初中平面几何中的定值问题

平面几何中的定值问题

开场白:同学们,动态几何类问题就是近几年中考命题的热点,题目灵活、多变,能够全面考查同学们的综合分析与解决问题的能力。这类问题中就有一类就是定值问题,下面我们来瞧几道题:

【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角 边AB=AC=1,P 就是斜边BC 上的一动点,过

P 作PE ⊥AB 于E,PF ⊥AC 于F,则 PE+PF= 。 方法1:特殊值法:把P 点放在特殊的B 点或C 点或

BC 中点。此种方法只适合小题。

方法2:等量转化法:这就是绝大部分同学能够想到的方法,PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE 。

方法3:等面积法:连接AP,ABC ABP APC S S S AB AC AB PE AC PF ∆∆∆=+⇒⋅=⋅+⋅

AB PE PF ⇒=+

总结语:这虽然就是一道动态几何问题,难不？不难,在解决过程中(方法2抓住了边长AB 的不变性与PE,PF 与BE,AE 的不变关系;方法3抓住了面积的不变性),使得问题迎刃而解。 设计:大部分学生都能想到方法2,若其她两种方法学生没有想到,也不要深究,更不要自己讲掉。此题可叫差生或中等偏下的学生回答(赛比艳,艾科)

(设计意图:由简到难,让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。)

过渡:这道题太简单了,因为等腰直角三角形太特殊了,我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形,问题有没有变化,又该如何解决？请瞧:

【变式1】若把问题1中的等腰直角三角形改为 等腰三角形,且两腰AB=AC=5,底边BC=6,

过P 作PE ⊥AB 于E,PF ⊥AC 于F,则 PE+PF 还就是定值不？若就是,就是多少？ 若不就是,为什么? 方法1:三角形相似进行量的转化

ABM PBE PCF

∆∆∆,AM PE PF AM PB AM PC PE PF AB PB PC AB AB

⋅⋅⇒==⇒== ()462455AM PB PC AM BC PE PF AB AB +⋅⋅⇒+==== (板书) (M 为BC 中点)(解题要点:等腰三角形中,底边上的中线就是常作的辅助线,抓住这条线的长度就是不变量这个特点,建立PE,PF 与AM 之间的联系,化动为静)

方法2:等面积法:

ABC ABP APC S S S BC AM AB PE AC PF ∆∆∆=+⇒⋅=⋅+⋅

642455

BC AM PE PF AB ⋅⋅⇒+===(M 为BC 中点) (板书) (解题要点:抓住三角形面积就是个不变量,用等面积法求解,这就是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法。)

(若学生想不到,可提示:在此题中,不变的东西就是什么？不变的这个量与变量PE,PF 之间有

什么联系,能不能用一个等式来表示？

学生会三角形的边长,角度,周长,面积等都就是不变量。

(设计意图:由特殊到一般,引出求垂线段长度的常用方法:等面积法)

(教师行为:出示题之后,让学生做,教师下去瞧。叫用方法1的同学先站起来回答,然后再叫用方法2的同学。以达到过渡到下一题的目的。)

问:我把题中的5改为a,6改为b,PE+PF 还就是定值不？您能求出这个定值不？

答:就是定值,求解方法不变。

问:由这题,您能得出等腰三角形的一个一般性结论不？

结论:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之与为定值PE+PF=b h a

⋅(a 为腰长,b 为底边长,h 为的边上的高)(等面积法可以求解,注意当顶角为钝角的情况)

(设计意图:培养学生探究的精神,养成勤总结的习惯)

问题:通过前面几题,您能说说在解答动态几何问题时解题的关键就是什么？应该注意什么问题？

答:不要被"动"、"变"迷惑,通过观察,分析,动中窥静,变化之中求不变,从而明确图形之间的内在联系,找到不变量或不变关系,找到解题的途径。在解题过程中要注意点或线在运动的过程中,就是否需要讨论。

过渡:上面两题中的动点都就是在一定线段或直线上运动,有些同学可能还就是觉得不够刺激,下面再来一道刺激一点的,让点在一个区域内运动,请瞧:

【变式2】已知P 为边长为a 的等边三角形ABC 内任意一动点, P 到三边的距离分别为h 1,h 2,h 3,则P 到三边的距离之与就是否为定值？为什么？ (由上题的启示,学生可能很容易想到等面积法)

ABC ABP ACP BCP S S S S BC AM AB PE AC PF BC

∆∆∆∆=++⇒⋅=⋅+⋅+⋅PE PF PD AM ⇒++= 为定值 (M 为BC 中点)

(板书) 可以用几何画板度量长度,进行演示

(设计意图:使学生更深一步理解等面积法的应用)

过渡:研究完了P 在三角形内部运动的情况,我们不防降低对P 点的约束,让这个好动的点P 动到三角形外部去,情况又会有何变化？

【变式3】已知P 为边长为a

的等边三角形ABC 外任意一点,P 到三边的距离分别为h 1,h 2,h 3,则P 到三边的距离之间有何关系？为什么？ 图 1

图2 图3 在几何画板中操作,发现当点P 移出三角形时,h 1＋h 2＋h 3发生改变,那么h 1,h 2,h 3有没有什么一定的关系呢？

等面积法还可以用不？△PAB,△PBC,△PAC 的面积有何关系？这三个三角形的面积与不变的三角形ABC 的面积有何关系？

C

C

C

(直需讲解一种情况,其它让学生自己去补充)

图1:ABC ABP ACP BCP S S S S BC AM AB PE AC PF BC PD ∆∆∆∆=+-⇒⋅=⋅+⋅-⋅ PE PF PD AM ⇒+-=为定值 (板书)

图2:ABC ACP BCP ABP S S S S BC AM AC PF BC PD AB PE ∆∆∆∆=+-⇒⋅=⋅+⋅-⋅ PF PD PE AM ⇒+-=为定值 (只把结论板书)

图3:ABC ABP BCP ACP S S S S BC AM AB PE BC PD AC PF ∆∆∆∆=+-⇒⋅=⋅+⋅-⋅ PE PD PF AM ⇒+-=为定值 (只把结论板书)

图 1

图2 图3

图1:ABC ACP ABP BCP S S S S BC AM AC PE AB PF BC PD ∆∆∆∆=--⇒⋅=⋅-⋅-⋅ PF PE PD AM ⇒--=为定值 (板书)

图2:ABC ABP BCP ACP S S S S BC AM AB PE BC PD AC PF ∆∆∆∆=--⇒⋅=⋅-⋅-⋅ PE PD PF AM ⇒--=为定值 (只把结论板书)

图3:ABC BCP ABP ACP S S S S BC AM BC PD AB PE AC PF ∆∆∆∆=--⇒⋅=⋅-⋅-⋅ PD PE PF AM ⇒--=为定值 (只把结论板书)

(设计意图:渗透分类讨论思想在平面几何中的应用。)

(教师行为:在几何画板中作出个三角形,填充内部,让学生直观地发现几个三角形之间的面积关系。)

过渡:前面我们研究的都就是以三角形为背景的动态几何定值问题,下面再瞧一道以圆为背景的定值问题。

【问题2】 已知:已知弧AB 为120度,在以AB 为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A 、B 两点),以M 为圆心作圆M 与AB 相切,分别过A,B 作⊙M 的切线,两条切线相交于点C 、 求证:∠ACB 有定值,并求出这个定值、

分析:

问:这个图形中不变的就是什么？不变的角就是那一个？

答: 此题中的不变量就是弧AB ,因此∠AMB 也就是不变量;

不变关系就是相切。 问:已知直线与圆已经相切,我们会想到什么？

C