202243B q m r S υππ==5、解：粒子从A 点进入磁场后受洛仑兹力做匀速圆周运动，要使粒子必能从EF 射出，则相应的临界轨迹必为过点A 并与EF 相切的轨迹如图所示，作出A 、P 点速度的垂线相交于O ′即为该临界轨迹的圆心，临界半径0R 由d R R =+θcos 00有：θcos 10+=dR故粒子必能穿出EF 的实际运动轨迹半径R≥0R ，即θυcos 10+≥=dqB m R ∴)cos 1(0θυ+≥m qBd由图知粒子不可能从P 点下方向射出EF ，即只能从P 点上方某一区域射出；又由于粒子从点A 进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG 直线上方射出；由此可见EF 中有粒子射出的区域为PG ，且由图知：θθθθθcot cos 1sin cot sin 0d d d R PG ++=+=。
带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题(解析版)
带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题1.两种方法定圆心(1)已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心。
如图甲所示，图中P 为入射点，M 为出射点。
(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心。
如图乙所示，P 为入射点，M 为出射点。
2.几何知识求半径方法一：由物理方程求：半径R ＝mvqB；方法二：由几何方程求：一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定．(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。
(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)。
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)。
3. 运动时间的计算(1)直接根据公式t ＝s v 或t ＝αω求出运动时间t.(2)粒子在磁场中运动一周的时间为T ，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：t ＝α2πT 或t ＝α360°T.【典例1】在如图所示的足够大匀强磁场中，两个带电粒子以相同方向垂直穿过虚线MN 所在的平面，一段时间后又再次同时穿过此平面，则可以确定的是( )．A ．两粒子一定带有相同的电荷量B ．两粒子一定带同种电荷C ．两粒子一定有相同的比荷D ．两粒子一定有相同的动能 【答案】 C【典例2】如图所示，一个质量为0.1 g 、电荷量为4510C -⨯的小滑块（可视为质点），放在倾角为α=30°的光滑绝缘斜面顶端，斜面置于B =0.5T 的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，小滑块由静止开始沿斜面滑下，小滑块运动一段距离l 后离开斜面，取210/g m s =。
则（ ）A. 小滑块带正电B. 小滑块带负电C. 1.2l m =D. 小滑块离开斜面的瞬时速率为2m/s 【答案】AC【解析】、由题意可知：小滑块受到的洛伦兹力垂直斜面向上。
4.5磁场--圆周运动三种练习
1 带电粒子在磁场做圆周运动的应用必须先找圆心，两线定一点,两线一般是两个速度的垂线，有时也可以是弦的垂直平分线 在利用半径和其他几何边构建直角三角形，利用三角函数或者勾股定理求半径。
只要有半径了，再套公式，就简单了。
偏转角就是入射速度和射出速度的夹角，也就是速度变化的夹角。
偏转角=圆心角 （1）双边界磁场：已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图3甲所示，P 为入射点，M 为出射点)．图3已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P 为入射点，M 为出射点)． （2）单边界磁场带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，由于电性不同，当速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同如图6甲所示，带电粒子以速度v 垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a ，如带负电，其轨迹为b .图6（3）圆形边界磁场1.偏转角度：如图1所示，tan θ2＝r R ，R ＝m v 0Bq ，则tan θ2＝qBr m v 0，由此可见，对于一定的带电粒子(m 、q 一定)，可以通过调节B 和v 0的大小来控制粒子的偏转角度θ.注意这种偏转，叫磁偏转，和电场偏转不一样。
磁偏转不改变速度大小，只改变方向，而电场偏转会改变速度大小。
