卡诺定理

C
NO
A
O2
水和墨水的混合 相互压紧的金属板
B
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(2) 布朗运动
3. 分子间存在相互作用力 假定分子间的相互作用力有球对称性时，分子间的相互作 用(分子力)可近似地表示为
f

r
s


r
t
(s t )
式中 r 表示两个分子中心的距离，、
、 s、t 都是正数，其值由实验确定
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由分子力与分子距离的关系，有
9
T1 T2 Q吸 T1 T2 10 . 9 10 3 W A Q吸 C w T2 T2
2
在黑夜欲保持室内温度高，卡诺机工作于致冷机状态，从室 外吸取热量 Q吸， 放入室内热量 Q放
Q吸 T1 w A T2 T1
T1 Q吸 A T2 T1
每秒钟放入室内的热量为通过起居室墙壁导出的热量，即
大学物理
1
循环过程
Q吸 Q放 Q放 A 1 正循环（热机循环） η Q吸 Q吸 Q吸
逆循环（制冷循环） w
Q冷吸 A

Q冷吸 Q放 Q吸
热力学第二定律
1. 开尔文表述 不可能只从单一热源吸收热量，使之完全转 化为功而不引起其它变化。
2. 克劳修斯表述 热量不能自动地从低温物体传向高温物体
扫描隧道显微镜（STM）
12
§12.1 分子运动的基本概念
分子运动的基本观点
1. 宏观物体都由大量微观粒子（分子、原子等）组成， 分子之间存在一定的空隙 (1) 1cm3的空气中包含有 2.7×1019 个分子 例如： (2) 水和酒精的混合，气体的压缩等 2. 分子在永不停息地作无序热运动 (1) 气体、液体、固体的扩散 例如：
Q2 (2) 热机的效率都可表示为 1 式中 Q2 表示 Q1 热机循环中工作物向外放出的热量(绝对值)， Q 1 表示
从各热源吸收的热量(绝对值)。
T2 (3) 热机的效率都可表示为 1 式中 T 为低温 2 T1 热源温度， T 为高温热源温度。 1
(4) 其他热机在每一循环中对外作的净功一定小于卡诺 热机在每一循环中对外作的净功。
1. 每个分子的运动速度各不相同，且通过碰撞不断发生变化 2. 分子按位置的分布均匀（重力不计） 在忽略重力情况下，分子在各处出现的概率相同, 容器内 各处的分子数密度相同
N N n V V
3. 分子速度按方向的分布均匀 由于碰撞, 分子向各方向运动的概率相同，所以
vx v y vz 0
卡诺循环热机的效率为
d T 2
O V1
V4 V2
η 1
讨论
T2 1 T1
V
(1) 理想气体可逆卡诺循环热机效率只与 T1，T2 有关，温差 越大，效率越高。提高热机高温热源的温度 T1 ，降低 低温热源的温度 T2 都可以提高热机的效率。但实际中 通常采用的方法是提高热机高温热源的温度 T1 。
η 1
Q放 Q吸
T2 1 T1
2. 在相同的高、低温热源之间工作的一切不可逆热机，其

效率都不可能大于可逆热机的效率。
说明 (1) 要尽可能地减少热机循环的不可逆性（如减少摩擦、 漏气、散热等耗散因素）以提高热机效率。 (2) 卡诺定理给出了热机效率的极限。
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例 下列各说法中确切的说法是： (1) 其他热机的效率都小于卡诺热机的效率。
求 白昼和夜间给卡诺机所供的功率 解 在白昼欲保持室内温度低，卡诺机工作于致冷机状态，从室 内吸取热量 Q吸 ， 放入室外热量 Q放
则
Q吸 T2 w A T1 T2
Q吸 T1 T2 A Q吸 w T2
每秒钟从室内取走的热量为通过起居室墙壁导进的热量，即
Q吸 C (T2 T1 )
(2) 可逆卡诺循环热机的效率与工作物质无关
4
2. 卡诺致冷机的致冷系数
p p1 p2 p4 p3 O V1
V2 Q放 νRT1 ln V1 Q冷吸 V3 ν RT2 ln V4
a
Q放 T 1 b d
T2
V3
c
V
由 bc﹑da 绝热过程方程，有
V2 V3 V1 V4
卡诺致冷循环的致冷系数为 w
在和器壁碰撞中不断给器壁以力的作用所引起的。
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2. 理想气体的压强公式 设体积为 V 的容器内贮平衡态理想气体： 分子总数为 N，分子质量为 μ ，分子数密度为 n 单个分子的运动遵循牛顿力学的运动定律 考虑第 i 个分子与器壁碰撞 其速度为 z
z y
vi vix i viy j viz k









