微积分基础(国家开放大学)---第1章---第1节---函数的概念解答

不相同
f x 3 x4 x3 f x x 3 x 1 相 同
y 1 cos2 x
u sin2 相 同
8
函数的表示法
常用的函数表示法主要有三种： 公式法(引例1、2)，图示法(引例3)，表格
法(引例4)。 各种表示法各有其特点：
图示法使函数的变化表现得较直观，表格法 (如各种函数表、经济统计报表)便于求函数值， 而公式法便于运算和分析，故在学习研究数学 理论上用得最多。它们各有优缺点，应根据需 要结合使用。
当x0D，称f (x0)为函数在x0处的函数值。 由于通常是通过函数值f (x)的变化来研究函数f的性质
的，故习惯上也称f (x)或y是x的函数。
7
函数的两要素
定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
自变量
(
Z
y f (x0 )
)
因变量
判定下面各组中两函数是否相同？
f x lg x2 gx 2lg x
x 2 0


x

2
故 Df {x | 2 x 2}
例2:
求函数 y
5 x
x 12
的定义域Df ．
解：要使上式有意义，须使：x 5 且 x -1。
故： Df =(-,-1)(-1,5]
12
跟踪训练 求下列函数的定义域. (1)y＝－12x2＋1；
解 x∈R；
x－2 (2)y＝x2－4；
解 要使函数有意义，必须使x2－4≠0， 得原函数的定义域为{x|x∈R且x≠±2}；
13
(3)y＝ 1 ； x＋|x|
解 要使函数有意义，必须使x＋|x|≠0， 得原函数的定义域为{x|x>0}；
(4)y＝ x－1＋ 4－x＋2； x－1≥0，
解 要使函数有意义，必须使 4－x≥0，
但是其在定义域上不单调，
它有两个单调减区间，应该写为(－∞，0)，(0，＋∞).
25
123
3.下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，
都有f(x1)>f(x2)的是( ) B
A.f(x)＝x2 C.f(x)＝|x|
B.f(x)＝
1 D.f(x)＝2x x＋1
解析 f(x)＝1x在(0，＋∞)上为减函数，符合题意.
第1章 函数、极限、连续 §1.1 函数的概念
§1.1.1 常量与变量 §1.1.2 函数的定义 §1.1.3 函数的特殊性质 §1.1.4基本初等函数 §1.1.5复合函数与初等函数
1
§1.1.1 常量与变量
微积分是研究函数变化规律的学科，故我们先关注 一下研究过程中的常量与变量。
常量:在研究过程中始终保持不变的量 变量:在研究过程中发生变化即可以取不同的量 例如:密闭容器内的气体加热,气体的体积和气体的分
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函数的单调性
设函数 f (x)的定义域为D，如果对于区间 I ( I D )内的任意两点
x1、x2 ,当 x1 < x2时,
（1）恒有f (x1) < f (x2)，则称函数y=f (x)在区间 I 上为递增函数
（2）恒有f (x1) < f (x2)，则称函数y=f (x)在区间 I 上为递减函数
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幂函数
y x (是常数)
y
y x
y x2
1
o
y x
(1,1) y 1
x
1
x
35
指数函数
y a x (a 0, a 1) 常见指数函数y ex （，e 2.71828 ,是一个无理数）
叙述简单起见，对于严格单调增加（减少）函数也称为单调增加（减少）
函数。
当 x1 x2时, f x1 f x2
当 x1 x2时, f x1 f x2
y
y f x
单调增加
y
单调减少
y f x
aO
bx
a O bx 23
当堂测·查疑缺
D 1.已知函数f(x)＝－x2，则( )
解 ∵f(－3)>f(－1)， 又f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1). ∴f(3)>f(1).
29
反思与感悟 本题有两种解法，一种是通过图象观察， f(－3)>f(－1)，选用偶函数定义，得f(3)>f(1)；另一种方 法是利用偶函数图象的对称性.
30
跟踪训练 如图，给出了奇函数y＝f(x)的局部图 象，则f(－4)＝__－__2____.
得原函数的定义域为{x|1≤x≤4}；
14
(5)y＝ 4－x2＋ 1 ； |x|－3 4－x2≥0，
解 要使函数有意义，必须使 |x|－3≠0，
得原函数的定义域为{x|－2≤x≤2}；
15
(6)y＝ ax－3(a 为常数). 课后思考题
解 要使函数有意义，必须使ax－3≥0，
得当 a>0 时，原函数的定义域为{x|x≥3a}； 当 a<0 时，原函数的定义域为x|x≤a3；
解析 f(－4)＝－f(4)＝－2.
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函数的有界性
设函数 f (x)在D上有定义.如果存在一正数M,使不等式 | f (x)|M 对任一xD都成立,则称f (x)在D上有界;如果 这样的M不存在，则称f (x)在D上无界。
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
y M
x0
o
X
x 无界
-M
-M
函数y sin x与y cos x是否是有界函数?
子个数保持一定,是常量;气体的温度和压力是变量. 常量与变量是相对而言的，并非确定不变的。 所谓函数关系是指几个变量之间的某种确定的特殊
联系方式。
2
常用区间表示方法：
全体实数的集合记为R，全体自然数的集合记为N。其 它常见的实数集合表示方法如下：
闭区间：[a,b]={x| axb} 开区间：(a,b)={x| a<x<b} 半开区间：(a,b]={x| a<x b}, [a,b)={x| a x<b} 注：以上a,b均满足a、bR,且a<b,此时，这类区间称
l 2
l 2
3l 2
函数y sin x与y cos x的周期?
函数y tan x与y cot x的周期?
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§1.1.4基本初等函数
常数函数： y = C (C是常数) 幂函数： y = x (是常数) 指数函数： y = ax (a是常数且a>0,a1) 特别: y = ex 对数函数： y = logax (a是常数且a>0,a 1) 特别: y = lnx 三角函数： y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx
A.f(x)在(－∞，0)上是减函数 B.f(x)是减函数 C.f(x)是增函数 D.f(x)在(－∞，0)上是增函数
123
24
123
6
x 2.函数y＝ 的减区间是( C )
A.[0，＋∞)
B.(－∞，0]
C.(－∞，0)，(0，＋∞)
D.(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析 函数y＝ 6 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， x
0
当x 0
1 当x 0
y
1
o
x
-1
x sgn x x
18
几个特殊函数：取整函数
取整函数 y=[x]
[x]表示不超过x的最大整数 y
4 3 2 -4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
19
几个特殊函数：狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x) 0 当x是无理数时
当a＝0时，ax－3≥0的解集为∅，不符合函数的定义， 故不是函数.
16
分段函数求定义域示例
例3 设f
(x)