沿径向射入必沿径向射出图1（4）特殊情况下的运动平行边界(存在临界条件，如图13所示) 题目中出现恰好，一般情况就是相切图13双边界磁场练习1.(高二上期末)如图9所示，匀强磁场宽度为L ，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里．有一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，以某一初速度垂直磁场方向从小孔C 射入匀强磁场后从磁场右边界A 点射出，射出方向与水平方向的夹角为θ，求：图9(1)粒子运动轨迹的半径r ； (2)粒子的初速度v 0； (3)粒子在磁场中的运动时间t.2答案 (1)L sin θ (2)LqB m sin θ (3)θm qB解析 (1)过A 点作v 0的垂线交于左边界M 点，由几何关系可知：r ＝Lsin θ；(2)根据q v 0B ＝m v 0 2r 得：v 0＝qBr m ＝qBLm sin θ；(3)根据t ＝θ2πT ＝θ2π×2πm qB ＝θmqB .----2如图3所示，一束电荷量为e 的电子以垂直于磁感应强度B 并垂直于磁场边界的速度v 射入宽度为d 的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来的射入方向的夹角为θ＝60°，求电子的质量和穿越磁场的时间．图3答案 23dBe 3v 23πd9v单边界磁场练习（这个有点多，但是类型基本一样，图画好了就好说了）多2．如图6所示，在边界PQ 上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子同时从边界上的O 点沿与PQ 成θ角的方向以相同的速度v 射入磁场中，则关于正、负电子，下列说法正确的是.图6A ．在磁场中的运动时间相同B ．在磁场中运动的轨道半径相同C ．出边界时两者的速度相同D ．出边界点到O 点的距离相等+3．(多选)如图3所示，两个初速度大小相同的同种离子a 和b ，从O 点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P 上．不计重力．下列说法正确的有.... .图3A ．a 、b 均带正电B ．a 在磁场中运动的时间比b 的短C ．a 在磁场中运动的路程比b 的短D ．a 在P 上的落点与O 点的距离比b 的近-------5．(多选)如图4所示，直角三角形ABC 中存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB 方向射入磁场，分别从AC 边上的P 、Q 两点射出，不计重力，则(这个题也可以看成单边界磁场，以多大角射入就以多大角射出)3图4A ．从P 射出的粒子速度大B ．从Q 射出的粒子速度大C ．从P 射出的粒子，在磁场中运动的时间长D ．两粒子在磁场中运动的时间一样长 答案 BD解析 作出两带电粒子各自的运动轨迹如图所示，根据圆周运动特点知，分别从P 、Q 点射出时，与AC 边夹角相同，故可判定从P 、Q 点射出时，半径R 1＜R 2，故从Q 点射出的粒子速度大，B 正确；根据图示，可知两个圆心角相等，所以，从P 、Q 点射出时，两粒子在磁场中的运动时间相等，故D 正确．圆形磁场练习7 如图7所示，虚线圆所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v 射入磁场，电子束经过磁场区域后，其运动方向与原入射方向成θ角．设电子质量为m ，电荷量为e ，不计电子之间相互作用力及所受的重力．求：图7(1)电子在磁场中运动轨迹的半径R ； (2)电子在磁场中运动的时间t ； (3)圆形磁场区域的半径r .(1)由牛顿第二定律得Bq v ＝m v 2R ，q ＝e ，得R ＝m vBe.(2)如图所示，设电子做圆周运动的周期为T ，则T ＝2πR v ＝2πm Bq ＝2πmBe .由几何关系得圆心角α＝θ，所以t ＝α2πT ＝mθeB .(3)由几何关系可知：tan θ2＝rR，所以有r ＝m v eB tan θ2. 答案 (1)m v Be (2)mθeB (3)m v eB tan θ210.（也很好的题）如图10所示，一质量为m 、带电荷量为＋q 的粒子从A 点以水平速度v 0正对圆心O 射进一圆形磁场区域，磁场方向垂直纸面，磁感应强度大小为B .在磁场区域的正下方有一宽度为L 的显示屏CD ，显示屏的水平边界C 、D 两点到O 点的距离均为L .粒子沿AO 方向进入磁场，经磁场偏转恰好打在显示屏上的左边界C 点．不计粒子重力．求：图10(1)粒子在磁场中的运动半径r ； (2)圆形磁场的方向及半径R ；(3)改变初速度的大小，使粒子沿AO 方向进入磁场后，都能打在显示屏上，求速度的范围． 答案 (1)m v 0qB(2)垂直纸面向外3m v 0qB(3)v 0≤v ≤3v 0 解析 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动， 由q v 0B ＝m v 0 2r得：r ＝m v 0qB.(2)由左手定则知磁场方向垂直纸面向外，粒子沿半径方向射入磁场，偏转后沿半径方向射出．轨迹如图，粒子恰好打在C 点，速度偏转角为120°.4得：R ＝r tan 60°＝3m v 0qB.(3)粒子打在C 点速度最小，打在D 点速度最大，此时做圆周运动的半径r ′＝R tan 60°＝3m v 0qB由q v B ＝m v 2r ′，得v ＝3v 0所以粒子都能打在显示屏CD 上的速度范围为：v 0≤v ≤3v 0.8.(多选)如图2所示，分布在半径为r 的圆形区域内的匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里．电荷量为q 、质量为m 的带正电的粒子从磁场边缘A 点沿圆的半径AO 方向射入磁场，离开磁场时速度方向偏转了60°角．