第二讲 图论基础

其中，矩阵B为：
v1
v2
v3
v4 v5 v6 v7 v8 v9
V10 v11 v12 v13 v14 v15 v16 v17 v18
记a(k)ij为Ak中的（i,j）元，目标是使a(k)1,10不等于0的最小的 自然数k. 利用matlab容易计算出k=11，且a(11)1,10 =4,即小船至少11次才 能把所有人全部运到右岸，说明共有4种不同的过河方案。继续计 算可得出a(19)1,10 =45060，如果允许小船过河19次的话，共有 45060中不同的方案。
1, 若vi与v j 关联 aij 无向图： 0, 若vi与v j 不关联
数学建模-图论
二、图的矩阵表示 例3：分别写出右边两图的关联矩阵 解：分别为：
1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 A 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1
数学建模-图论
二、图的矩阵表示
邻接矩阵（结点与结点的关系） 关联矩阵（结点与边的关系） 路径矩阵（任意两结点之间是否有路径） 可达性矩阵 直达矩阵 等等……
数学建模-图论
二、图的矩阵表示
1 有向图的邻接矩阵 A = (aij )n×n （n为结点数）
1, vi v j E aij 0, vi v j E
0 0 A 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0
e
e1
e3
d
e2
b
Байду номын сангаас
e4
c
e5
a
数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析）
商人过河问题：假如有三个商人各带一名随从要过河，只有一
条船，每次最多只能坐两个人。为安全起见，商人数不能少于随 从数，否则随从会杀人越货。船过一次河需要5分钟，问最短几 分钟能使他们都过去？
例1：写出右图的邻接矩阵： 解：
0 0 A 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0
数学建模-图论
二、图的矩阵表示
2 有向图的权矩阵A = (aij ) n×n （n为结点数）
F vi v j , aij 0, , vi v j E i j vi v j E
2 V2 6 4 5 4
7
v0
13 10 8
6
v3
4
w(u, v) 。
v8
10
v4 Dijkstra 算法： (1) 令 l (v0 ) 0, l (v) , v v0 ; S 0 v0 , i 0;
v6
9
7
6
v5
v7
V7
(2) 对每个 v Si ，用 minl (v), l (vi ) w(vi , v)代替 l (v) ； 设 vi 1 是使 l (v) 取最小值的 Si 中的顶点（ Si 是 Si 的补集） ，令
如果各条边都加上方向，则称为有向图，否则称为无向图。 如果有的边有方向，有的边无方向，则称为混合图。
如果任两顶点间最多有一条边，且每条边的两个端点皆 不重合的图，则称为简单图。
4 2015年8月8日
数学建模-图论
一、图的基本概念 若将图G的每一条边e都对应一个实数F(e), 则称F(e) 为该边的权, 并称图G为赋权图, 记为G = (V, E , F ). 设G = (V, E )是一个图, v0, v1, … , vk∈V, 且 “1≤i≤k, vi－1 vi∈E, 则称v0 v1 … vk是G的一条通路.
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9
G=<V,E>的邻接矩阵为：
0 B A (对称阵) B 0
V10 v11 v12 v13 v14 v15 v16 v17 v18
数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析）
0 0 0 0 B 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
v4
9
7
6
v6
v5
v7
V7
即可以求出 v0 到其余各结点的最短距离。
22
2015年8月8日
数学建模-图论
三、最短路问题及其算法
改进后的 Dijkstra 算法：
改进后的 Dijkstra 算法，可求出任意两顶点间的最短距 离，避免了很多的重复计算，并且提高了效率。另外，还有 一种 Warshall-Floyd 算法求任意两顶点间的最短距离问题也 较简单。改进算法后 Dijkstra 算法的 Matlab 程序如下：
W ( P(v0 , v)) min W ( P) .
P
即从 v0 到 v 的所有轨道长中寻求最小的一个。 W ( P) 是轨道 P 上各边长之和。
17 2015年8月8日
数学建模-图论
三、最短路问题及其算法
注意： 若 u, v V (G) ， 当 u, v 不 相 邻 时 ， 则
v1 v2
数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析）
渡河可以理解为上面状态的转移，例如状态v1渡河一次可 以转化为其他状态v15 v17 v18，其他状态也易列出。以V={v1, v2,... v18}为顶点集，当两种状态可以互相转化时，就在相 应的来那个顶点间连一边，从而建立一个二分图G=<V,E>，如 右图所示。
19 2015年8月8日
数学建模-图论
三、最短路问题及其算法 Dijkstra 算法 Matlab 程序如下：
function [d,index1,index2]=Dijkf(a) M=max(max(a)); pb(1:length(a))=0; pb(1)=1; index1=1; % index1 到指定点距离从大到小的排序 index2=ones(1,length(a)); %index2 每个点到指定点最短路径所含边的条数 d(1:length(a))=M; d(1)=0; temp=1; while sum(pb)<length(a) tb=find(pb==0); d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb)); tmpb=find(d(tb)==min(d(tb))); temp=tb(tmpb(1)); pb(temp)=1; index1=[index1,temp]; index=index1(find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1))); if length(index)>=2 index=index(1); end index2(temp)=index; end
20 2015年8月8日
数学建模-图论
三、最短路问题及其算法
上述例题的 Matlab 程序如下：
clear M=100000; a(1,:)=[0,7,M,6,10,10,13,8,M]; a(2,:)=[zeros(1,2),2,M,M,M,M,M,6]; a(3,:)=[zeros(1,3),M,5,M,M,M,4]; a(4,:)=[zeros(1,4),M,M,M,4,M]; a(5,:)=[zeros(1,5),M,9,M,4]; a(6,:)=[zeros(1,6),7,6,M]; a(7,:)=[zeros(1,7),M,M]; a(8,:)=[zeros(1,8),M]; a(9,:)=zeros(1,9); a=a+a'; [d index1 index2]=Dijkf(a); d
例2：写出右图的权矩阵： 解：
0 6 8 0 7 A 3 0 2 4 5 0
数学建模-图论
二、图的矩阵表示 3 有向图的关联矩阵A =(aij )n×m （n为结点数m为边数）
有向图：
1, 若vi是ei的始点 aij 1, 若vi是ei的终点 0, 若v 与e 不关联 i i
如果通路中没有相同的顶点, 则称此通路为路径, 简称 路. 始点和终点相同的路称为圈或回路.
