第十讲：曲面体的截切、直线与曲面体相交

例 ： 求圆球截交线
2' c'd' 7' 8' 3'4' 5'6' a'b 1' d" 8" 4" 6" b" 1" a" 2" c" 7" 3" 5"
解题步骤 1．分析 截平面为正垂面， 截交线为圆；截交线的水平 投影和侧面投影均为椭圆； 2．求出截交线上的特殊点 Ⅰ、 Ⅱ 、 Ⅲ 、 Ⅳ 、 Ⅴ 、 Ⅵ 、Ⅶ、 Ⅷ； 3．求出若干个一般点A、B 、C、D； 4．光滑且顺次地连接各点 ，作出截交线，并且判别可 见性； 5．整理轮廓线。
特殊点
㈠ 圆柱体的截切
截平面与圆柱的截交线的形状取决于截平 面与圆柱轴线的相对位置。
平面与圆柱面截交
截平面P的 位置 截平面垂直于圆柱轴线 圆 截平面倾斜于圆柱轴线 椭圆 截平面平行于圆柱轴线 两条平行直线
截交线空间 形状
投影图
例1：求侧面投影。
●
● ● ● ●
截交线的空 间形状？
● ●
●
截交线的已知投影？ 截交线的侧面投 影是什么形状？
2、利用辅助面与底面圆 的交点，求截交线。
例10：求一般位置直线与圆球的交点。
b’
a’
X
V H
b
O
解题思路和要点： 因无积聚性，且素线 为曲线，故只能用换面法 解题。 1、通过换面法，使直线变 换为特殊位置直线； 2、再用辅助平面法， 反推求出交点并判断直 线的可见性。
a
b1’
a1’
例10：求一般位置直线与圆球的交点。
●
●
解题步骤： ★空间及投影分析； 截平面与体的相对位置； 截平面与投影面的相对位置。 ★求截交线； ★分析、整理圆柱体轮廓素线的投影。
练习：求侧面投影。 同一立体被2 个平面截切，要逐 个进行截平面截交 线的分析和作图。
●
●
解题步骤： ★空间及投影分析； 截平面与体的相对位置； 截平面与投影面的相对位置。 ★求截交线； ★分析、整理圆柱体轮廓素线的投影。
圆
圆球轮廓 例5：求半球体截切后的水平投影和侧面投影。
的同心圆
水平面截圆球的截交线， 其水平投影为部分圆弧，侧面 投影积聚为直线。
当只有局部被截切时，先按整体被截 切求出截交线，然后再取局部。 圆球轮廓 的同心圆 两个侧平面截圆球的截交线，其侧面投影为 部分圆弧，水平投影积聚为直线。
例5：求半球体截切后的水平投影和侧面投影。
积聚线中点 为短轴端点
★找特殊点（椭圆长、短轴端点
及轮廓线上的点）
★补充一般点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
例4:求圆锥截交线。
练习：被正垂面截切后的侧面投影，并完成水平投影。
a' c' b' c"
a"
b"
b
c
a
㈢ 球体的截切
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆。 根据截平面与投影面的相对位置不同，其截 交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。
例6：求作顶尖的水平投影。
㈣ 复合回转体的截切： 同轴回转体
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首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成 以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回 转体的截交线，并依次将其连接。
●
§7-3 直线与曲面体相交
一、贯穿点的概念——直线与曲面体表面的共有点。 二、求贯穿点的方法——三种。
b’
a’
X
V H
b
O
解题思路和要点： 因无积聚性，且素线 为曲线，故只能用换面法 解题。 1、通过换面法，使直线变 换为特殊位置直线； 2、再用辅助平面法， 反推求出交点并判断直 线的可见性。
a
b1’
a1’
小结----基本要求
1.了解回转体及截交线的有关概念及性质；
2.掌握常见回转体的投影特性和作图方法； 3.熟练掌握在回转体表面上取点、取线的作图 方法； 4.熟练掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆球 相交，求表面交线的方法。 5、了解直线与回转体相交贯穿点的作图方法。
PV
平面与圆锥面截交
截平面p位 置 截平面垂直于圆锥 轴线 圆 截平面与锥面上所 有素线相交 椭圆 截平面平行于圆锥 面上一条素线 抛物线 截平面平行于圆锥面上 两条素线 双曲线 截平面通过锥顶 两条素线
截交线空 间形状
投影图
例4: 求圆锥截交线。
截交线的 空间形状？ 截交线的投 影特性？
如何找椭圆另一 根轴的端点？
利用积聚性投影； 辅助平面法——截交线必须为直线或圆； 投影变换。
三、求贯穿点的步骤： 1.求贯穿点； 2.整理并判断直线的可见性。
直线贯穿曲面体
例7：求直线AB与圆柱的交点。
a’ m’
（n’）
解题要点： 1、利用积聚性； 2、判断可见性； 3、补全直线。
b’
b n
立体内直线不画！
m
a
直线贯穿曲面体
●
●
●
●
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例1：求侧面投影。
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、短 轴随截平面与圆 柱轴线夹角的变 化而改变。
45°
什么情况下 投影为圆呢？ 截平面与圆柱轴
线成45°时。
例2：求侧面投影。 同一立体被2 个平面截切，要逐 个进行截平面截交 线的分析和作图。
例8：求特殊位置直线与圆锥的交点。
a’
PV
(2’) 1’
解题要点： （1）利用铅垂线的积聚 性及圆锥表面定点的方 法。
b’
2 1
（2）水平线 利用辅助平面法。
(b) a
（1）
（2）
直线贯穿曲面体
解题思路和要点： 例9：求一般位置直线与圆锥的交点。 因无积聚性，故用 辅助平面法。 含直线作过锥顶的辅助 平面—截交线为两条素线。
练习：求侧面投影。
练习：
1‘(2 ’)
求圆柱截交线
2" 1"
4"
3"
3‘(4 ’)
2(4)
1(3)
练习：
求圆柱截交线
例3：求侧面投影。
虚实分界点
例3：求侧面投影。
㈡ 圆锥的截切
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，圆锥面的 截交线有五种形状。 PV P θ V PV θ αθ P α V α θ θ= =α 90° 过锥顶 θ ＞α 圆 两相交直线 抛物线 椭圆 θ = 0°或＜α 双曲线
第七章 曲面立体
§７－1 曲面体的投影
§７-2
§７-3
平面与 回转体相交
直线与回转体相交 小 结
§７－1 曲面体的投影
圆柱的投影
圆锥的投影
圆球的投影
§７-2
平面与回转体相交
一、回转体截切的基本形式
截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状 及截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线 和直线围成的平面图形或多边形。
二、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截源自文库线的形状。 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，补充一般点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。 注意：整理回转体轮廓素线的投影。
6
4 8 d
b
1
2
a c 7 5 3
例 ： 求圆球截交线