(不计粒子的重力)则( )图2A ．粒子做圆周运动的半径为3rB ．粒子的入射速度为3BqrmC ．粒子在磁场中运动的时间为πm3qBD ．粒子在磁场中运动的时间为2πmqB答案 ABC解析 设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R ，如图所示，∠OO ′A ＝ 30°，由图可知，粒子运动的半径R ＝O ′A ＝3r ，选项A 正确；根据牛顿运动定律，有：Bq v ＝m v 2R 得：v ＝qBR m，故粒子的入射速度v ＝3Bqrm，选项B 正确；由几何关系可知，粒子运动轨迹所对应的圆心角为60°，则粒子在磁场中运动的时间t ＝16·T ＝16·2πm qB ＝πm3qB，选项C 正确，D 错误．特殊情况的磁场画轨迹，找圆心，找半径，利用公式1．如图10所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场．一对荷质比相等的正、负粒子分别以相同速率，沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为.. .. ..图10A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．1∶12．如图7是荷质比相同的a、b两粒子从O点垂直匀强磁场进入正方形区域的运动轨迹，则... ...图7A．a的质量比b的质量大B．a带正电荷、b带负电荷C．a在磁场中的运动速率比b的大D．a在磁场中的运动时间比b的长3.(多选)如图2所示，正方形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，有两个质子从A点沿AB 方向垂直进入磁场，质子1从顶点C射出，质子2从顶点D射出，设质子1的速率为v1，在磁场中的运动时间为t1，质子2的速率为v2，在磁场中的运动时间为t2，则... ..图2A．v1∶v2＝1∶2 B．v1∶v2＝2∶1C．t1∶t2＝1∶2 D．t1∶t2＝2∶14.如图5所示，粒子源P会发出电荷量相等的带电粒子.这些粒子经装置M加速并筛选后，能以相同的速度从A点垂直磁场方向沿AB射入正方形匀强磁场ABCD.粒子1、粒子2分别从AD中点和C点射出磁场.不计粒子重力，则粒子1和粒子2下列说法正确的是.. .. ..图5A.均带正电，质量之比为4∶1B.均带负电，质量之比为1∶4C.均带正电，质量之比为2∶1D.均带负电，质量之比为1∶2多5.空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图7所示的正方形虚线为其边界.一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射.这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子.不计重力.下列说法正确的是.. ....图7A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同C.在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大-6.如图6所示，两个横截面分别为圆形和正方形、磁感应强度相同的匀强磁场，圆形的直径D等于正方形的边长，两个电子以相同的速度分别飞入两个磁场区域，速度方向均与磁场方向垂直，进入圆形区域的电子速度方向对准了圆心，进入正方形区域的电子是沿一边的中心且垂直于边界线进入的，则()图6A.两电子在磁场中运动的半径一定相同B.两电子在磁场中运动的时间有可能相同C.进入圆形区域的电子一定先飞离磁场D.进入圆形区域的电子一定不会后飞离磁场答案ABD7.如图1所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场．其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速56度v 2与MN 成60°角，设粒子从S 到a 、b 所需时间分别为t 1和t 2，则t 1∶t 2为(重力不计)( )图1A ．1∶3B ．4∶3C ．1∶1D ．3∶2 答案 D 大题8．(带电粒子的圆周运动)如图10所示，一个质量为m ，电荷量为－q ，不计重力的带电粒子从x 轴上的P (a,0)点以速度v ，沿与x 轴正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y 轴射出第一象限，求：图10(1)匀强磁场的磁感应强度B 的大小； (2)穿过第一象限的时间． 答案 (1)3m v 2qa (2)43πa9v解析 (1)作出带电粒子做圆周运动的圆心和轨迹，如图所示．由图中几何关系知：R cos 30°＝a ，得：R ＝23a3由牛顿第二定律得Bq v ＝m v 2R 得：B ＝m v qR ＝3m v2qa .(2)运动时间：t ＝120°360°·2πm qB ＝43πa9v.12．如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m ＝5.0×10－8 kg 、电量为q ＝1.0×10－6 C 的带电粒子。
带电粒子在磁场中的运动-高考4个题型解题精解
