椭圆离心率问题

一、椭圆离心率的
1、运用几何图形中线段的几何意义。

基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜
｜BA ｜
⑤e=｜FO ｜
｜AO ｜
评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。

∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜
= a 2
c
∴有③。

题目1：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形
的两边，则椭圆的离心率e
思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF 2 的中点B ，连接BF 1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F 1BF 2分析三角形的各边长及关系。

解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c
c+3c=2a ∴e= c
a
= 3-1
变形1：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2
=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离
心率
解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1
变形2: 椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2
=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，
PF 2 ∥AB,求椭圆离心率
解：∵｜PF 1｜= b 2
a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=
b ｜OA ｜=a
PF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2
∴a 2
=5c 2
e=
55
点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。

二、运用正余弦定理解决图形中的三角形
题目2：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2
=1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e
解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2
+b 2
a 2
+b 2
+a 2
=(a+c)2
=a 2
+2ac+c 2
a 2
-c 2
-ac=0 两边同除以a 2
e 2
+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52
(舍去)
变形：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5
2, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF
点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。

答案：90° 引申：此类e=
5-1
2
的椭圆为优美椭圆。

性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B 1 ,则ABFB 1 四点共圆。

3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。

总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e 的方程式。

题目3：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)，过左焦点F 1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F 1A ｜=2｜
BF 1｜,求e
解：设｜BF 1｜=m 则｜AF 2｜=2a-am ｜BF 2｜=2a-m
在△AF 1F 2 及△BF 1F 2 中，由余弦定理得：⎩⎨⎧a 2
–c 2
=m(2a-c)
2(a 2-c 2
)=m(2a+c) 两式相除：2a-c 2a+c =12 ⇒e=23 题目4：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-
c ，0）、F 2 (c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的
一个交点，且
∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ,求e
分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。

解：由正弦定理：｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜sin F 1F 2P = ｜PF 2｜
sin PF 1F 2
根据和比性质：
｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜+｜PF 2｜
sinF 1F 2P+sin PF 1F 2
变形得： ｜F 1F 2｜ ｜PF 2｜+｜F 1P ｜ =sin F 1PF 2
sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 =
=
2c
2a
=e ∠PF 1F 2 =75°∠PF 2F 1 =15° e= sin90° sin75°+sin15° =63
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2
变形1：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-
c ，0）、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2 =60°，
求e 的取值范围
分析：上题公式直接应用。

解：设∠F 1F 2P=α，则∠F 2F 1P=120°-α
e=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 = sin60°
sin α+sin(120°-α)
= 1 2sin(α+30°)≥12 ∴1
2
≤e<1
变形2：已知椭圆x 2
4+ y 2
4t 2 =1 (t>0) F 1F 2 为椭圆两焦点，M 为椭圆上任意一点（M 不与长轴两端点重合）
设∠PF 1F 2 =α,∠PF 2F 1 =β若
13 <tan α 2< tan β2 <1
2
,求e 的取值范围 分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。

解;根据上题结论e=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 =sin(α+β)
sin α+sin β =
2sin α+β 2 cos
α+β
2 2sin α+β 2 cos α-β
2
= cos α 2cos β 2 -sin α 2 sin β
2
cos α 2cos β 2 +sin α 2 sin β 2
=1- tan α 2 tan β2
1- tan α 2 tan β
2
=e
∵13<1-e 1+e <12 ∴13<e<1
2
三、 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e 所符合的关系式.
题目5：椭圆x 2 a 2 +y 2
b 2
=1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，
→OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，求
法一：设A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)
⎩⎨⎧b 2x 2
+a 2y 2
=a 2b 2
y=x-c
(a 2
+b 2
)x 2
-2a 2
cx+a 2
c 2
-a 2b 2
=0 x 1+x 2=2a 2
c a 2+b 2 y 1+y 2=2a 2
c a 2+b 2-2c=-2b 2
c a 2+b 2
→OA +→
OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)与（3，-1）共线，则 -（x 1+x 2）=3(y 1+y 2)既 a 2
=3b 2
e=
63
法二：设AB 的中点N ，则2→ON =→OA +→
OB ⎩⎪⎨⎪⎧x 12a 2
+ y 1
2 b 2 =1 ①
x 22a 2
+ y
2
2 b
2
=1 ②
① -② 得：
y 1-y 2x 1-x 2 =- b 2
a 2 x 1 +x 2 y 1+y 2 ∴1=-
b 2
a 2 (-3) 既a 2=3
b 2
e=63 四、
由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。

