高等数学 第二节 二重积分的计算

x1
第十章 第二节
15
利用直角坐标系求二重积分时，关键是要把二重
积分正确地转化为累次积分进行计算，其步骤可
分为以下几步：
1 画出积分区域 D 的草图； 2 根据积分区域 D 和被积函数特点选择适当的积
分次序，选序的原则：
(1) 先积分的容易求，并能为后积分创造条件; (2) 对区域的划分尽可能的少。 3 确定累次积分的上下限，并把二重积分化为二 次积分计算。
图示法
• 写出积分限
(先积一条线 , 后扫积分域)
不等式
充分利用对称性 • 计算要简便
应用换元公式
第十章 第二节
30
后积先定限， 域内穿射线， 如图
先交为下限， 后交为上限。
第十章 第二节
y 1( x)
oa x bx
17
二、利用极坐标系计算二重积分
i
1 2
(ri
ri )2
i
1 2
ri
2
i
1 2 (2ri
ri
)ri
i
r ri ri i i
ri
(ri 2
ri
) ri
i
r ri
i
ri ri i
d
dy(
2( y) f ( x , y)dx)
先x后y
D
c
1( y)
d
dy
2 ( y) f ( x , y)dx
c
1( y)
对 x 积分时， 将 y 看作常数
第十章 第二节
4
说明: (1) 若积分区域既是 X–型区域又是 Y –型区域，
则 f ( x , y)dxdy
y d
y 2(x)
D
bdx 2( x) f ( x , y)dy
解1 X 型区域
I
2
x
dx x ydy
1
1
21 [ 12
xy
2
]
x 1
dx
y
2
y
y x
1
解2 Y 型区域
I
2
dy
1
2
xydx
y
21 [ 12
x2
y]
2 y
dy
o 1x2 x
第十章 第二节
8
例2 计算 xyd ，其中D 是由抛物线x y2 及
D
直线 y x 2所围成的闭区域。
第十章 第二节
r ( )
20
(3) 极点在积分区域内部
区域特征如图 0 2 , 0 r ( )
r ( )
D
o
f (r cos , r sin )rdrd
D
2
( )
0 d 0 f (r cos , r sin )rdr
极坐标系下区域的面积 rdrd
D
第十章 第二节
21
极坐标常见适用情形: (1) 当积分区域为圆域或圆的一部份；
第十章 第二节
25
(3) 计算 ex2 y2dxdy , D : x2 y2 a2 ，并由此证明
D
ex2 dx
0
2
第十章 第二节
26
内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : • 若积分区域为 X 型
则
f ( x , y)d
b
dx
2 ( x) f ( x , y)dy
(2)
1 R2 dx
0
0
f
y
dy
R dx 0 1 R2
f
y
dy
第十章 第二节
23
例10 计算下列二重积分:
(1)
计算
D
arctan
y x
dxdy ，D
为
x2
y2
1,
x2
y2
4
与直线 y = x , y = 0 所围第一象限部分区域。
第十章 第二节
24
1
(2) 计算 (4 x2 y2 )3 dxdy , D : x2 y2 4 , x 0 。 D
1
1 x
(1) 0 dx0 f ( x , y)dy
1
2 x x2
2
2 x
(2) 0 dx0 f ( x , y)dy 1 dx0 f ( x , y)dy
第十章 第二节
12
更换积分次序的解题程序： 1 由所给定的累次积分的上下限写出积分区
域 D 的不等式组； 2 依据不等式组画出积分区域 D 的草图； 3 确定新的累次积分的上下限； 4 写出新的累次积分。
D
a
1 ( x )
• 若积分区域为 Y 型
则
f ( x , y)d
d
dy
2 ( y) f ( x , y)dx
D
c
1( y)
第十章 第二节
27
极坐标系情形:
r 1( )
• 若积分区域为
D
o
r 2( )
则 f ( x , y)d f (r cos , r sin )rdrd
D
D
a
1 ( x )
第十章 第二节
对 y 积分时， 将 x 看作常数
3
Y 型域 (左右型) D： c y d
1( y) x 2( y)
d
x 1( y) D
c
d
x 1( y)D
x 2( y)
c
x 2( y)
Y 型区域的特点：穿过区域且平行于 x 轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点。
f (x , y)d
D
r 1( )
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr
1 ( )
o
第十章 第二节
r 2( )
D
r 2( )
19
(2) 极点在积分区域的边界曲线上
区域特征如图
D
0 r ( )
o
f (r cos , r sin )rdrd
D
( )
d 0 f (r cos , r sin )rdr
f
(x
,
y)dxdy
b
a
f1( x)dx
d
c
f2( y)dy
D
(4) 设 D D1 D2 ，若 D1 和 D2关于 y 轴对称，则有：
Ⅰ若 f (-x , y)=f (x , y)，则 f ( x , y)d 2 f ( x , y)d
D
D1
Ⅱ若 f (-x , y)=-f (x , y)，则 f ( x , y)d 0
区域 D 的等式或不等式中将 x 和 y 对调后原等式或
不等式不变，则： f ( x , y)d f ( y , x)d
轮 换
D
D
对
即：被积函数中 x 和 y 对调积分值不变。