带电粒子在磁场中的运动带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动 力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题 的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒 子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹， 问题便迎刃而解。
下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。
一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出， 称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图 界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图 动轨迹，找出相应的几何关系。
...'►HI'..a-3解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图相差33尿，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2.如图5所示，在半径为r 的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度 V 0从M 点沿半径方向 MON = 120。
时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径 R 及在磁则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对1）;带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边 2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运例1 .如图3所示，直线 MN 上方有磁感应强度为30 °角的同样速度 v 射入磁场（电子质量为 m ,电荷为 少B 的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点 0以与MN 成 e ），它们从磁场中射出时相距多远射出的时间差是多4),由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距亦Vs=2r=，由图还看出经历时间射入磁场区，并由 N 点射出，0点为圆心。
当/ 场区中的运动时间。
解析：分别过M 、N 点作半径0M 、ON 的垂线, 的圆心，如图6所示。
X X X /此两垂线的交点 0'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道由图中的几何关系可知，圆弧 MN 所对的轨道圆心角为60°, 0、0'的边线为该圆心角的角平分线，由此场，磁感应强度大小为B 。
专题11 带电粒子在磁场中的运动(解析版)-高考物理计算题专项突破
专题11 带电粒子在磁场中的运动1.安培力：θsin ILB F =；2.洛伦兹力：θsin qvB F =；3.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动：①半径：qBmv r r v m qvB =⇒=2；②周期：qBm v R T ππ22==；③运动时间：T t πθ2=或T t ︒=360θ。
在解与带电粒子在磁场中的运动的有关的计算题时，首先画出运动轨迹，找出圆心；其次找出各物理量之间的联系：①轨迹半径与磁感应强度、速度、比荷相联系，②由几何方法确定半径，③偏转角、弦切角、圆心角与运动时间相联系，④粒子在磁场中的运动时间与周期相联系；最后利用牛顿第二定律和匀速圆周运动规律求出半径、周期，并结合数学知识求出圆心角、半径、长度等。
1.粒子发射源位于磁场的边界：该模型通常具有对称性，即进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等；如图所示：2.粒子的发射源位于磁场中：该模型往往存在着临界状态，当带电粒子的运动轨迹小于21圆周且与边界相切时，切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点)，如图中a 所示；当带电粒子的运动轨迹等于21圆周时，直径与边界相交的点(如图中b 所示)为带电粒子射出边界的最远点(距O 点最远)。
3.有界磁场中的临界问题（1）定圆平移法：当粒子的发射速度大小和方向相同，入射点不同但在同一直线上时，带电粒子进入匀强磁场做匀速圆周运动的半径相同，将此半径相同的圆沿入射点所在的直线进行平移，从而探索粒子的临界轨迹。
（2）动态放缩法：当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心一定在粒子处于入射点时所受洛伦兹力所在的射线上，但位置(半径R )不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中即可发现“临界点”。
（3）定圆旋转法：当粒子的入射速度大小不变而方向改变时，所有沿不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转（作图）中，也容易发现“临界点”。
磁场中的动态圆问题
B
A.
2R
B. 2R