题目6：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-
c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内
部，则e 的取值范围
分析：∵→MF 1·→
MF 2 =0∴以F 1F 2 为直径作圆，M 在圆O 上，与椭圆没有交点。

解：∴c<b
a 2
=b 2
+c 2
>2c 2
∴0<e<
22
题目7：椭圆x 2
a 2 +y 2
b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-
c ，0）、F 2 (c,0)，P 为右准线L 上一点，F 1P 的垂直平
分线恰过F 2 点，求e 的取值范围
分析：思路1,如图F 1P 与 F 2M 垂直，根据向量垂直，找a 、b 、c 的不等关系。

思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e 解法一：F 1 （-c ，0） F 2 (c,0) P(a
2
c ,y 0 ) M( a 2
c -c 2 ,y 0 2 )
既( b 2
2c , y 0 2 ) 则→PF 1 =-( a
2
c
+c, y 0 )
→MF 2 =-( b 2
2c -c, y 0 2
) →PF 1·→MF 2 =0
( a 2c +c, y 0 ) ·( b 2
2c -c, y 0
2 )=0
( a 2
c +c)·( b 2
2c -c)+ y 02
2 =0
a 2
-3c 2
≤0 ∴
3
3
≤e<1 解法2：｜F 1F 2｜=｜PF 2｜=2c
｜PF 2｜≥a 2
c -c 则2c ≥a 2
c -c 3c ≥a
2
c
3c 2
≥a 2
则
3
3
≤e<1 总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。

所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。

离心率为高考的一个重点题目，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。

椭圆中与焦点三角形有关的问题
题1：椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F l
、F 2
，点P 为其上动点，当 21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_______。

设计意图：从习题入手，不陌生，并且让学生明白本节课内容有很强的实用价值。

（二）问题的分析与引导 问题分解：
问题1. 椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F l
、F 2
，点P 为其上一点，当21PF F ∠为直角时，点P 的横坐标是_______。

问题2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系
解题的关键在于点动，发现21PF F ∠的大小与点P 的位置有关，究竟有何联系，成了大家探索的焦点。

设计意图：把一个看似未知的问题转化为几个“已经具备的经验”可以解决的问题，是数学常规解题策略，这个任务不可能一蹴而就，但可以水滴石穿。

性质一：当点P 从右至左运动时，21PF F ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，21PF F ∠达到最大。

3.“性质一”是为什么呢你能证明吗
提示：“这节课我们研究的是焦点三角形，在三角形中，求角的最值往往可转化为求什么的最值”学生思考后回答：求某个三角函数的最值。

问题3：解三角形中我们常用的理论依据是什么
问题4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经大家演算、试验，悟出“欲求21PF F ∠的最大值，只需求cos 21PF F ∠的最小值”
（面对
cos 21PF F ∠=
|
|||2||||||212
212221PF PF F F PF PF ⋅-+ 如何求最小值，有的同学尝试后发现若用
两次均值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。

能否少用一次均值不等式求出最值呢学生们发现分子变化的部分是2221||||
PF PF +，分母变化的部分是||||221PF PF ⋅，二者的关系是
()||||24||||2||||||||212212
212221PF PF a PF PF PF PF PF PF ⋅-=⋅++=+ ，于
是目标式可分成两部分1|
|||2212
-⋅PF PF b ，最后对||||21PF PF ⋅ 利用均值不等式，即可大功告成。

设计意图：在课堂教学和作业中渗透两个7：3是我们一直致力在研究的课题，本例很好地体现了三角及基本不等式的应用。

从而求得当||||
21PF PF = ，即点
P
与短轴端点重合时，cos 21PF F ∠有最小值为1222
-a
b ，
21PF F ∠有最大值。

此题结果为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-553,553。

） 问题5：由上面的分析，你能得出cos 21PF F ∠与离心率e 的关系吗
性质二：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形2
1F PF 中,2
1θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ（当且仅当动点为短轴端点时取等号）
设计意图：进一步的挖掘，可以让问题简单化，应用价值就更高，“看似一小步，其实一大步”！
题
2：已知1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使
︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。

