专题五第2讲知能演练轻松闯关

1．(2012·东北四校高三模拟)已知方程x 22－k ＋y 22k －1

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )

A ．(12，2)

B ．(1，＋∞)

C ．(1,2)

D ．(12

，1) 解析：选C.由题意可得，2k －1>2－k >0，

即⎩

⎪⎨⎪⎧

2k －1>2－k ，2－k >0，解得10，b >0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为( )

A ．y ＝±32x

B ．y ＝±32

x C ．y ＝±33

x D ．y ＝±3x 解析：选D.由题意可得，

抛物线的焦点坐标为(4,0)，即c ＝4.

又∵e ＝c a

＝2，得a ＝2. ∴b ＝ c 2－a 2＝16－4＝2 3.

∴b a ＝3，则双曲线渐近线方程为y ＝±b a

x ＝±3x . 3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a

－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( )

A.125

B.19

C.15

D.13

解析：选B.根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x ＝－4，则抛物线方程为y 2＝16x . 把M (1，m )代入得m ＝4，即M (1,4)．

在双曲线x 2a －y 2＝1中，A (－a ，0)， 则k AM ＝41＋a ＝1a

， 解得a ＝19

. 4．(2012·乌鲁木齐地区诊断性测验)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )

A ．2± 3

B ．2＋ 3

C.3±1

D.3－1 解析：选A.依题意得F (p 2，0)，设P (y 212p ，y 1)，Q (y 222p ，y 2)(y 1≠y 2)．由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2y 21＝y 22，∴y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P (12p ，y 1)．又点P

位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p 2＝2，由此解得p ＝2±3，故选A. 5．(2012·高考山东卷)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )

A ．x 2＝833y

B ．x 2＝1633y

C ．x 2＝8y

D ．x 2＝16y

解析：选D.∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a

＝2，∴b ＝3a ，

∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝⎛⎭

⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22

＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 6．(2012·高考天津卷)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 2

16

＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.

解析：与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 216＝λ(λ≠0)，即x 24λ－y 2

16λ

＝1(λ≠0)．由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14

，则a 2＝1，b 2＝4.又a ＞0，b ＞0，故a ＝1，b ＝2.

答案：1 2

7．(2012·郑州市质量预测)已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝px (p >0)的焦点F ，且与y 轴

相交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为1，则p ＝________. 解析：依题意得，|OF |＝p 4，|OA |＝2|OF |＝p 2，△AOF 的面积等于12|OA |·|OF |＝p 216

＝1，解得p 2＝16.又p >0，所以p ＝4.

答案：4

8．(2012·济南市模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24

的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 解析：设双曲线的右焦点为F ′，由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以

EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且|PF ′|＝2×a 2

＝a ，故|PF |＝3a ，根据勾股定理得|FF ′|＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102

. 答案：102

9．(2012·高考安徽卷)

如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.

(1)求椭圆C 的离心率；

(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．

解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，

a ＝2c ，所以e ＝12. (2)法一：a 2＝4c 2，

b 2＝3

c 2，

直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，

得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335

c ， 所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165

c . 由S △AF 1B ＝12

AF 1|·|AB |·sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235

a 2＝403， 解得a ＝10，

b ＝5 3.

法二：设|AB |＝t .

因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a ，

由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，

再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos60°可得， t ＝85

a ， 由S △AF 1B ＝12·85a ·32＝235

a 2＝403知， a ＝10，

b ＝5 3.

10．(2011·高考江西卷)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1

(1)求该抛物线的方程；

(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．

解：(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p 2

)， 与y 2＝2px 联立，

从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p 4

由抛物线定义得，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，

所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .

(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)； 设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)

＝(4λ＋1,42λ－22)． 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，

即(2λ－1)2＝4λ＋1，

解得λ＝0，或λ＝2.

11．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．

(1)求E 的离心率；

(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程．

解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，