O
O
M
2R R
N
M R 2R
N
M
O
N
C.
D.
2R
R
O
O
M
2R
2R
N
M
2R
2R N
M
O
N
例题：如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边
界上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在
纸面内沿各个方向以同样的速率通过P点进入磁场。这些粒子
射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长
根据ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角三角形有R2=a2+( 3a-
o
R)2解得R=2 3a/3，
3
sinθ=a/R= /2,则粒子做圆周
运动的的圆心角为120°，周期
为T=3t0，粒子做圆周运动的
向心力由洛仑兹力提供，根据
牛顿第二定律得qvB=m(2 /T)2/R，v=2R/T化简得
q/m=2 /3Bt0
. P( 3a,a)
半径r相同，O为这些轨迹圆周的公共点。
P
P
P
M
2r
2r
O Q
O rN
Or Q
Q 答案：MN ( 3 1)r
题型二：磁场三角形有界
如图所示，等腰直角三角形 OPQ，直角边 OP、OQ 长度均为 L，直角平面 内(包括边界)有一垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B.在 PQ 边下方放置一带电粒子发射装置，它沿垂直 PQ 边的方向发射出一束具有 相同质量、电荷量和速度 v 的带正电粒子，已知带电粒子的比荷为：mq ＝B2vL. (1)粒子在磁场中运动的半径； (2)粒子从 OQ 边射出的区域长度．
根据洛伦兹力作用下磁铁运动十种题型分类
根据洛伦兹力作用下磁铁运动十种题型分类1. 直线运动问题：洛伦兹力可以影响磁铁在直线上的运动。
在这种情况下，可以观察磁铁在磁场中的受力和运动方向。
2. 圆周运动问题：当磁铁在磁场中做圆周运动时，洛伦兹力是决定其运动轨迹的关键因素。
可以研究磁铁在不同磁场强度和速度条件下的圆周运动方式。
3. 磁铁速度与磁场强度关系问题：可以研究磁铁在不同磁场强度下的运动速度变化规律。
通过改变磁场强度，可以观察磁铁的运动速度如何随之变化。
4. 磁铁速度与电流关系问题：当磁铁通过带有电流的导线时，洛伦兹力会引发磁铁的运动。
可以研究磁铁的速度如何受到电流大小的影响。
5. 磁铁速度与导线长度关系问题：可以研究磁铁在不同长度的导线上的运动速度变化规律。
通过改变导线的长度，可以观察磁铁的运动速度如何随之变化。
6. 磁铁速度与导线材质关系问题：研究磁铁在不同材质的导线中的运动速度变化规律。
通过改变导线材质，可以观察磁铁的运动速度如何受到材质的影响。
7. 磁铁速度与磁铁质量关系问题：可以研究磁铁的质量如何影响其运动速度。
通过改变磁铁的质量，可以观察磁铁的运动速度如何随之变化。
8. 磁铁速度与磁铁形状关系问题：可以研究磁铁形状对其运动速度的影响。
通过改变磁铁的形状，可以观察磁铁的运动速度如何受到形状的影响。
9. 磁铁速度与磁场方向关系问题：可以研究磁铁在不同磁场方向下的运动速度变化规律。
通过改变磁场方向，可以观察磁铁的运动速度如何随之变化。
10. 磁铁速度与磁场分布关系问题：可以研究磁铁在不同磁场分布条件下的运动速度变化规律。
通过改变磁场分布，可以观察磁铁的运动速度如何受到磁场分布的影响。
以上是根据洛伦兹力作用下磁铁运动的十种题型分类，可以通过这些问题研究磁铁的运动规律与磁场、电流、导线等因素之间的关系。
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动题型归类
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动题型归类（2009、5）带电粒子在有界磁场中运动的分析方法： 1．圆心的确定因为洛伦兹力F 指向圆心，根据F ⊥v ，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v 的方向再确定F 的方向，沿两个洛伦兹力F 的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。
2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角ϕ等于转过的圆心角α，并等于AB 弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即ϕ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，即Bqmt α=，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T 即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t 越长，注意t 与运动轨迹的长短无关。
4．注意圆周运动的对称性与特殊性（1）从一直线边界射入的粒子从同一直线边界射出时，速度与边界的夹角相等；（2）在圆形磁场区域内，粒子射入时的速度方向过圆心，射出时的速度方向也过圆心；（3）圆形磁场区域的半径与粒子轨道半径相等时，出射方向一定垂直入射点与磁场圆心的连线。
（此结论解题很难想到，也较难证明，利用几何知识。
