3.3实对称矩阵的特征值和特征向量

a2,
,
an
)
b2 bn
n
a1b1 a2b2 anbn aibi
i 1
称为向量 与 的内积. 内积T 也可记作(, )
P13-2
第三章
一、向量的内积 1. Def.: 设 = (a1 , a2 , … , an)T , = (b1 , b2 … , bn)T 为 Rn
9. 设A为3阶矩阵, 1 ,2 ,3线性无关, 且 A1 =21 +2+3, A2 =22, A3 = -2 +1. (1) 求矩阵B, 使得A(1 , 2, 3)=(1 , 2, 3)B; (2) 求A的特征值;
(3) 求矩阵P 和对角阵 , 使P-1AP = .
练习3.3选解:
3. 设A为3阶实对称矩阵, 且A2+2A=O, r(A)=2, 求与A
线性无关.
P13-5
第三章
8. 施密特(Schmidt) 正交化方法
由一个线性无关的向量组构造一个与之等价的正交向量组.
设 1 ,2 ,…, s ( s 2 ) 是 Rn 中的一个线性无关的向量组， 令 1 1
2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
1
3
3
(3 , (2,
2) 2)
2
(3 , 1 ) (1, 1)
相似的对角矩阵.
P13-13
2 2 1
例2 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 0 , 1 (二重), 属于
特征值 0 的一个特征向量为1= (0, 1, 1)T . 求 A .
0 1 0
1 0 0
P 1 0 1 , A 0 1 2 1 2
1 0 1
0 1 2 1 2
P13-11
第三章
作业:
第149页第1题之(2), (3);
设 1 ,2 ,…, s ( s 2 ) 是 Rn 中的一个线性无关的向量组， 令 1 1
2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
1
3
3
(3 , 2 ) (2 , 2 )
2
(3 , 1 ) (1, 1)
1
s
s
( s , s1 ) ( s1 , s1 )
s1
( (
s 2
, ,
2 2
) )
2
( s (1
中的两个列向量，则 n T a1b1 a2b2 anbn aibi i 1
称为向量 与 的内积. 内积T 也可记作(, )
2. 内积的性质
(1) ( , ) = ( , ) ;
(2) (k , )= k( , );
(3) ( + , )= (, )+ ( , );
1
s
s
( s , s1 ) ( s1 , s1 )
s1
( (
s 2
, ,
2 2
) )
2
( s (1
, ,
1 1
) )
1
则 1 , 2 , … , s 是一个正交向量组, 且
{ 1 , 2 , … , s } { 1 , 2 , … , s }
P13-6
第三章
8. 施密特(Schmidt) 正交化方法
第三章
§3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
向量的内积 正交矩阵 实对称矩阵特征值的性质 实对称矩阵对角化方法
P13-1
第三章
一、向量的内积
1.Def.: 设 = (a1 , a2 , … , an)T , = (b1 , b2 … , bn)T 为 Rn
中的两个列向量，则
b1
T
( a1 ,
(4) ( , ) 0 , 且( ,)= 0 = 0 .
其中 , , 为 Rn 中的任意列向量，k R .
P13-3
第三章
3.Def.: 设 = (a1 , a2 , … , an)T Rn ，称 ( , ) T
为向量 的长度(或模)，记作 || || . 即
n
T ai2
|( , ) | = || || ·|| || , 线性相关.
P13-4
第三章
5.Def.: 设 , Rn , 如果 T = 0, 则称向量 , 正交.
注: (1) Rn 中的零向量与任意向量都正交; (2) 与自身正交的向量只能是零向量;
(3) 正交的几何意义: T = || || ·|| || cos
, ,
1 1
) )
1
例1 求与向量组
1 = (1, 1, 1)T ,2 = (1, -2, -3)T ,3 = (1, 2, 2)T
等价的一个正交单位向量组.
P13-7
第三章
例2 已知
1 1, 1, 1T , 2 1, 1, 3T
求 3 使之与1 , 2 都正交.
二、正交矩阵
1.Def.: 设 A 为一个 n 阶实矩阵，若 A满足 ATA = E (或AAT = E )
例1 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
3 2 0 (1) A 2 2 2
0 2 1
E A ( 2)( 5)( 1)
P13-10
第三章
四、实对称矩阵对角化方法
例1 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
1 2 2
(2) A 2 1 2 , E A (-5)( 1)2
则称 A 为一个 n 阶正交矩阵.
2.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 A 可逆 A-1= AT
3.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 A 的列向量组(或行向 量组) 为正交单位向量组.
4. 正交矩阵的性质 (1) 若 A 是正交矩阵，则 A-1 也是正交矩阵;
(2) 若 A , B 均为 n 阶正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵.
则称 A 为一个 n 阶正交矩阵.
2.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 A 可逆.
A-1= AT
3.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 A 的列向量组(或行向 量组) 为正交单位向量组.
P13-8
第三章
二、正交矩阵
1.Def.: 设 A 为一个 n 阶实矩阵，若 A满足 ATA = E (或AAT = E )
(3) 若 A 是正交矩阵，则 detA = -1 或 1 .
P13-9
第三章
三、实对称矩阵特征值的性质
1. 实对称矩阵的特征值都是实数. 2. 实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量相互正交. 3. 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 Q，使得
Q-1AQ 成为对角矩阵.
四、实对称矩阵对角化方法
第2题
练习3.2选解:
2. 设 n 阶矩阵 A 与 B源自相似, m 阶矩阵 C 与 D 相似,
证明:
A O
O C
~
B O
O D
P13-12
第三章
2 0 0
2 0 0
6. 已知矩阵 A 0 0 1与B 0 y 0 相似.
(1) 求x, y的值; 0 1 x
0 0 1
(2) 求矩阵P , 使P-1AP = B.
6.Def.: 若一个非零向量组(即该向量组中的向量都不是零
向量) 1 , 2 , … , s (s 2) 中的向量两两正交, 则称非 零向量组 1 , 2 , … , s 为一个正交向量组.
若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称 该向量组为正交单位向量组.
7.Th.: 设 1 , 2 , … , s 是一个正交向量组, 则1,2 , …,s
i1
如果 || || = 1，则称 为单位向量.
0 ，则 1 为单位向量或标准化向量.
4. 长度的性质
(1) || || 0 , 且 || || = 0 = 0 ;
(2) || k || = | k | ·|| || ;
(3) |( , )| || || ·|| || , 且