高中数学苏教版必修2 第2章2.2.1第二课时 圆的一般方程 作业

[学业水平训练]

1．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0,1)，则点B 的坐标为________．

解析：由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0得，(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心C (1，－1)．设B (x 0，y 0)，

又A (0,1)，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋0＝2y 0＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2y 0＝－3

，所以点B 的坐标为(2，－3)． ★★答案★★：(2，－3)

2．过点P (1,2)的直线l 平分圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋6y ＋1＝0的周长，则直线l 的斜率为________． 解析：过点P (1,2)的直线l 平分圆C 的周长，则直线l 过圆心(－2，－3)，则直线l 的斜率为k ＝－3－2－2－1＝53

. ★★答案★★：53

3．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的面积是________．

解析：将x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0化为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝5＋k 24，故圆心坐标是(－k 2

，－1)，由题意知，直线x －y ＋1＝0过圆心，故－k 2

＋1＋1＝0，解得k ＝4，此时圆的半径为3，圆的面积是9π.

★★答案★★：9π

4．点A (1,0)在圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋3a －3＝0上，则a 的值为________．

解析：∵点A 在圆上，∴a 应满足的条件为

⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋02－2a ＋a 2＋3a －3＝0(－2a )2－4(a 2＋3a －3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＋a －2＝03a －3＜0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝1或a ＝－2a ＜1，∴a ＝－2. ★★答案★★：－2

5．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心的坐标是________．

解析：将x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝1－34

k 2，可知当k ＝0时，圆的半径最大，即圆面积最大，此时圆心坐标是(0，－1)．

★★答案★★：(0，－1)

6．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．

解析：点(3,5)在圆内，最长弦AC 即为该圆直径，

∴AC ＝10，最短弦BD ⊥AC ，∴BD ＝46，

S 四边形ABCD ＝12

AC ·BD ＝20 6. ★★答案★★：20 6

7．试判断A (1,2)，B (0,1)，C (7，－6)，D (4,3)四点是否在同一个圆上．

解：线段AB ，BC 的斜率分别是k AB ＝1，k BC ＝－1，得k AB ≠k BC ，则A ，B ，C 三点不共线，设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.

因为A ，B ，C 三点在此圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ D ＋2E ＋F ＋5＝0E ＋F ＋1＝07D －6E ＋F ＋85＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－8E ＝4

F ＝－5，

所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋4y －5＝0，将D 点坐标(4,3)代入方程，得42＋32－8×4＋4×3－5＝0，即点D 在此圆上，故A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．

8．一圆经过A (4,2)和B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2，求该圆的方程．

解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，

所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D .

同理圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ，由题意知－D －E ＝2. ①

又A ，B 在圆上，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0， ②

1＋9－D ＋3E ＋F ＝0， ③

由①②③联立方程组解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12.所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.

[高考水平训练]

1．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且P A ＝1，则P 点的坐标(x ，y )满足的

方程是________．

解析：由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的坐标(x ，y )满足的方程是(x －1)2＋y 2＝2.

★★答案★★：(x －1)2＋y 2＝2

2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)，设P 是圆C 上的动点，令d ＝P A 2＋PB 2，则d 的最大值及最小值分别为________、________.

解析：如图，设P 点坐标为(x 0，y 0)，

∴d ＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2

＝2(x 20＋y 20)＋2

＝2PO 2＋2.

问题转化为求P 点到原点O 距离的最值，

∵O 在圆外，∴OP max ＝CO ＋1＝5＋1＝6，

PO min ＝CO －1＝5－1＝4.

∴d max ＝2×62＋2＝74，d min ＝2×42＋2＝34.

★★答案★★：74 34

3．已知曲线C ：(1＋a )x 2＋(1＋a )y 2－4x ＋8ay ＝0，

(1)当a 取何值时，方程表示圆；

(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点；

(3)当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．

解：(1)当a ＝－1时，方程为x ＋2y ＝0，表示一条直线；

当a ≠－1时，⎝⎛⎭⎫x －21＋a 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋4a 1＋a 2＝4＋16a 2(1＋a )2表示圆．

(2)证明：方程变形为x 2＋y 2－4x ＋a (x 2＋y 2＋8y )＝0.

对于a 取任何值，上式成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋8y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧ x ＝165，y ＝－85，

∴C 过定点A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫165

，－85. (3)由(2)曲线C 过定点A 、B ，在这些圆中，当以AB 为直径时，圆的面积最小(其余不以AB 为直径的圆，AB 为弦，直径大于AB 的长，圆的面积也大)，

从而得以AB 为直径圆的方程：

⎝⎛⎭⎫x －852＋⎝⎛⎭⎫y ＋452＝165

， ∴21＋a ＝85，4a 1＋a ＝45，4＋16a 2(1＋a )2＝165

，