）问题一：磁场边界问题有界磁场的两种典型模型：1．穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
（1）带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sin θ=L /R 求出；（θ、L 和R 见图标）（2）带电粒子的侧移由R 2=L 2-（R-y ）2解出；（y 见所图标）（3）带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
巧解带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题
以圆为核心,巧解带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题安吉县昌硕高级中学陆社红带电粒子在匀强磁场中的圆周运动是磁场这一章中的重要内容,求解这类题往往要用到洛伦磁力、圆周运动以及圆的几何知识等等,是学生解题中的一个难点,主要难在画不出轨迹,找不出与半径、圆心等相应的几何关系.笔者认为,如果我们在解这类题时能紧紧地抓住“圆”这个核心,也许问题能迎刃而解.让我们先来复习两点基本知识.1、有关圆的平面几何知识.如右图①若在圆周上的任意一点作切线,则该切线一定与该圆的半径垂直.②若在圆周上作一条弦,则弦切角θ是其所对圆心角的一半.③过圆心作弦的垂线即中垂线,则弦和弧长被其平分或者说中垂线两边对称.2、将带电粒子垂直射入匀强磁场中,若其只受洛伦磁力作用,因洛伦磁力f洛始终与速度v垂直,故f洛只改变v的方向而不改变v的大小,由向心力来源知qvB = mv2/ r ∴r = mv / qB 而运行周期T = 2πr / v =2πm / qB .这两个等式就是我们经常要用到的半径公式和周期公式.带电粒子在匀强磁场中的运动问题一般来说求的是两个量,一个是时间——我们可利用周期T,看带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹是一个圆周长的几分之几,用圆心角来算；另一个是与长度有关的量如射入、射出的位置,范围等.要解决这两个问题,都有赖于学生能完整正确地画出圆的轨迹,找出相应的几何关系.如何解决画轨迹的问题呢笔者建议大家在解题时可不管三七二十一先在草稿纸上画一个完整的圆,然后分析原题中入射粒子的洛伦磁力,确定粒子的运动轨迹朝哪边弯顺时针还是逆时针,再将其与我们画好的圆相对照,根据题目的意思看题中的轨迹是落在这个完整圆中的哪一部分.即我们先确定轨迹“圆”,再往回推导的逆向思维方法.请看下例：例1：如下左图所示,真空中狭长形区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场,方向垂直纸面向内,区域的宽度为d,CD、EF为区域的边界.现有一束电子电量为e ,质量为m以速率v 从CD侧垂直于磁场与CD成θ角射入,为使电子能从另一侧EF射出,则电子的速率v应满足dEFBEF的条件是 .分析与解：我们先在草稿纸上画一个圆如上右图所示.电子从P点入射后受f洛作用将作顺时针方向的匀速圆周运动,其轨迹肯定是一个圆可能不完整,根据题意,可在我们已画好的圆上确定入射点P,画出磁场的左边界CD；假定磁场的右边界可移动,我们再画一条与CD 平行的直线EF磁场的右边界,并逐渐向圆靠近,则当EF与圆相切时,就是电子能从EF射出的临界条件设此时圆的半径为r0.依题意,磁场宽度一定,故只有当圆的半径r ＞ r0时才能满足要求.根据圆的几何知识,可得：r0 + r0cosθ= d ∴ r0 = d /1 + cosθ又 r = mv / eB ∴ mv / eB ＞ d /1 + cosθ即 v ＞ edB / m1 + cosθ相似题：如右图所示,匀强磁场区域的宽度d = 8 cm,磁感应强度B = ,方向垂直纸面向里.在磁场边界CD的中央放一个放射源S,它向各个不同方向均匀地放出速率相同的α粒子.已知α粒子质量m = ×10-27kg,电荷量q = ×10-19C,初速度v = ×106 m / s .求从磁场区另一边界EF射出时沿EF上下方向的最大长度范围.例2：如右图所示,在坐标轴的第一象限同时存在着匀强电场和匀强磁场.水平匀强磁场与坐标平面垂直,水平匀强电场与坐标平面平行.一质量 m = 1 g ,电量q = × 10-3C的带电粒子,以速度v = 10 m / s与X轴成45°角从坐标原点O斜向上射入此复合场中,已知粒子在复合场中作匀速直线运动.当粒子到达图中的A点时,突然将电场方向变为竖直向上,粒子从Q点图中未画出飞离第一象限.已知OA两点间的距离为m.试求：1）电场强度E和磁感应强度B的大小；2）Q点的坐标及带电粒子在第一象限内的运动时间.分析与解：该题虽然是带电粒子在复合场中的运动情况,但在第2问中,仍是圆周运动的问题.①对带电粒子进行受力分析如右图,因粒子作匀速直线运动,则∑F = 0, ∴ qE = mg ；mg∴ E = mg / q = 1×10-3×10 / 2×10-3 N / C= 5 N / C×1×10-3×10 / 2×10-3×/ 2 T②若带电粒子运动到A点时突然将电场方向变为竖直向上,则由1知mg 与 qE平衡,只剩下洛伦磁力,故粒子将从A点开始作逆时针方向的匀速圆周运动,其轨迹肯定是一个圆一部分,其半径r = mv / qB =1×10-3×10 / 2×10-3×2m =m.我们可在草稿纸上先画一个圆,依题意可确定A点在圆上的位置如右图所示.