1 2
0

x

1 ,
求f
(0)、f
(2)，函数
f
(
x)的定义域.
1 x 2
解 f(x)的定义域为：[0, 2]
17
几个特殊函数：符号函数
1 当x 0
y

sgn
x


26
函数的奇偶性
设定义域D关于原点对称， 若xD,有f (-x) = f (x)成立,则称f (x)在D上为偶函数; 若xD,有f (-x) = -f(x)成立,则称f (x)在D上为奇函数.
y y f (x)
y
y f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
-x
o
xx
-x o x
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Biblioteka Baidu 函数的周期性
设函数f (x)的定义域为D,若存在常数T >0,使得对每一个xD,
有 x+T D,且总有f (x+T)= f (x)成立，则称f (x)是D上的周期函 数， 满足上式的最小正数T（如果存在）称为函数f (x)的周期。 注意：通常说周期函数的周期是常指其最小正周期.
3l 2
（3）恒有f (x1) ≤ f (x2)，则称函数y=f (x)在区间 I 上为不减函数
（4）恒有f (x1) ≥ f (x2)，则称函数y=f (x)在区间 I 上为不增函数
递增函数、递减函数分别称为严格单调增加函数和严格单调减少函数，
不减函数和不增函数分别称为单调增加函数和单调减少函数。有时，为
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
20
几个特殊函数：取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
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§1.1.3 函数的特殊性质
一.单调性 二.奇偶性 三.有界性 四.周期性 通过本节课的学习，了解函数的基本特性
定义域求法
约定：如未特别指明,函数定义域Df即为能使函数表
达式有意义的自变量一切可取(实数)值范围。
例1：求函数 y
1 4 x2
x 2 的定义域．
解 要使 y 1 x 2 有意义，必须有
4 x2
4 x2 0 2 x 2 即 2 x 2
x f (x)
偶函数(关于y轴对称)
奇函数(关于原点对称)
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函数奇偶性示例
如:(1) f x xx 1(x 1)
f x x x 1(x 1)
xx 1(1 x) f x 奇函数
(2)
f
x

x

ax ax
1 1

f

x
无穷区间(a,+)
oa
开区间(a,b)
bx o a
x
无穷区间(-,b)
oa
邻域
a a
bx
a x
ob x
去心邻域

a a a x
4
§1.1.2 函数的定义
◎一.函数概念及其表示 ◎二.分段函数 ◎三. 定义域的求法
5
函数关系引例
引例1 圆面积 A r2
T
引例2 自由落体运动 S 1 gt 2 2
为有限区间;又当a、b中有一个为时,称无穷区间;显 然R=(- ,+ )。 a的邻域U(x0,)： U(x0,)=(x0-, x0+)，即|x-a|< 。 a的去心邻域U0(x0,)： U0(x0,) =(x0-, x0+)\{x0}
3
区间、邻域示意图
闭区间[a,b]
引例3 气温 T 与时间 t 的关系
O
引例4 销售量 q 与月份 t 的关系
Pt0,T0
12 t
月份 t 1
2
3
4
5
6
销售量 q 100 105 110 115 111 120
6
函数的概念
定义 设x和y是两个变量, D是一个给定的非空实数集， 若对于每个数xD,变量y按照一定对应法则f, 总有唯 一确定的数值和它对应，则称y为x的一元函数，记作 y=f (x) 。称x为自变量，y为因变量，称D是函数f 的定 义域，因变量y 的取值范围称为函数的值域。
9
分段函数
分段函数：用公式表示函数时，有时需要在定 义域得不同范围内分别用不同的解析式来表示 该函数完整的对应规则。
注意：分段函数是一个函数,而不是几个函数！
例：
y
f
x

2
x
0 x 1
2
1 x x 1
O1
x
10
分段函数应用
1、个人收入所得税 2、出租车计费
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y=secx y=cscx 反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx
y=arccotx y=arcsecx y=arccscx 以上六类16种函数称为基本初等函数。 思考(那些是基本初等函数?)： y=sin3x, y=3x, u=lnv,
y=2x, s=5, y=1/x


x

ax ax
1 1
x1 ax 1 ax
f x
偶函数
(3) f x 0 既是偶函数又是奇函数
(4) f x sin x cos x 1 既非偶函数又非奇函数
28
函数奇偶性的应用 例 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象， 试比较f(1)与f(3)的大小.