等差数列前n项和性质

例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
法二：(设而不求整体代换法) ∵S10＝100，S100＝10， ∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100 90a11＋a100 ＝ ＝－90. 2 ∴a11＋a100＝－2.
又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2， 110a1＋a110 ∴S110＝ ＝－110. 2
例 1 ：在等差数列{an }中，S10 =10,S20 =40,求S30
解：由等差数列前n项和性质知S10 ,S20 -S10 ,S30 -S20 也成等差数列，即10，30，S30 -40成等差数列， 2 30 10 （S30 -40） 解得S30 90
例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解 ] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，公差
10a ＋1010－1d＝100， 1 2 为 d，则 100100－1 100a1＋ d＝10. 2
1 099 a ＝ 1 100 ， 解得 d＝－ 11 . 50 110110－1 ∴S110＝110a1＋ d 2 1 099 110×109 11 ＝110× 100 ＋ × ( － 2 50)＝－110.
变式：一个等差数列的前12项的和为354, 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的 项的和之比为32:27,则公差为 5 .
2.当项数为2n-1（奇数）时： （1）S奇 S偶 S奇 n a中 (中间项,即an )(2) S偶 n 1
证明 : S偶 a2 a4 ... a2 n 2
(n 1) (a2 a2 n 2 ) 2
(n 1) (2 an ) (n 1) an (n 1) a中 2 n (a1 a2 n 1 ) n (2 an ) S奇 a1 a3 ... a2 n 1 2 2 n an n a中 (1) S奇 S偶 n an (n 1) an an a中 S奇 n an n (2) S偶 (n 1) an n 1
1.当项数为2n（偶数）时： S偶 an1 （1）S偶 S奇 n d (2) S奇 an
n(a2 a2 n ) n (2 an 1 ) 证明： S偶 a2 a4 ... a2 n 2 2 n an 1
n(a1 a2 n 1 ) n (2 an ) S奇 a1 a3 ... a2 n 1 n an 2 2 (1) S偶 S奇 n an 1 n an n (an 1 an ) n d n an 1 an 1 (2) S奇 n an an S偶
例1.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=(A ) A.85
1 解析：S 偶 - S 奇 nd 50d 50 25 2 S 偶 S 奇 25 60 25 85
B.145
C.110
D.90
等差数列前n项和的性质（3） 关于奇数项与偶数项和的关系的几个结论： S奇 S偶 S所有
1.当项数为2n（偶数）时： an 1 （1）S偶 S奇 n d (2) S奇 an 2.当项数为2n-1（奇数）时： S奇 n （1）S奇 S偶 an (an是中间项)(2) S偶 n 1 S偶
99 an＝ n 9×10
n＝1 n≥2.
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等差数列前n项和的性质（2）
等差数列连续的k项之和也成等差数列。即 Sk ,S2k -Sk ,S3k -S2k ,......也成等差数列。 (公差为k d)
2Fra Baidu bibliotek
证明：设首项为a1，公差为d， 2k (2k 1) d k (k 1) d S2 k Sk 2k a1 [k a1 ] 2 2 (4k 2 2k k 2 k ) 3k 2 k ka1 d ka1 d 2 2 k (k 1) d 3k (3k 1) d 又 Sk ( S3k S2 k ) k a1 [3k a1 2 2 2k (2k 1) d k 2 k 9k 2 3k 4k 2 2k 2k a1 ] 2ka1 d 2 2 6k 2 2k 2ka1 d 2ka1 (3k 2 k )d 2 3k 2 k 而2（S2 k Sk）=2（ka1 d） 2ka1 (3k 2 k )d 2 S k ( S3 k S 2 k ) 结论成立。
例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
法三：(新数列法)∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110 －S100，…成等差数列， 10×9 ∴设该数列公差为 d，则其前 10 项和为 10×100＋ d＝10， 2 解得 d＝－22. 10×11 10×11 ∴前 11 项和为 11×100＋ d＝11×100＋ ×(－22)＝ 2 2 －110.
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且lg(Sn＋1)＝n＋1，求
通项公式．
解：因为lg(Sn＋1)＝n＋1， 所以Sn＋1＝10n＋1.即Sn＝10n＋1－1. 当n＝1时，a1＝S1＝102－1＝99， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(10n＋1－1)－(10n－1)＝9×10n，
从而，数列{an}的通项公式为：
等差数列前n项和性质（1）
一.知识点回顾
1.等差数列的前n项和公式：
n(a1 an ) Sn 2
n( n 1)d S n na1 2
等差数列前n项和的性质（1）
已知等差数列的前n项和Sn，如何求a n ? 利用Sn与a n的关系: S1 , n 1 an = Sn S n 1 , n 2