平面向量单元复习

课题：
平面向量复习课
学习导航:向量是近代数学重要工具,准确掌握向 量的运算及其性质是利用向量为工具解决平面几 何,三角,空间几何等其它分支学科的基础.故同学 们应重视复习和巩固向量的知识,并强化建系处理 问题或基底处理向量问题的意识.
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一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法 B 1)图形表示 A 有向线段AB 2)字母表示 3)坐标表示
量平移,使两个向量共起点。 向量数量积的几何意义
1
A
| b |cos 叫做向量b在a方向上的投影
a b |a|
可正可负可为零 川东大竹海 中国竹世界
平面向量的数量积a· b的性质: ①e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b a· b=0 ③a，b同向a· b=|a||b|反向时a· b=-|a|· |b| a2=a· a=|a|2(a· a= ④cosθ=
2=2λ
k=-λ
∴
λ=-1
k=-1 ∴k=-1
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例6. 已知平行四边形ABCD的三顶点 A(－1,
－3)，B(3，1)，C(5，2)，求第四个顶点D和 中心M的坐标
D(1，－2)
例7. 已知a =(1，-1)，求a共线的单位向量。
1 M (2, ) 2
2 2 a0 ( , ) 2 2


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向量垂直的判定
（ 1 ） a b ab 0 （2） a b x1 x2 y1 y2 0
向量平行的判定(共线向量的判定)
考点 提示
（ 1 ） a //b b a （a 0 ） （2） b // a x1 y2 x2 y1 0 ，其中a （x1，y1）， b （x2，y2）
B
解： （1） 因为 AD ∥ BC 且方向相同， A 所以 AD 与 BC 夹角是 0
120 所以 与 的夹角为 AB DA （2）因为 AB 与 AD 的夹角是 60 ， 1 所以 AB DA | AB || DA | cos120 4 3 ( ) 6 2
a AB
一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向任意 (2)0 // a(3)0 0(4) 0 0 (5)0 a a 0 a
(6) 0 0
3.单位向量
(7)0 a 0
a |a|
与非零向量 a共线的单位向量 a0
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AD BC | AD || BC | cos0 3 31 9 所以
思考：若E、F分别是BC，DC的中点， 试求AE AF的值。 20 川东大竹海 中国竹世界
五.应用举例
向量共线定理
例5 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R) 解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
x1 x2 y1 y 2 0
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四.一个基ຫໍສະໝຸດ Baidu定理
平面向量基本定理
如果e1、 e 2 是同一平面内的两个不 共线的 向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a, 有且只有一对实数 1 , 2 , 使 a 1 e1 2 e 2 把不共线的向量 e1、 e 2叫做表示这一 平面内所有向量的一组 基底.
例8. 已知向量a=(1，5)，b=(－3，2)，求a在
b方向上的正射影的数量。
a b 7 13 | a | cos a, b 川东大竹海 中国竹世界 |b| 13
五.应用举例
向量的长度与夹角问题
例9已知| a | 4 ， | b |，且 2 (a ⑴ 2b) (a b) ⑶ 与 的夹角。
3.向量减法的三角形法则
a 共起点
B
a b AB AD DB 首同尾连向被减
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二.基本运算（向量途径） 4.实数与向量的积 a 是一个向量
a是一个与a
共线的向量
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二.基本运算（向量途径）
5.两个非零向量 a与b 的数量积 B b a b | a | | b | cos θ O [0, ] B a 向量夹角：首要的是通过向
一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上 6.相反向量
(a) a, a (a) 0
a
ab
a 与 b 夹角为120°求 ⑵ ； | 2a b |
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五.应用举例
例10
平行与垂直问题
（1）k=19
1 （2） k , 反向 3
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练习: 1、若a=(1,2)，b=(-2, λ), 且a与b的 夹角为钝角，则λ的取值范围是
1且 -4
（2）原式= AB + BD + DA －（BC + CA）
川东大竹海 中国竹世界 = 0－BA = AB
五.应用举例
平面向量基本定理
设OA a, OB b, 试用a, b表示MN
分析：先求OM、 ON.
例3.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于 点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一 点N满足CD=3CN,
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五.应用举例
向量加减法则
例2 化简（1）（AB + MB）+ BO + OM
（2） AB + DA + BD －BC－CA 利用加法减法运算法则，借助结论 AB=AP+PB；AB=OB－OA；AB+BC+CA=0
进行变形.
解： （1）原式= AB +（BO + OM + MB） = AB + 0 = AB
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量 . 川东大竹海 中国竹世界
二.基本运算（向量途径） 1.向量加法的三角形法则
C
a +b a
B
首尾相连首尾连 2.向量加法的平行四边形法则 D C
b A a +b
a b AB BC AC
b
A
， a b AB AD AC
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
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五.应用举例
向量的有关概念
例 1 给出下列命题： ①若 a·b = 0 ，则 a、b 中至少有一个为 0 . → ＝DC → ②若 A， B， C， D 是不共线的四点， 则AB 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ⑤若 a∥b，b∥c，则 a∥c. ②③ 其中正确的序号是________ ．
向量的长度 2 2 | a | a （） 1 a a | a | ， （2）设 a （x，y），则| a |
x2 y 2
2 2 （3）若A（x1，y1），B（x2，y2），则| AB | （x1 x 2） （y1 y 2） x1 x2 y1 y2 a b 向量的夹角 cos 中国竹世界 川东大竹海 2 2 2 2 x y x y | a || b | 1 1 2 2
2.已知点A（ 1， 1 ） , B(4,5),点C在直线AB上， 且 CA 3 AB，求点C的坐标。
(16,19)或（-14,17）
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特别注意：
a b 0 cos 0 为锐角或 0
a b 0 cos 0 为钝角或
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五.应用举例
AD BC
平面向量的数量积
， | AD | 3 | AB | 4，
D
F E
例4、如图，在平行四边形ABCD中，已知 求： ， DAB 60 ； （ 2） （1） ；
C
AB DA
a b | a ||b |
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a )
2
⑤|a· b|≤|a|· |b|
若a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 1)a b (x1 x2 , y1 y 2 ) 2)a b (x1 x2 , y1 y 2 ) (x1 , y 1 ) 3) a 4)a b x1 x 2 y 1 y 2
a xi y j ( x, y) a OA ( x , y ) 点 A ( x , y ) a MN ( xN xM , yN yM )
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向量的模 :| a | | AB |
由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应
排除夹角为0或 的情况，也就是要进一步说明两向量不共
线。
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思考： 4、已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ，
且 PA PB PB PC PC PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的
C
（A）重心 外心 垂心 （C）外心 重心 垂心
（B）重心 外心 内心 （D）外心 重心 内心
由 OA OB OC 知, O为ABC的外心； 由 NA NB NC 0知，O为 ABC的重心 ; PA PB PB PC， PA PC PB 0， CA PB 0, CA PB, 同理，AP BC , P为ABC的垂心，
二 .基本运算（坐标途径）
2 2 x1 y 1 5) | a | a a x1 x 2 y 1 y 2 a b 川东大竹海2中国竹世界 6) cos 2 2 2 x y x y | a ||b | 1 1 2 2
三.两个等价条件
2.非零向量 a 和 b a b a b 0
若a (x1 , y1 ),b (x2 , y 2 ),则 1.向量a和非零向量b a // b 有唯一的实数，使a b x1 y 2 x2 y1 0