初中数学一题多变一题多解(四)

一题多解，一题多变（四）

一、一题多解，拓宽解题思路

一题多解是从不同的视角、不同的方位审视分析同一问题中的数量、位置关系，用不同解法求得相同结果的思维过程。通过探求同一问题的不同解法，可以引出相关的多个知识点和解题方案，有助于培养学生的洞察力和思维的变通性、独创性，从而培养学生的创新思维的意识。

比如，我在华师版八年级数学第二十章《平行四边形的判定》曾举到这样一道例题：如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．

2，又E是证法一：如图2，作CE⊥AB，在Rt△CBF中，由勾股定理易得：CF=2

CE=3，AD的中点，故DE=AE=2，分别在Rt△CDE和Rt△BEA中，由勾股定理易得：2 2

BE=6，在Rt△CBE中，由勾股定理的逆定理可得: △CEB是Rt△，即CE⊥BE得证.

证法二：如图3，分别延长CE、BA交于点F，易得△CDE≌△FEF，则CE=FE，AF=1，又AB=2，所以BF=3，又因为BC=3，所以BC=BF，在△BFC中，由三线合一定理得：CE ⊥BE．

证法三：如图4，取CB的中点F，连结EF，则EF是梯形CDAB的中位线，易得EF=2，则EF=CF=BF,则∠CEF=∠FCE, ∠FEB=∠FBE,在△CEB中，由三角形内角和定理易得∠CFB=90°，即CE⊥BE。

二、一题多变，挖掘习题涵量

1．变换题设或结论

比如，同样对上述问题，我还对该题进行了多种角度的变式讨论，开阔了学生的眼界，活跃了学生的思维。

变换1：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中点。求证：CE⊥BE．

变换2：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CE ⊥BE ．, E 是AD 中点． 求证： BC=AB+CD 。 变换3：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=AB+CD, CE ⊥BE ．判断E 是AD 中点吗？为什么？ 变换4：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=AB+CD ， E 是AD 中点．求证： ABCD 21梯形S S CEB =

∆ 2．变换题型

即将原题重新包装成新的题型，改变单调的习题模式，从而训练学生解各种题型的综合能力，培养学生思维的适应性和灵活性，有助于学生创新思维品质的养成。

例如：如图5，已知△ADE 中,∠DAE=120°，B 、C 分别是DE 上两点,且△ABC 是等边三角形, 求证；CE BD BC •=2

分析：本题为证明题，具有探索性，可引导学生从结论出发找到需证明△ABD ∽△ECA ，从而使问题变得容易解决。

变换一：改为填空题，如图5，已知△ADE 中,∠DAE=120°，B 、C 分别是DE 上两点，且△ABC 是等边三角形, 则线段BC 、BD 、CE 满足的数量关系是 。

本题表面上虽是对原题的简单形式变换，但实质上有探究的思想，即需要将BC 分别代换为AB 、AC ，从而归结为找△ABD 与△ECA 的关系问题。

变换二：改为选择题，如图5，已知△ADE 中,∠DAE=120°，B 、C 分别是DE 上两点,且△ABC 是等边三角形，则下列关系式错误的是（ ）

A ．CE BD BC •=2

B ．DE DB AD •=2

C ．E

D EC A

E •=2 D ．ED EB AE •=2

名为选择题，实为要探究得出图中共有三对相似三角形，从而得知A 、B 、C 选项均正确，选D 。

变换三：改为计算题, 如图5，已知△ADE 中,∠DAE=120°，B 、C 分别是DE 上两点,且△ABC 是边长为4的等边三角形,且BD=2，求CE 的长.

仍然要探究出线段BC 、BD 、CE 满足的数量关系，从而转化为知二求一的问题。

变换四：改为判断题，如图6，若图中∠DAE=135°，△ABC 是以A 为直角顶点的等

腰直角三角形，则CE BD BC •=2的结论还成立吗?

把问题条件改变，用同样的思想方法探究得出同样的结论，进一步引申了原例的思想方法，拓展了学生的思维空间。

变换五：改为开放题，如图5，已知△ADE 中,∠DAE=120°，B 、C 分别是DE 上两点,且△ABC 是等边三角形, 则图中有哪些线段是另外两条线段的比例中项？

结论的开放，给学生更多的思考空间，锻炼了学生开放型思维的能力。

变换六：改为综合题，如图7，在△ABC 中，AB=AC=1，

点D 、E 在直线BC 上运动，设BD=x ，CE=y ．

（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y 与x 之间

的函数关系式；

（2）如果∠BAC 的度数为α，∠DAE 的度数为β，当α、

β满足怎样的关系式时，（1）中y 与x•之间的函数关系式还成立，并说明理由。 此种变换将相似与函数知识结合，培养了学生综合探究的能力。

三、一题多用，培养应用意识

比如，已知一条直线上有n 个点，则这条直线上共有多少条线段？

这是七年级数学中我们已解决的问题，易得共有

2

)1(-n n 条线段，运用这个数学模型，可以解决很多数学问题。

例如：（1）全班50个同学，每两人互握一次手，共需握手多少次？

（2）甲、乙两个站点之间有5个停靠站，每两个站点之间需准备一种车票，则共需准备多少种车票？

（3）如图8，共有多少个三角形？

（4）如图9，共有多少个角？

（5）n边形共有多少条对角线？

（6）在9名班干中选出两名优秀班干，则甲和乙同时当选的概率是多少？