信号的分类和随机过程

一、定义
1、狭义平稳：
平稳随机过程的统计特性： (1)均值（数学期望）
如果为ξ(t)电压电流信号，则σ 表示交流分量的平均功率. (2)方差
D t E
2
E t 2 xf x dx a

t a
1 2 n i
次试验之后，(t)取空间S的某一实现（样本函数）， 3、每部记录仪的记录为一实现，无数实现的总体构 成样本空间。 于是称(t)为随机函数。t代表时间量时，称(t)为随 机过程。 4、在某一固定时刻观察n次，得到一个随机变量：ξ(t1)。 也就是说，随机过程是与时间有关的随机变量。
简单周期信号
x(t ) x(t nT )
复杂周期信号
8
b) 非周期信号：再不会重复出现的信号。
准周期信号:由多个周期信号合成，但各信号频率不成
公倍数。如：x(t ) sin(t ) sin( 2t )
瞬态信号:持续时间有限的信号 如 x(t ) e t A sin(2 f t )
在所分析的区间 (, ) , 能量为有限值的信号 称为能量信号，满足条件：



s (t ) dt
2
一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
13
功率信号： 但平均功率 有限的信号。
指信号s(t)在时域内无始无终，信号的能量无限，
在所分析的区间（-∞，∞），能量不是有限 值。此时，研究信号的平均功率更为合适。
随机信号的分析
2
主要内容
信号的分类
随机信号的分析
（随机过程）
3
信号的分类
4
信号的分类
主要是依据信号波形特征来划分的， 如数学关系、取值特性、能量功率和处理 分析等。
5
信号的分类
从不同角度观察信号，可分为：
1. 从信号描述上分为 ——确定性信号与非确定性信号； 2. 从信号的能量上分为 ——能量信号与功率信号； 3. 从信号的处理分析上分为 ——时域与频域； 4. 从信号取值特性上分为 ——连续时间信号与离散时间信号； 5. 从可实现性分为 ——物理可实现信号与物理不可实现信号。
确定性信号与非确定性信号
可以用明确数学关系式描述的信号称为确定 信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确定 信号。
信号 确定性信号 周期信号 简单周期信号 复杂周期信号 非周期信号 非确定性信号
(随机信号)
准周期信号 瞬态信号
平稳随机信号 非平稳随机信号
7
确定性信号
a) 周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号
E x(t ) dt
2

0
1 2at 1 e dt e 2a 2a 0
2 at

因为x(t)的能量有限，此信号为能量信号。
16
t , 例2：信号 x(t ) 0 ,
t0
else ；说明此信号类型。
[解析] 计算x(t)的总能量
E
2、方差
随机过程ξ(t)的方差为：
D[ (t )] E{[ (t ) a(t )]2 } E[ 2 (t ) 2 (t )a(t ) a 2 (t )] E[ 2 (t )] 2a(t ) E[ (t )] a 2 (t ) E[ 2 (t )] a 2 (t ) x 2 f1 ( x, t )dx a 2 (t )

2 (t ) 均方差：D[ (t )] (t )
35
三、随机过程的数字特征
ξ(t)
a(t)+σ(t)
a(t)
a(t)-σ(t)
36
三、随机过程的数字特征
3、自协方差与自相关 ：同一随机过程任意两个时刻上
的随机变量的统计相关特性。
自协方差函数:
B(t1 , t2 ) E{[ (t1 ) a(t1 )][ (t2 ) a(t2 )]}
一、随机过程基本概念
自然界中事物的变化过程可以大致有两类： 1.确定性过程

其变化过程具有确定的形式。 数学上，可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。 例如，电容器通过电阻放电时，电容两端的电位差随 时间的变化就是一个确定性函数。 没有确定的变化形式。每次对它的测量结果没有一个 确定的变化规律。 数学上，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时 间t的确定函数来描述。 随机信号和噪声统称为随机过程。
33
三、随机过程的数字特征
1、数学期望(统计均值)
随机变量ξ(t1)的数学期望为：

E[ (t1 )] x1 f1 ( x1 , t1 )dx1

将t1变为变量t,则随机过程ξ(t), 其数学期望为:
E[ (t )] x f1 ( x, t )dx a(t )


34
三、随机过程的数字特征
2
x a f x dx 2
(3)自相关
平稳随机过程
一、定义
1、狭义平稳：
平稳随机过程的统计特性： (1)均值（数学期望）
E t xf x dx a

如果为ξ(t)电压电流信号，则τ=0时的自 2 (2)方差 D t E t a 相关函数R(0)表示总平均功率。 2 x a f x dx 2
28
2.随机过程

一、随机过程基本概念
分析： 1、尽管通信机相同、记录仪相同、时间相同，但是 随机过程定义： 输出不相同。（不可能找到两个完全相同的波形） 设随机试验E的可能结果为(t),试验的样本空间 2、输出电压的变化规律是不可预知的，无明确形式。 S={x (t),x (t),...x (t)...},x (t)是第i个实现，每
自相关函数:
R(t1 , t2 ) E[ (t1 ) (t2 )] x1 x2 f2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
37




