第十二章—动能定理

12.1力的功
3 定轴转动刚体上作用力的功
z
设作用在定轴转动刚体上A点的力为F,
F
将该力分解为Ft、Fn和Fb，
Ft F cos
当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为
ds Rdj
R为力作用点A到轴的垂距。力F的元 功为
Fb
O1
Ft
Fn A
r
δW F dr = Ft d s Ft Rdj M zdj
T
A
15 cm
Bห้องสมุดไป่ตู้
20 cm
PT
F
a
N
20
20
WT 0 T cosa d x 0 20
20 x d x 200 N cm
(20 x)2 152
再计算F的功：
由题意：
d1

2.5 0.5

5cm
T
A
15 cm
B
20 cm
d2 5 20 25cm
因此F在整个过程中所作的功为
上两式可写成矢量点乘积形式
δW F dr
W M2 F dr M1
称为矢径法表示的功的计算公式。
在直角坐标系中
F Fx i Fy j Fz k , dr dxi dy j dzk
δW Fxdx Fydy Fzdz
W
M2 M1
(
Fxdx

Fy
解：滑块在任一瞬时受力如图。由于 P与N始终垂直于滑块位移，因此，它们 所作的功为零。所以只需计算T 与F的功。 先计算T 的功：
在运动过程中，T 的大小不变，但 方向在变，因此T 的元功为
δWT T cosa d x
cosa (20 x) (20 x)2 152
因此T在整个过程中所作的功为
第十二章 动能定理
• 力的功 • 质点和质点系的动能 • 动能定理 • 普遍定理的综合应用举例 • 功率·功率方程·机械效率
引言
前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。
12.1力的功
变力的功
设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图。 力F在微小弧段上所作的功称为力的元功, 记为dW, 于是有
δW F cos d s
力在全路程上作 的功等于元功之和
s
W 0 F cos ds
M
ds
dr M'
M2
F M1
上式称为自然法表示的功的计算公式。
12.1力的功
在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功 与动能。
12.1力的功
常力的功
设物体在常力F作用下沿直线走过路程s，如图， 则力所作的功W定义为
W F cos s F s
功是代数量。它表示力在一段路程上的累积作用效应， 因此功为累积量。在国际单位制中，功的单位为：J (焦耳), 1J＝1 N·m。
T

1 2
mvC2

1 2
JC 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕
质心转动的动能的和。
)r0

dr
d
F A0
A dr
r
r0
r2 A2
O
12.1力的功
因为
r0
dr

r r
dr

1 2r
d(r
r)

1 2r
dr 2

dr
于是
W12
r2 r1
k(r

l0 )dr

1 2
k
(r1

l0 )2

(r2

l0 )2

或
W12

1 2
k
(d
2 1

d
2 2
)
弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关，与力的作用点A的轨迹形状无关。
dy

Fz
dz)
上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功
的解析表达式。
12.1力的功
常见力的功
1重力的功
设质点的质量为m，在重力 作用下从M1运动到M2。建立如图 坐标，则
z M1
z1 O
Fx 0, Fy 0, Fz mg x
代入功的解析表达式得
M mg M2 y
z2
W12
O
力F在刚体从角j1转到j2所作的功为
W12
j2 j1
M
zdj
Mz可视为作用在刚体上的力偶
例1 如图所示滑块重P＝9.8 N，弹 簧刚度系数k＝0.5 N/cm，滑块在A 位置时弹簧对滑块的拉力为2.5 N， 滑块在20 N的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置A运动到位置B，求 作用于滑块上所有力的功的和。
T


1 2
mi vi2


1 2
miri2 2

1 2
2
miri2

1 2
J z2
12.2 质点和质点系的动能
(3) 平面运动刚体的动能
T

1 2
J P 2
因为JP＝JC + md 2
C
P
所以
T

1 2
(JC

md 2 ) 2

1 2
JC 2

1 2
m(d
)2
因为d·＝vC ,于是得
z2 z1
(mg)dz

mg(z1

z2
)
12.1力的功
对于质点系，其重力所作的功为
W12 mi g (zi1 zi2 ) ( mi zi1 mi zi2 )g (MzC1 MzC2 )g Mg(zC1 zC2 )
由此可见，重力的功仅与重心的始末位置有关，而与 重心走过的路径无关。
2. 质点系的动能
质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动 能，即
T


1 2
mivi2
12.2 质点和质点系的动能
刚体是工程实际中常见的质点系，当刚体的运动 形式不同时，其动能的表达式也不同。
(1) 平移刚体的动能
T


1 2
mi
vi2

1 2
vC2
mi

1 2
mv
2 C
(2) 定轴转动刚体的动能
12.1力的功
2 弹力的功
物体受到弹性力
的作用, 作用点的轨 A1
迹 为 图 示 曲 线 A1A2,
在弹簧的弹性极限内,
r1
弹性力的大小与其变
形量d 成正比。设弹
l0
簧原长为l0 , 则弹性 力为
F k(r l0 )r0
W12
A2 F dr =
A1
A2 A1
k
(r

l0
WF

1 2
k
(d12

d
2 2
)

1 0.5(52 2
252 )

150 N cm
因此所有力的功为
W WT WF 200 150 50 N cm
12.2 质点和质点系的动能
1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为
T 1 mv2 2
动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。