圆 几何综合专题练习(word版

圆几何综合专题练习（word版

一、初三数学圆易错题压轴题（难）

1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D ，联结AO、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．

（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；

（2）如图2，设AC=x，ACO

OBD

S

S=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．

【答案】（1）2；（2）

2825

x x x

-+

（0＜x＜8）;（3）AD=

14

5

或6．

【解析】

【分析】

(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.

(2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.

(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论.

【详解】

解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，

∴OD⊥AB，AC=

1

2

AB=4，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，

∴22

AO AC

-，

∴OD=5，

∴CD=OD﹣OC=2；

（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，

则由（1）可得AH=4，OH=3，

∵AC=x，

∴CH=|x﹣4|，

在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，

∴22

HO HC

+22

3|x4|

+-2825

x x

-+

∴CD=OD ﹣OC=5

过点DG ⊥AB 于G ， ∵OH ⊥AB ， ∴DG ∥OH ， ∴△OCH ∽△DCG ， ∴

OH OC

DG CD

=， ∴DG=OH CD OC

⋅

35， ∴S △ACO =

12AC ×OH=12x ×3=32

x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣

x ）×（3

35）=3

2

（8﹣

x ）

∴y=

ACO OBD

S S

=

()32

3582x x -

（0＜x ＜8）

（3）①当OB ∥AD 时，如图3，

过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ， 则OF=AE ， ∴S=12AB•OH=1

2

OB•AE ， AE=

AB OH OB ⋅=24

5

=OF ， 在Rt △AOF 中，∠AFO=90°，

AO=5，

∴75

∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，

∴AD=2AF=14

5

．

②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，

则由①的方法可得DG=BM=

245

， 在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，

∴GO=22DO DG -=75，AG=AO ﹣GO=185

， 在Rt △GAD 中，∠DGA=90°，

∴AD=

22AG DG +=6

综上得AD=

14

5

或6．

故答案为（1）2；（2）y=()

2825x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=14

5或6．

【点睛】

本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.

2．如图，∠ABC=45°，△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ，顶点A 、D 分别在∠ABC 的两边BA 、BC 上滑动（不与点B 重合），△ADE 的外接圆交BC 于点F ，点D 在点F 的右侧，O 为圆心．

（1）求证：△ABD ≌△AFE

（2）若AB=42，82＜BE ≤413，求⊙O 的面积S 的取值范围．

【答案】（1）证明见解析（2）16π＜S ≤40π

【解析】试题分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等得出两组相等的角，再利用已知AE=AD ，得出三角形全等；（2）利用△ABD ≌△AFE ，和已知条件得出BF 的长，利用勾股定理和2＜BE 13EF,DF 的取值范围， 24

S DE π

=

，所以利用二次函

数的性质求出最值. 试题解析：（1）连接EF ，

∵△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ， ∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°，

∵AE AE = ， ∴∠ADE=∠AFE=45°， ∵∠ABD=45°， ∴∠ABD=∠AFE ， ∵AF AF =， ∴∠AEF=∠ADB ， ∵AE=AD ， ∴△ABD ≌△AFE ； （2）∵△ABD ≌△AFE ， ∴BD=EF ，∠EAF=∠BAD ， ∴∠BAF=∠EAD=90°， ∵42AB = ， ∴BF=

42

cos cos45

AB ABF =∠=8，

设BD=x ，则EF=x ，DF=x ﹣8，

∵BE 2=EF 2+BF 2

， 82＜BE ≤413 ，

∴128＜EF 2+82≤208， ∴8＜EF ≤12，即8＜x ≤12， 则()22284

4S DE x x π

π⎡⎤==

+-⎣

⎦=()2

482

x ππ-+，

∵

2

π

＞0， ∴抛物线的开口向上， 又∵对称轴为直线x=4，

∴当8＜x ≤12时，S 随x 的增大而增大， ∴16π＜S ≤40π．

点睛：本题的第一问解题关键是找到同弧所对的圆周角，第二问的解题关键是根据第一问的结论计算得出有关线段的长度，由于出现线段的取值范围，所以在这个问题中要考虑勾股定理的问题，还要考虑圆的面积问题，得出二次函数，利用二次函数的性质求出最值.

3．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在射线BA 上，以BP 为半径的

P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、