[ x1 a(t1 )][ x2 a(t2 )] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx 1 dx2
2、仅仅用一个时刻t1的值描述随机过程的特性不充分，应 考虑很多时刻。
随机过程的n维分布函数：
Fn(x1, x2, „ xn； t1, t2, „ tn)
=P{ξ (t1)≤x1,ξ (t2)≤x2 ，„，ξ (tn)≤xn} 随机过程的n维概率密度函数：
Fn ( x1 , x2 ....xn ; t1 , t 2 ....t n ) f n ( x1 , x2 ....xn ; t1 , t 2 ....t n ) x1 , x2 ....xn
f n x1 , x2 , xn ; t1 , t 2 ,t n
40
平稳随机过程
一、定义
1、狭义平稳：
平稳随机过程的统计特性： (1)均值（数学期望）
E t xf x dx a

(2)方差
（如果为ξ(t)电压电流信号，则 a表 示直流分量）
(3)自相关
平稳随机过程
29
例：n部记录仪同时记录n部相同通信接收机噪声波形的输出噪声
样本空间
S1 S2 Sn x2 (t) x1 (t)
随机变量
t
接收机1输出
实样 现本 函 数
t
(t)
xn (t) t tk
接收机n输出
样本函数的总体（随机过程）
30
二、随机过程的一般描述
随机过程的随机性使我们只能用与描述随机变量相似的方法， 来描述它的统计特性。
概率分布: 概率分布函数—事件出现在某个范围内的可能性 概率密度函数—在某点上事件出现的可能性 数字特征: 数学期望—统计平均值 方差—事件偏离数学期望的程度 自协方差函数 自相关函数 互协方差函数 互相关函数
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二、随机过程的一般描述
随机过程的概率分布
1、若ξ(t)是随机过程，则任意时刻t1的值ξ(t1)是个随机变量

x(t ) dt
2
0
t t dt 3
2
3

0
计算x(t)的平均功率
1 1 (T / 2) T 2 P lim t dt lim lim T T 0 T T T 24 3
T /2
3
2
由以上得知x(t)的能量和平均功率皆为，因此, 此信 号既非能量信号也非功率信号。
随机变量的分布函数： F(x)=P［X≤x］
随机变量的概率密度：
f ( x) F ' ( x)
随机过程的分布函数: F1(x1,t1)=P［ξ (t1)≤x1］ 随机过程其概率密度函数：
F1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 , t1 ) x1
32
随机过程的一般描述
随机过程的概率分布
38
平稳随机过程
一、定义
二、各态历经性
39
平稳随机过程
一、定义
1、狭义平稳：随机过程的任何n维分布（概率密度函数） 与时间起点无关。
也就是对任意n和τ，满足（n维概率密度函数）：
f n x1 , xn ; t1 , t 2 ,t n
一维时：与时间t无关 二维时：只与时间间隔τ有关
22
时域描述与频域描述
f(t)
Fourier变换 傅里叶变换
F(ω) 信号的频谱
23
24
随机信号的分析
（随机过程）
25
随机信号的分析主要内容
随机过程的一般描述 平稳随机过程 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度 窄带随机过程和宽带随机过程
26
随机过程的一般描述
一、随机过程基本概念
二、随机过程一般描述 三、随机过程的数字特征
三、随机过程的数字特征
4、互协方差与互相关 ：不同随机过程任意两个时刻上
的随机变量的统计相关特性。
互协方差:
B (t1, t2 ) E{[ (t1 ) a (t1 )][ (t2 ) a (t2 )]}
互相关函数:
R (t1 , t2 ) E[ (t1 )(t2 )]
信号的分类和随机过程
1
主要内容
信号的分类
学习目标：
理解信号的分类方法 能判定确定性信号和非确定性信号、周期和 准周期信号 能判定能量信号和功率信号 熟记几个典型信号（直流信号1、阶跃信号 U(t)、δ (t)的频谱函数)，并能利用傅里叶变换 的性质，求出相应的频谱函数，并画出频谱图。
17
பைடு நூலகம்
能量信号和功率信号的判定
Back
20
时域描述与频域描述
谐 波 基谐波
三次谐波 五次谐波 七次谐波
21
信号的频域概念
实际上,一个信号是由多 种频率组成的, 如信号
基频

s(t ) (4 / ) sin(2 ft ) (1/ 3)sin(2 (3 f )t )
包含了两种频率 f 和 3f
Back
9
非确定信号
c) 非确定信号： 不能用数学式描述，其幅值、相位
变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。
噪声信号(平稳)
噪声信号(非平稳)
统计特性变异 Back
能量信号与功率信号
能量和功率定义
11
能量信号与功率信号
在通信理论中，把功率定义为在单位电阻上
(1Ω)消耗的功率（归一化功率）。

-
s (t ) d t
T0 2 T0 2
2
1 lim 平均功率 P T T

T /2
T / 2
s 2 (t )dt
E lim s 2 (t ) d t
T0
15
e at , 例1：信号 x (t ) 0,
t0 else
，其中a > 0；说明此信
号为能量信号或功率信号。 [解析] 计算x(t)的总能量
用s(t)代表时间t时刻的电流或电压，则s2(t)代
表瞬时功率，在分析区间t ∈(- ∞, +∞)，
信号能量为：
E s 2 (t ) d t
-

信号平均功率为： P lim 1 T T

T /2
T / 2
s 2 (t )dt
12
能量信号s(t)是指一个在时域上有始有终、能量有限的信号 能量信号：
信号的平均功率： 1 T /2 2 P lim s (t )dt T T T / 2
一般持续时间无限的信号都属于功率信号:
14
能量信号与功率信号
能量信号------ 能量有限, 平均功率为0的信号; 功率信号------ 平均功率为有限值, 总能量为∞的信号;
能量 E