思路：由焦点三角形性质二， .2190
cos 20
e -≥
⇒
2
2
≤e ＜1
变式1：已知椭圆
)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点
,P 使得
,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。

简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120
cos 20
e -≥即2212
1
e -≥-
, 于是得到e 的取值范围是.1,23⎪⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡ 追问：何时取等号
变式2：若椭圆13
42
2=+y x 的两个焦点1F 、2F ，试问：椭圆上是否存在点P ，使︒=∠9021PF F 存在，求出点P 的纵坐标；否则说明理由。

简解：两种做法：
方法一：设
m PF =1,n PF =2，可以得到⎩⎨⎧=+=+4
4
2
2
n m n m ，故6=mn ，所以P
的纵坐标的绝对值
3=P y ，故P 的纵坐标为3或-3.
方法二：2
2190cos e -≥︒⇒
2
2≤e ＜1，但椭圆离心率为
2
1
，不在范围内，故不存在。

两种解法，答案不一致，原因
设计意图：两个练习题，层层递进，练习2直接为“问题引入2”埋下伏笔，有承上启下的作用。

（三）问题引入2（一道很普通的错题）
题3：P 是椭圆14522=+y x 上的点，F l
，F 2
是椭圆的焦点，若3
21π=∠PF F ，则21F PF ∆的面
积等于_______。

多数同学：利用椭圆定义和余弦定理列出方程组，消元，求出||||21PF PF ⋅，代入面积公式。

问大家：“既然面积可求，那么||||
21PF PF 、 也一定可求，请大家计算一下||||21PF PF 、 的
值”。

同学们利用根与系数的关系构造一个以||||
21PF PF 、 为根的一元二次方程，发现此方程判别式
小于0，无实根，究竟怎么回事，同学们陷入思考中。

两种解法，两种结果，谁对准错，难以定夺，同学们自发地探索起分歧的原因。

经讨论、交流、思考，发现题目出错，利用刚才—探索出的规律，当点P 与
短轴端点重合时，21PF F ∠ 有最大值，查表求得是
57，因此，给定椭圆上不存在点P ，使3
2
1π
=
∠PF F
问题1：已知椭圆C ：122
22=+b
y a x (a>b>0)，F 1
、F 2
是两个焦点，对于给定的角()παα<<0， 探
求在C 上存在点P ，使 α=∠2
1PF F 的条件。

尽量让学生得到：存在点P 的条件可相应得到：α≥∠2
1BF F 。

(B 为椭圆短轴的一个端点)
设计意图：要学生养成仔细审题的习惯，就必须从课堂开始训练。

问题2：怎样改动，使上面不是一个错题
改动一：P 是椭圆14522=+y x 上的点，F l
，F 2
是椭圆的焦点，若6
21π
=∠PF F ，则21F PF ∆
的面积等于_______。

改动二：P 是椭圆1422=+y x 上的点，F l
，F 2
是椭圆的焦点，若3
21π=∠PF F ，则2
1F PF ∆的面积等于_______。

问题3：改动的依据是什么（212
1BF F PF F ∠≤∠,B 为短轴的一个端点）
设计意图：自己编题，体会题目如何来，要考什么。

题4：若1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且θ=∠21PF F ，
求椭圆的面积。

解：设
m
PF =1，
n
PF =2，由余弦定理得
22
2
1224cos 2c F F mn n m ==-+θ①
由椭圆定义得 a n
m 2=+②
由①得：θθcos 12cos 1)(22
22+=+-=
b c a mn
∴2
tan cos 1sin sin 212221θθθθb b mn S PF F =+==
∆ 性质三：若1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且θ=∠21PF F ，
则2
tan
22
1
θ
b S PF
F =∆。

继续看题2：已知1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，
求椭圆离心率e 的取值范围。

思路二：利用焦点三角形性质⑴，从面积角度考虑 不妨设短轴一端点为B 则2245tan 2
1
b b S PF
F =︒=∆≤bc b c S BF F =⨯⨯=
∆22
1
21 b ⇒≤c 2
b ⇒≤2
c 2
2
c a -⇒≤2
c 2
2
2
a
c e =⇒≥
2
1 故
2
2≤e ＜1
当然，若用公式去解同学们编制的题目，将是易如反掌的。

如果把图形特殊化，使PF 1⊥F 1F 2,我们可以得到：
性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为
a
b 2
2。

