数学立体几何练习题

数学立体几何练习题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上

的点，A 1M ＝AN ＝

2a

3

，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定

2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ）

A.45

B.30

C.60

D.90

3．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60º，则直线PC 与平面PAB

所成的角的余弦值为（ ）

A ．1

2

B 。3

C 。3

D 。6

4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是

A ．

15

B 。13

C 。

12

D 。

3 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、

AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ）

A ．510

B ．3

2 C ．55 D ．515

6．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（

）

A ．

4

3 B ．

2

3 C ．

4

3

3 D ．3

7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ）

A.60º

B. 90º

C.105º

D. 75º

8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面

A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0

B ．2

C ．4

D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则

sin 〈CM ，1D N 〉的值为_________.

10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点，

A

B

M

D

C

A

B C

D

P 那么点M 到截面ABCD 的距离是 .

11．正四棱锥P -ABCD 的所有棱长都相等，E 为PC 中点，则直线AC 与截面BDE 所成的角为 ．

12．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面

B 1D

C 所成角的正弦值为 . 13

．已知边长为ABC 中，E 、F 分别为BC 和AC 的中点，PA ⊥面ABC ，

且PA=2，设平面α过PF 且与AE 平行，则AE 与平面α间的距离为 ． 14．棱长都为2的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°，则对角线A 1C 与侧面

DCC 1D 1所成角的余弦值为________.

三、解答题:本大题共6小题，共80分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.

15．如图，直三棱柱111C B A ABC -，底面ABC ∆中，CA ＝CB ＝1， 90=∠BCA ，棱21=AA ，M 、N 分别A 1B 1、A 1A 是的中点． (1) 求BM 的长； (2) 求〉〈11,cos CB BA 的值； (3) 求证：N C B A 11⊥．

16．如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点， 且CD ⊥平面PAB ．

(1) 求证：AB ⊥平面PCB ； (2) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； (3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值．

17．如图所示，已知在矩形ABCD 中，AB =1，BC =a （a >0），P A ⊥平面AC ，且P A =1． （1）试建立适当的坐标系，并写出点P 、B 、D 的坐标； （2）问当实数a 在什么范围时，BC 边上能存在点Q ， 使得PQ ⊥QD ？

（3）当BC 边上有且仅有一个点Q 使得PQ ⊥QD 时， 求二面角Q -PD -A 的余弦值大小．

Q

P D

C

B

A x y

18. 如图，在底面是棱形的四棱锥ABCD P -中，,,60a AC PA ABC ===∠ a PD PB 2==，点E 在PD 上，且PE :ED ＝2:1． (1) 证明 ⊥PA 平面ABCD ；

(2) 求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；

(3) 在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．

19. 如图四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，GD AG 3

1

=，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点． (1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值； (2)求点D 到平面PBG 的距离；

(3)若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求

FC

PF

的值．

20.已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面

ABCD ，E 是SC 上的任意一点． (1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；

(2)设SA ＝4，AB ＝2，求点A 到平面SBD 的距离； (3)当SA

AB 的值为多少时，二面角B －SC －D 的大小为120°？

B A P

E P

A

G

B

C

D

F

E