数学建模-图论
一、图的基本概念 顶点u与v称为连通的，如果存在u到v通路，任二顶 点都连通的图称为连通图，否则，称为非连通图。极大 连通子图称为连通分图。 连通而无圈的图称为树, 常用T 表示树. 树中最长路的边数称为树的高，度数为1的顶点 称为树叶。其余的顶点称为分枝点。树的边称为树 枝。 设G是有向图，如果G的底图是树，则称G是 有向树，也简称树。
数学建模-图论
2、应用实例：最短路问题 三、最短路问题及其算法 设有给定连接若干城市的公路网，寻求从指定城 市到各城市的最短路线。
问题的数学模型:
设任一城市为图的一个顶点 v ，连接任意两个城 市的公路为图的边，记为 e ， w(e) 为图的边 e 之长。 对任意的 v V (G) ，寻求轨道 P(v0 , v) ，使得
数学建模-图论
三、最短路问题及其算法 若将图G的每一条边e都对应一个实数F(e), 则称F(e) 为该边的权, 并称图G为赋权图, 记为G = (V, E , F ). 设G = (V, E )是一个图, v0, v1, … , vk∈V, 且 “1≤i≤k, vi－1 vi∈E, 则称v0 v1 … vk是G的一条通路. 如果通路中没有相同的顶点, 则称此通路为路径,简称路.
用邻接矩阵来解决：设(m,n,l)表示左岸商人m人，随从n人；设 (m,n,r)表示右岸有商人m人，随从n人。从左岸到右岸去，所有可 能的状态为： v1=(3,3,l), v2=(3,2,l), v3=(3,1,l), v4=(3,0, l), v5=(2,2,l), v6=(1,1,l), v7=(0,3,l), v8=(0,2,l), v9=(0,1,l), v10=(3,3,r), v11=(3,2,r), v12=(3,1,r), v13=(3,0,r), v14=(2,2,r), v15=(1,1,r), v16=(0,3,r), v17=(0,2,r), v18=(0,1,r).
Si 1 Si vi 1 (i 0,1,2,);
18
2015年8月8日
数学建模-图论
三、最短路问题及其算法
(3) 若 i V (G) 1 ， 则停止； 若 i V (G) 1， 令 i i 1转 （2） ；
算法结束时，从 v0 到各顶点 v 的距离由 v 的最后一次的 标号 l (v) 给出，在 v 进入 Si 之前的标号 l (v) 叫 T 标号， v 进 入 Si 时的标号 l (v) 叫 P 标号，算法就是不断修改各个点的 T 标号，直至获得 P 标号。若在算法运行过程中，将每一顶点 获得 P 标号所由来的边在图上标明，则当算法结束时， v0 至 各个点的最短路也在图上标示出来了。
21
2015年8月8日
数学建模-图论
三、最短路问题及其算法
运行结果如下：
d= 0 index1 = 1 index2 = 1 1 2 1 1 1 1 1 2 4 2 8 3 5 6 7 9 7 9 6 10 10 13 8 13
v1 v2
2 V2 6 4 5 4
7
v0
13 10 8
6
v3
4
v8
10
第二讲：图论模型
7月30日
图论基础专题（老内容）
一 二
三 四
图的基本概念
图的矩阵表示 最短路问题及其算法 最小生成树问题
新内容
欧拉图与哈密顿图 匹配问题 网络流 图的染色
数学建模-图论
一、图的基本概念
假设平面上的 n 个点，把其中的一些点对用曲线或直 线连接起来，不考虑点的位置与连线曲直长短，形成的一 个关系结构称为一个图。 记 G V (G), E (G) , V V (G) 是顶点集， E E (G) 是边集。
对于赋权图，路的长度（即路的权）通常指路上所有边 的权之和。
最短路问题：求赋权图上指定点之间的权最小的路。
数学建模-图论
三、最短路问题及其算法
重要性质：
若v0 v1 … vm 是G 中从v0到vm的最短路, 则 对1≤k≤m, v0v1 … vk 必为G 中从v0到vk的 最短路. 即：最短路是一条路，且最短路的任一段 也是最短路。