题
5：已知椭圆1C ：22
221(0)y x a b a b
+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦
长为1．求椭圆1C 的方程；
这就是09年浙江省高考理科试题。

展示评分标准。

设计意图：从高考角度出现，进一步体现实用价值。

问题：考察两个定点的位置还有哪些可能。

定点可以是长轴顶。

恒、中心、短轴顶点，甚至可能是坐标轴上任一点或椭圆内的一点。

【课堂测试】 1.已知
12F 、F 是椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b
+=>>的两个焦点，
p
为椭圆
C
上的一点，且
12PF PF ⊥。

若12PF F ∆的面积为9，则b = .（09上海）
2.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足12
0MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范
围是（ C ） （09江西）
A ．(0,1)
B ．1
(0,
]2
C ．(0,
2 D ．,1)2 3.已知椭圆22
21(1)x y a a
+=>的两个焦点分别为1F ,2F ,P 为椭圆上一点,且1260
F PF ∠=,则
12||||PF PF ⋅的值等于 ．
4（选做）设椭圆
22
22
1(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，
212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为1
1
3
OF ．证明a
=；
椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.
一．焦点三角形的形状判定及周长、面积计算
例1 椭圆
112
162
2=+y x 上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ∆的形状. 解：由椭圆定义：3||,5||.2||||,8|||
212121==∴=-=+PF PF PF PF PF PF .
又4||21=F F
，故满足：,||||||2122122PF F F PF =+故21F PF ∆为直角三角形.
性质一：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中
,21θ=∠PF F 则2
tan
221θ
b S PF F =∆。

性质二：已知椭圆方程为),0(122>>=+b a b
a 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，
若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：
o ex a PF +=1，o ex a PF -=1
在21PF F ∆中，2
12
2
12
12
12cos PF PF F F PF PF -+=
θ
2
12
21221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=
1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122
222
--o
x e a b a x a ≤≤-0 22
a x o ≤∴
性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a
b 22
性质四：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中
,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ
证明：设,,2211
r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：
1222242)(2cos 2
12
221221221212
212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ
.2112221)
2
(2222
22222122e a c a r r c a -=--=-+-≥
命题得证。

（2000年高考题）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使
得,12002
1=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。

简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120
cos 20
e -≥即2212
1
e -≥-
, 于是得到e 的取值范围是.1,23⎪⎪⎭
⎫
⎢
⎣⎡
性质五：已知椭圆方程为),0(122>>=+b a b
a 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，
,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率β
αβαsin sin )
sin(++=
e 。

,,1221βα=∠=∠F PF F PF
由正弦定理得：
β
α
βαsin sin )
180sin(122
1PF PF F F o
=
=
--
由等比定理得：
β
αβαsin sin )
sin(2121++=
+PF PF F F
而)sin(2)sin(2
1βαβα+=+c F F ，β
αβαsin sin 2sin sin 21+=
++a
PF PF
∴β
αβαsin sin )sin(++=
=
a c e。

已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项． (1)求椭圆的方程；
(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2． 解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜ ∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝
3
∴椭圆的方程为3
42
2y x +＝1．
(2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ
椭圆的离心率2
1
=
e
则)60sin(2
3
sin )
60sin(120sin )180sin(21θθθθ-+=-+-=o o
o o ，
整理得：5sin θ＝
3(1＋cos θ)
∴53cos 1sin =
+θθ故532tan =θ，tan F 1PF 2＝tan θ＝113525
3153
2=-⋅
．
圆锥曲线中（椭圆离心率）的基本范围问题
1.
已知点P 在椭圆2
212
x y += 内，12,F F 是椭圆的两个焦点， 求12PF PF +的范围.
''PF PF QF PF PQ
+=+-
''2QF PF PQ QF QF a +-<+=
故 122PF PF ≤
+<
2.
已知点P 在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上，12,F F 是椭圆的两个焦点，求点P 位于何处时
12F PF ∠ 最大（焦点三角形两个基本关系）
解：设12
F PF θ
∠=，在12F PF ∆ 中，22
2
1212
4cos 2PF PF c PF PF θ
+-=
，
因为
122PF PF a += ，所以 22
1212
424cos 2a PF PF c PF PF θ--=
，
即 2
122cos 1b PF PF θ=
-，而 2
122
122PF PF PF PF a ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭
，所以cos θ 的最小值是在
12PF PF a ==时取得（cos θ在()0,π上是减函数）
，即点P 为椭圆短轴上的顶点. 3.
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 上，12,F F 是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点P 使
012120F PF ∠=，求椭圆离心率的范围.
解法一： 解12F PF ∆，由上题 22
21222cos 11b b PF PF a
θ=-≥-，
所以 222
22
122cos12012b a c a a -=-≥-=
，3
e ≥ . 故 3,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭
解法二：设()00,P
x y ，则 1
0PF a e x =+，20PF a e x =-，则222
120PF PF a e x =-；
在12F PF ∆中，2
2
2
12012
4cos1202PF PF c PF PF +-=
，即2
12
4b
PF PF = ，因为 0a x a -<
< ，所
以 2
2
4b a ≤ ，2
2
34a c ≤ ，3
2e ≥，又01e << 故 3,1e ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭
. 4. 已知椭圆
)0(12
2
22>>=+b a b y a x 的长轴两端点为
A 、
B ，如果椭圆上存在点Q
，使
,
120 =∠AQB 求
椭
圆离心率
的
范
围。

