随机误差项的方差

2 0 L 0
Var(
|
X) 2In
0 M
2
M
L O
0
M
0
0
L
2
Var( ) E[ E()][ E()]' E( ')
Var(
)
E(
')
1
E
Mn
1L源自文库
n
2 1
E
2
1
M
n 1
1 2
2 2
M
n 2
L L O L
1 n
2
n
M
2 n
Var(1)
Cov(
不
正
能
相
确
关定
0 dL dU
无自相关
2
不 能负 确相 定关
4-dU 4-dL
❖ 经验上DW值1.8---2.2之间接受原假设， 不存在一阶自相关。
❖ DW值接近于0或者接近于4，拒绝原假 设，存在一阶自相关。
❖ Stata中对方程进行回归后直接使用 ❖ dwstat命令即可。
reg consum income dwstat
D.W检验步骤: （1）计算DW值
DW 2(1 )
（2）给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界 值dL和dU （3）比较、判断
若 0<D.W.<dL
存在正自相关
dL<D.W.<dU
不能确定
dU <D.W.<4－dU
无自相关
4－dU <D.W.<4－ dL 不能确定
4－dL <D.W.<4
存在负自相关
❖ use B2_lutkepohl.dta, clear ❖ tsset year ❖ reg consum income ❖ predict e1, res ❖ scatter e1 income,yline(0) ❖ ac e1 ❖ pac e1
❖ 2。DW检验：只能检验一阶自相关的序列相 关形式，并且要求解释变量严格外生。
截面数据的残差图
1000 1500
500
0
-500
0
20
40
60
80
id
Residuals
Residuals
时间序列数据的残差图
.04
.02
0
-.02
-.04
0
20
40
60
80
100
t
Residuals
Residuals
v 自相关包含一阶自相关和高阶自相关。 v 一阶自相关：
高阶自相关：
❖ 由于经济活动通常具有某种连续性或持 久性，自相关现象在时间序列中很常见。 比如，相邻两年的GDP 增长率、通货膨 胀率。又比如，某个意外事件或新政策 的效应需要逐步地随时间推移而释放出 来；滞后的调整过程，比如，最优资本 存量需要通过若干年的投资才能逐渐达 到。
❖
自相关的处理：
❖ 1。使用“OLS + 异方差自相关稳健的标准 差”（Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Standard Error，简记HAC），即在同时存在异方差 与自相关的情况下也成立的稳健标准差。这 种方法被称为Newey and West (1987)估计 法，它只改变标准差的估计值，并不改变回 归系数的估计值。
再比如大多数经济时间数据都有一个明显的特点: 惯性，表现在时间序列不同时间的前后关联上。
例如，绝对收入假设下居民总消费函数模型：
Ct=0+1Yt+εt
t=1,2,…,n
由于消费习惯的影响被包含在随机误差项中，则 可能出现序列相关性（往往是正相关 ）。
其中ρ称为相关系数
多阶自相关的数学形式
E( t) 0 Cov( t, t 1) E( t t 1) 2 Cov( t, t 2) E( t t 2) 2 2 Cov( t, t s) E( t t s) s 2
假设1：给定X1i， X2i，… Xki时，εi的条件分布均值 为零。 即：随机误差项具有零均值。
i 1, 2,...n
假设2 随机误差项彼此之间不相关
i j i, j 1,2, ,n
假定3 球型扰动项(spherical disturbance)， 即 对于解释变量的所有观测值，随机误差项有相 同的方差。扰动项满足“同方差”、“无自相 关”的性质
自相关的检验
❖ 1. 图形法 ❖ 残差与X的散点图 ❖ 自相关图(auto-correlation cofficient) ❖ 偏自相关图(partial auto-correlation
cofficient)
❖ 例题：利用B2_lutkepohl.dta数据集建立消 费和收入之间的一元线性回归模型。并检验 是否存在自回归，是一阶还是高阶。
Newey 稳健型估计 (White1980估计的扩展)
❖ reg consum income ❖ newey consum income , lag(1) ❖ newey consum income , lag(2)
2,
1)
M
Cov(
n,
1)
Cov(1, 2) L Var( 2) L
MO
Cov( n, 2) L
Cov(1, n) 2 0 L
Cov(
2,
n)
0
2 L
M M M O
Var( n)
0
0L
0
0 M
2
I
n
2
v u的方差协方差矩阵
经典假设
异方差
自相关
❖ 如果存在自相关：随机误差项的方差-协方差 矩阵的非主对角线上的元素不为0 。
v 异方差经常出现在截面数据中，因为在截面数据中
经常会出现 i j 的情况。
v 解决方法：异方差稳健的标准差。
v
FGLS（可行性广义最小二乘法）
v 自相关经常出现在时间序列数据中，因为在时间序
列数据中，经常会出现的 Cov( i, j) 0
的情况。
面板数据可以看作是截面数据和时间序列的集合， 所以既有可能出现异方差，又有可能出现自相关。
Box-Pierce Q 检验和Bartlett检验 （Ljung and Box, 1979）
❖ Q检验和Bartlett检验 reg consum income predict e2,res wntestq e2 wntestb e2
Breusch-Godfrey（LM） 检验
❖ reg consum income ❖ bgodfrey
根据样本个数和自由度查表得到DL和DU，并 且构造不同的区域。
Reject H0 Uncertainty Accept H0 Uncertainty Reject H0
0
DL
DU
4-DU
4-DL
4
D.W. 统计量:
杜宾和沃特森他们成功地导出了临界值的下限dL和上限dU ，且这些上下限 只与样本的容量n和解释变量的个数k有关，而与解释变量X的取值无关。