将速度矢量延长,则O′A ⊥v ,又∵m =O′A = r ,∴ OAO′恰好构成一个等腰直角三角形,故原题中的Y 轴过圆心,则Q点可确定了.从图中很容易得Q点在Y轴上的坐标dCDEFqEY为r + OO′+ 10 m ；粒子的运行时间是OA间的匀速运动时间 t1 与 A 至Q点的圆周运动的时间t2之和. t1s ；∠QO′A = 180°— 45 °= 135°∴321351353603608t T s-===12)t t t s=+=例3：电量为q、质量为m的带正电粒子在XOY平面内沿着Y = a的直线以速度v经Y轴上的P点射入XOY平面的第一象限.要求在第一象限内设置磁感应强度为B的一个圆形区域,使带电粒子发生偏转,最后经X轴上的M点X M= 2a射出,且偏转角θ=60°,如右图所示.试求能达到此目的的最小圆形磁场区域的半径粒子的重力不计.分析与解：依题意,磁场的方向垂直纸面向外.由于带电粒子的速度和磁场都是确定的,所以带电粒子作圆周运动的半径r = mv / qB也是确定的.将X轴和Y 轴上的两个速度矢量或反向延长,与X、Y轴组成一个梯形,再画一个半径确定的圆轨迹,并将此圆移至坐标中与两速度矢量相切如下右图所示,过两切点作轨迹圆的弦,则最小圆形磁场的区域的圆直径就是此弦的长度.弦的长度AB可根据几何关系求得,如上左图所示,过两速度的矢量与圆轨迹的切点A、B各作两条垂线AO、BO相交于O点,则∠AOB = θ = 60°,过O作弦AB的垂线OD,则∠DOB = θ / 2 =30°, ∴弦AB = 2r sin30°= r ,故能达到此目的的最小圆形磁场区域的半径R= r / 2 = mv / 2qB.例1的相似题略解：粒子在磁场里作圆周运动的半径r = mv / qB = ×10-27××106 / ×10-19×0.332m = 0.2 m = 20cm ,从S以相同的速度v开始射入匀强磁场的带电粒子均作半径相同的圆周运动,能从磁场的右边界EF射出的粒子的范围就是两个分别与磁场的左右边界相切的圆在EF边界相交切的P、Q之间的距离如右上图B所示.由几何关系可知 PM = QM .PM的求法如右上图A所示,PM2 +r - d2 = r2 ,∴ PM = 16 cm ,即带PMOSA图电粒子能从EF边界射出的范围是 32 cm .从以上是例题分析可见,要解决带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题,我们可以先画出粒子运动的轨迹——圆,以圆为核心,结合数学中圆的平面几何知识,找出相应的关系,再用我们的物理知识解之.。
2015年高考物理拉分题专项训练专题22带电粒子在磁场中做圆周运动地临界问题(含解析汇报)
2015年高考物理拉分题专项训练专题22 带电粒子在磁场中做圆周运动的临界问题（含解析）一、考点精析：（一）题型分类：五个因素：1、粒子；2、速度大小；3、速度方向（角度）；4、磁感应强度；5、磁场区域通常确定四个（有时候是三个），求与另外因素相关的量。
那么就有大致有五种题型；求粒子属性；求速度大小；求速度方向（角度）；求磁感应强度；求磁场区域（二）解题思路定圆心定半径定圆心角求解问题→→→二、经典考题：例题1（粒子属性未知）如图所示，带有正电荷的A粒子和B粒子同时从匀强磁场的边界上的P点以等大的速度，以与上边线成37°和53°的夹角射入磁场，又都恰好不从另一边界飞出，设边界上方的磁场范围足够大．求：（1）A粒子和B粒子比荷q之比．m（2）A粒子和B粒子在磁场中的运动时间之比（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．解析：（1）设磁场的宽度为d，粒子进入磁场后向右偏，如图所示，设粒子做圆周运动的半径为r，则mv rqB=对A 粒子：r rcos37d +︒= 所以A A m dBq 1.8v=；例题2（速度方向（角度）未知）如图所示，磁感应强度大小B=0．15T 、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径R=0．10m 的圆形区域内，圆的左端跟y 轴相切于直角坐标系原点O ，右端跟荧光屏MN 相切于x 轴上的A 点。
置于原点的粒子源可沿x 轴正方向射出速度v 0=3．0×106m/s 的带正电的粒子流，粒子的重力不计，荷质比q/m=1．0×108C/kg 。
现以过O 点并垂直于纸面的直线为轴，将圆形磁场逆时针缓慢旋转90°，求此过程中粒子打在荧光屏上离A 的最远距离。
如下图，当D 点与出射点B 重合时，θ最大，由几何知识R sin2r＝得θ=60°求得粒子打在荧光屏上最远点到x 轴的距离max 31S m 0.15m 5-=＝。
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v0 O
O1 O2 O3 O5 O4
x
解2: 磁场上边界如图线1所示。 设P(x，y)为磁场下边界上的一 点，经过该点的电子初速度与x轴 夹角为 ，则由图可知： x = rsin， y = r－rcos ， 得: x2 + (y－r)2 = r2。
y 1
P (x,y)
v0
O
θ r
r
x
O
所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的 圆弧应是磁场区域的下边界。 两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面 积，即为磁场区域面积：