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又如平衡态下气体分子速度分量平方的统计平均值为
2 N v ii i
2 N v i ix i 2 N v i iy i 2 N v i iz i
v2
N

N

N

N
2 2 vx v 2 v y z
由于气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的概 率相等，故有
气体分子运动的规律
1. 气体分子热运动可以看作是在惯性支配下的自由运动 (1) 由于气体分子间距离很大，而分子力的作用范围又很小， 除分子与分子、分子与器壁相互碰撞的瞬间外，气体分 子间相互作用的分子力是极其微小的。 (2) 由于气体分子质量一般很小，因此重力对其作用一般可 以忽略。 2. 气体分子间的相互碰撞是非常频繁的 一秒内一个分子和其它分子大约要碰撞几十亿次(109次/秒)
f 0
t s r r0 ( )
1
斥力
r0 10
10
m
平衡位置
r r0 r r0
结论
分子力表现为引力 分子力表现为斥力
r0
引力
r
(分子力与分子间距离的关系)
一切宏观物体都是由大量分子组成的，分子都在永不停息地 作无序热运动，分子之间有相互作用的分子力。
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§12.2 气体分子的热运动
Q放 Q吸 A C (T2 T1 )
T1 T2 A A A T2 T1 T2 T1
10
解得 说明
C (T2 T1 ) 2 3 A 24.6 10 W T2
此种用可逆循环原理制作的空调装置既可加热，又可降温，这 即是所谓的冷暖双制空调。
11
第12章 气体动理论
热力学第二定律揭示了自然界的一切自 发过程都是单方向进行的不可逆过程
2
§11.11 卡诺循环 卡诺定理
一. 卡诺循环
卡诺循环是由两个等温过程和两个绝热过程组成 1. 卡诺热机的效率 理想气体从高温热源 吸收的热量大小为
p
p1 p2 p4 p3 O V 1
a
V2 Q吸 Aab νRT1 ln V1
V4 V2
Q冷吸
T2 T1 T2
Q冷吸 A

Q冷吸 Q放 Q冷吸
说明 当高温热源的温度T1一定时，理想气体卡诺循环的致冷系 数只取决于T2 。 T2 越低，则致冷系数越小。
5
二. 卡诺定理
1. 在温度分别为T1 与T2 的两个给定热源之间工作的一切可 逆热机，其效率相同，都等于理想气体可逆卡诺热机的 效率，即
N
W A lim ( N A N )
N
状态 A 出现的概率 归一化条件
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Wi 1 i
例如 平衡态下气体分子速度分量的统计平均值为
N1v1x N 2v 2 x N iv ix vx N1 N 2 N i
N1v1 y N 2v 2 y N iv iy vy N1 N 2 N i
碰撞过程中，分子动量发生改变
y O
vi
x
x 轴方向上的动量的增量为：
- μvix -μvix 2 μvix
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7
例 关于热功转换和热量传递过程，下列叙述确切的是： (1) 功可以完全变为热量，而热量不能完全变为功； (2) 一切热机的效率都只能小于1； (3) 热量不能从低温物体向高温物体传递； (4) 热量从高温物体向低温物体传递是不可逆的。
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例 地球上的人要在月球上居住，首要问题就是保持他们的起 居室处于一个舒适的温度。现考虑用卡诺循环机来作温度 调节，设月球白昼温度为 1000C ，而夜间温度为 1000C ， 起居室温度要保持在 200C ，通过起居室墙壁导热的速率为 每度温差 0.5kW
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3. 气体分子热运动服从统计规律 统计的方法 – 统计平均值的计算 ·
物理量 M 的统计平均值
N AM A N B M B M N
Ni 是 M 的测量值为 Mi 的次数，实验总次数为 N
N N A NB
M lim ( N A M A N B M B ) N
1 2 v v v v 3
2 x 2 y 2 z
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三. 理想气体的压强公式
1. 从气体分子运动看气体压强的形成 气体分子
大量气体分子对 器 器壁持续不断的 壁 碰撞产生压力 密集雨点 对雨伞的 冲击力
单个分子
多个分子
平均效果
单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、不均匀的。从总的
效果上来看，存在一个持续的平均作用力。气体的压强是由大量分子
理想气体向低温热源 放出的热量大小为
Q吸 T 1 b
d
T2
Q放
V3
c
V