tan 3a
b
θ=
≥ ⎪
⎪⎭
⎫
⎢
⎣⎡1,36 5.
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上，12,F F 是椭圆的两个焦点，若在椭圆上存在点P 使
12
4PF PF =，求椭圆离心率的范围.
解法一：设()00,P
x y ，则 1
0PF a e x =+，20PF a e x =-，
由
12
4PF PF = 得0
5a x e =
. 而 05a x a e =
≤ ，所以 35e ≥ ，故3,15e ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
解法二：由 22221x y a b
+= 及 ()()2222
16x c y x c y ⎡⎤++=-+⎣⎦
即 2
222220b
x a y a b +-=
及 2
2220x
cx y c -++= 即 222222220a x ca x a y a c -++=
联立解得 5a
x
e
=
，余同上. 6. 已知椭圆
)0(122
22>>=+b a b
y a x 与x 轴正向交于点
A ，若这个椭圆上总存在点P ，使
0AP OP ⋅=（O 为原点），求离心率e 的范围。

c A
O
P
P
F'F
O
A
设(),P
x y ，由0AP OP ⋅=，得 ()(),,0x y x a y ⋅-= ，即 ：220x ax y -+= .
又因为 22221x y a b +=，所以 2222
2
0a b x ax b a
--+= ， 所以
()2
223220a
b x a x a b --+= 分解因式，得
()()2
2
2
0x a a b x ab ⎡⎤---=⎣⎦ ， 所以 x a = 或 22
222
ab ab x a b c ==-
因为 P
x a ≤ ，所以 22b c ≤ ，即 222a c ≤ 所以 2
12
e >≥
. 变式：垂直关系改为 0
060120或
7.
设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点A ，x 轴上有一点(2,0)Q a ，若双曲线上存在点
P ，
使AP PQ ⊥，则双曲线的离心率的取值
范围是
61,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
解：以AQ 为直径的圆与双曲线还有除A 外的公共点，联立 2
22
24a a x y ⎛⎫-+=
⎪⎝
⎭ 、22
221x y a b
-=，联
立解得
()2
222422320a
b x a x a a b +-+-= 此方程一根为a （对应点A 的横坐标）
，由韦达定理另一根为32
22
2a ab x a a b
-=>+ ，所以()2222
22a b c a >=-
8.
已知点F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直
于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．(1，＋∞) B ．)2,
1(； C ．)21,1(+ D ．)21,2(+
解：因为△ABE 是等腰三角形，故只要 0145F EA ∠<
即可.
所以
11AF F E < ，
即 2
b a
c a
<+ ，得 12e << 另解：因为 1e > ，考察结论考虑取 2e = 时△ABE 的形择.
状，再根据 e 的变化与双曲线的形状间的关联做出选
9.
设点(),P x y 是双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>与圆2222
x y a b +=+ 在第一象限的交
点，1
2,F F 是双曲线的左、右焦点，且12
3PF PF = ，则双曲线的离心率为
10
2
10.
过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆222
4
a x y +=
的切线，
切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若()
1
2
OE
OF OP =
+，则双曲线的离心率为10
；
212
PF PF a
-=，
23
PF a
=。