磁聚焦概括：
迁移与逆向、对称的物理思想！
一点发散成平行
任意方向射入的粒 子出射速度方向与 过入射点O的圆形磁 场边界的切线平行 R r
平行会聚于一点
R
r 区域半径 R =轨迹半径 r
Ⅱ带电粒子在单直线边界磁场中的运动
特点：对称性
M
2R
O
R
N
滚圆法
Ⅱ带电粒子在单直线
边界磁场中的运动
L
a
P1
滚圆法
(1)R＝5×10－2 m. (2)37o 74o
结论3：运动速率v相等,方向不同，弧长越长 对应时间越长。(直径对应的弧最长)
例4、在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐
标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如 图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的匀 强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且 沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为 多大？（不考虑电子间的相互作用）
练习2
带电为+q的粒子在匀强磁场中运动及受力说法正确的是
A、只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同。 B、如果把+q改为-q，且速度反向大小不变，则
洛伦兹力的大小不变。 C、洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁 场方向一定与电荷运动方向垂直。 D、粒子只受到洛伦兹力作用其运动的动能动量 均不变
正确答案
s
N
平移法
放缩法
P2
b
磁铁 电流 运动电荷
运动电荷
（1）比值定义式 B ， IL 有前提 I⊥B （2）矢量，方向/叠加
F
物理量：磁感应强度B
磁场
性质 对通电导线 的安培力
描述 数学工具：磁感线 对运动电荷 的洛伦兹力 运动电荷的 做圆周运动 一条主线
两个方面
三个确定
通电导线的 平衡、直线运动
安培力
方向：左手定则，F⊥B, I 大小：F=BIL (L⊥B)
2 m2v0 1 2 r2 S 2( r ) ( 1) 2 2 4 2 2 eB
解1: 电子由O点射入第Ⅰ象限做匀速
圆周运动
2 v0 mv0 ev0 B m r= r eB v0 所有电子的轨迹圆半径相等，且均过 O O点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆 心，半径为r的且位于第Ⅳ象限的四分 之一圆周上，如图所示。
y
O1 O2 O3 O5 O4
x
由图可知，a、b、c、d 等点就是各电 子离开磁场的出射点，均应满足方程
On
x2 + (r－y)2=r2。
即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆弧abO上，显然， 磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积，由几何 关系得 mv 1 1 Smin 2( r 2 r 2 ) ( 1)( 0 ) 2
4 2 2 eB
带电粒子在圆形磁场中运动的四个结论 结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出 结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆 心角都越小，运动时间越短，弧长越长。 结论3：运动半径相同(v相同)时，弧长越长对 应时间越长。 结论4：磁场圆的半径与轨迹圆的半径相同时,
“磁会聚”与“磁扩散”
B
洛伦兹力的方向由左手定则判定
地磁场和太阳风
地球周围空间有地磁场，两极强，中间弱。
从太阳或其他星体上，时刻都有大量的高 能粒子流放出，称为宇宙射线。
地磁场能改变宇宙射线中带电粒子的运动 方向，对宇宙射线起了一定的阻挡作用。
Ⅰ带电粒子在圆形磁场中的运动
结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出
Байду номын сангаас2：在圆形区域的匀强磁场的磁感应强度为B，一 群速率不同的质子自A点沿半径方向射入磁场区域， 如图所示，已知该质子束中在磁场中发生偏转的最 大角度为1060，圆形磁场的区域的半径为R，质子 的质量为m，电量为e，不计重力，则该质子束的速 O4 率范围是多大？
3BeR v 4m
O3 O2 O1
“让圆动起来”
结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆 心角都越小，运动时间越短。
例3 在真空中，半径r＝3×10－2 m的圆形区域内 有匀强磁场，方向如图2所示，磁感应强度B＝0.2 T， 一个带正电的粒子以初速度v0＝1×106 m/s从磁场 边界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷 q/m ＝1×108 C/kg，不计粒子重力． (1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径； (2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射 时v0与ab的夹角θ及粒子的最大偏转角．