称 性
第十章 第二节
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7
例1 计算 I x yd ，其中 D 是由直线 y＝1 ，
x＝2 ，及 y＝xD 所围的闭区域。
d
2 ( ) f (r cos , r sin )rdr
1 ( )
第十章 第二节
28
• 若积分区域为
D
, 0 r ( )
f (r cos , r sin )rdrd o
D
( )
d 0 f (r cos , r sin )rdr
r ( )
• 若积分区域为
0 2 , 0 r ( )
第十章 第二节
9
例3 将 f ( x , y)dxdy 化为二次积分，其中 D:
D
在第三象限内由直线 y=2x , x=2y 和 xy=2 所围成
的区域。
第十章 第二节
10
例4 计算积分 ( x ye x2 )dxdy ，其中 D 由曲
D
线 x y 1 所围成。
第十章 第二节
11
例5 改变下列积分的次序。
第十章 第二节
13
例6 计算下列积分：
(1)
3 dx 2 sin y2dy
1
x1
(2) ex2dxdy ，其中D由0 x 1，0 y x 确定。
D
第十章 第二节
14
例7 计算
，其中D 由
y 4 x2 , y 3x , x 1 所围成。
y
解
4 y 4 x2
D1
y 3x
o D2 1 x
(2)
被积函数形如
f (x2 y2) ,
f
y x
,
f
x y
。
第十章 第二节
22
例9 将下列直角坐标系下的二次积分化为极坐 标系下的二次积分。
1
4 x2
2
4 x2
(1) dx
f ( x , y)dy dx
f ( x , y)dy
0
1 x2
1
0
R
Rx x
R
R2 x2 x
5
(3) 如果二重积分 f ( x , y)dxdy 的被积函数 f (x , y)
D
是两个函数 f1( x) , f2( y) 的乘积，f ( x , y) f1( x) f2( y)，
积分区域 D {(x , y) a x b , c y d}，则该二重积
分等于两个定积分的乘积，即:
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
a
b
其中函数 1( x) , 2( x) 在区间 [a , b] 上连续。
X 区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点。
第十章 第二节
2
f (x , y)d 的值等于以 D 为底，以曲面
D
z
f(x ,
y) 0 为顶的曲顶柱体的体积。
D
o
f (r cos , r sin )rdrd
D
2
( )
0 d 0 f (r cos , r sin )rdr
r ( )
第十章 第二节
29
(2) 计算步骤及注意事项
• 画出积分域 域边界应尽量多为坐标线
• 选择坐标系 被积函数关于坐标变量易分离
积分域分块要少 • 确定积分序
累次积分好算为妙
a
1 ( x)
d
dy
2( y) f (x , y)dx
c
1( y)
x
y c
1(
y
)
y
x
D
1(
x)
2
(
y
)
o a x bx
为计算方便，可选择积分序，必要时可以交换积分序
(2) 若积分域较复杂，可将它分成若干 y
D2
X-型域或 Y-型域，则
D1
D3
D
D1
D2
D3
o
x
第十章 第二节
第十章 第D二节
6
(5) 设 D D1 D2 ，若 D1 和 D2关于 x 轴对称，则有：
Ⅰ若 f (x , -y)=f (x , y)，则 f ( x , y)d 2 f ( x , y)d
D
D1
Ⅱ若 f (x , -y)=-f (x , y)，则 f ( x , y)d 0
D
(6) 若积分区域 D 关于直线 y = x 对称，即表示积分
第二节 二重积分的计算
教学内容
1 利用直角坐标计算二重积分； 2 利用极坐标计算二重积分。
考研要求
1 掌握积分的计算方法 2 会计算无界区域上较简单的二重积分
第十章 第二节
1
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为：a x b , 1( x) y 2( x)
y 2(x)
D
［X－型］
y 1( x) (上下型)
第十章 第二节
16
其中定限的方法可归纳如下： 1) 后积先定限：累次积分中后积变量的上下限常为
常数可以先确定； 2) 限内划条线：该直线要平行于坐标轴且与坐标轴
同方向； 3) 先交为下限：直线先穿过的曲线为下限； 4) 后交为上限：直线后穿过的曲线为上限。
定限法则:就 X 型区域而言
y
y 2(x)
z
应用计算“平行截
z f (x , y)
面面积为已知的立
体求体积”的方法， y
A( x)
b
V A( x)dx a
y 2(x)
ax
b
y
x
1(x)
f (x , y)d
b
(
2 ( x) f ( x , y)dy)dx
D
a 1 ( x )
先y后x
得
D
f ( x , y)d
b
dx
2 ( x) f ( x , y)dy
D
极坐标系中的面积元素
i
o
d rdrd
f (x , y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd
D
D
第十章 第二节
18
极坐标系下二重积分化为二次积分的公式
(1) 极点在积分区域的边界曲线外
区域特征如图
r 1( )
D
1( ) r 2( )
o
f (r cos , r sin )rdrd