信号与系统微分算子方程

写出系统的输入输出微分方程
y(t) B( p) f (t) H ( p) f (t) A( p)
第二章 连续信号与系统的时域分析
例 2 ：已知系统框图，求系统的传输算子 。
－2
f (t)
＋ x″(t)
∫ x′(t)
∫
x(t) ＋
y(t)
4
－5
－3
解 设中间变量x(t)，左端加法器列方程
x"(t) x '(t) 3x(t) f (t)
bj
p
j

f
(t )
i0

j0

第二章 连续信号与系统的时域分析
A( p) y(t) B( p) f (t)
微分算子方程
n
A( p) ai pi i0
m
B( p) bj p j j0
y(t) B( p) f (t) H ( p) f (t) A( p)
用微分算子P表示可写成 pn an1 pn1 an2 pn2 L a1 p a0 y(t) bm pm bm1 pm1 bm2 pm2 L b1 p b0 f (t)
或缩写为来自百度文库

n
ai
pi

y(t
)


m
13

c21 =-1
第二章 连续信号与系统的时域分析
一般n阶LTI连续系统零输入响应的求解步骤：
第一步，将A（p）进行因式分解，即
l
A( p) ( p i )ri i 1
第二步，求出第i个根 i 对应的零输入响应yxi(t)
yxi (t )
[ci0
ci1t
ci2t 2
yx (t) yx1(t) yx2 (t) c10et (c20 c21t)e2t
第二章 连续信号与系统的时域分析
yx (t) yx1(t) yx2 (t) c10et (c20 c21t)e2t
其一阶yx'和y(tx)二(t)阶c导10ee函tt数 c为(221e2tt
)e2t
2(c20

c2t1t)e02t
c10et (1 2t)c21e2t 2c20e2t
y"x (t) c10et 2c21e2t 2[(1 2t)c21 2c20 ]e2t
c10et 4(t 1)c21e2t 4c20e2t


ci(
ri
tr
1) i
1
]eit
i 1,2,....,l
第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,…,l)相加，得到系统的零输
入响应，即
l
yx (t) yxi(t) t 0
i 1
第四步，由给定的零输入响应初始条件
y
( x
j
)
(0
)(
j

0,1,
,n
1)
或者0-系统的初始条件，确定常数ci0, ci1, 1, ci(ri 1) (i 1,2, ,l).
H( p)

B( p) A( p)

bm pm bm1 pm1 bm2 pm2 L pn an1 pn1 an2 pn2 L
b1 p b0 a1 p a0
传输算子
第二章 连续信号与系统的时域分析
y(t) B( p) f (t) H ( p) f (t) A( p)
传输算子代表了系统将输入转变为输出的作用，或 系统对输入的传输作用，故称H(p)为响应y(t) 对激励f(t) 的传输算子或系统的传输算子。
f (t)
H(p)
y(t)
用H(p)表示的系统输入输出模型
第二章 连续信号与系统的时域分析
例 1：设某连续系统的传输算子为
H ( p)
p3
p2 2p2 3p 4
令t=0-,并考虑到y(0-)=3, y′(0-)=-6，y″(0-)=13
代入初始条件值并整理得
yx (0 ) yx' (0 )

c10 c20 3 c10 c21 2c20

6
c10 =1 c20 =2
y"x (0 )

c10
4c21
4c20
( p 1)( p 2)2 y(t) ( p 3) f (t)
已知系统的初始条件y(0-)=3, y′(0-)=-6，y″(0-)=13, 求系统的零 输入响应yx(t)。
解 由题意知 A(p)=(p+1)(p+2)2 ( p 1) yx1(t) c10et ( p 2)2 yx2 (t) (c20 c21t)e2t
H( p)

B( p) A( p)

bm pm bm1 pm1 b1 p b0 pn an1 pn1 a1 p a0
系统的特征方程： A( p) 0
y(t)和f(t)满足的算子方程为
A( p) y(t) B( p) f (t)
系统的特征 多项式
通过直接消去方程两边的公因式(p+a)得到y(t)=f(t)
第二章 连续信号与系统的时域分析
性质4 但是
设A(p),B(p)和D(p)均为p的正幂多项式
D(p) A(p) f (t)=A(p) f (t)
D(p)B(p)
B(p)
A(p) D(p)f (t) A(p) f (t)
B(p)D(p)
输入响应和零状态响应。
求该系统的零
第二章 连续信号与系统的时域分析
第二章 连续信号与系统的时域分析
A(p)=p2+3p+2，可得系统的零输入响应为
代入初始条件值，有
联立求解得c10=5, c20= -2
yx (t) 5et 2e2t
t0
H(p)

(p
K

)r

h(t)
(r
K
tr 1e tu(t)
1)!
简单系统3
H ( p) Kpn
h(t) K (n) (t)
第二章 连续信号与系统的时域分析
综上所述,可以得到系统冲激响应的一般步骤是：
第一步：确定系统的传输算子H(p);
第二步：将H(p)进行部分分式展开写成如下形式：
B(p)
第二章 连续信号与系统的时域分析
2 LTI系统的微分算子方程 对于LTI n阶连续系统，其输入输出方程是线性常系数n阶
微分方程。若系统输入为f(t)，输出为y(t)， 则可表示为
y(n) (t) an1 y(n1) (t) an2 y(n2) (t) L a1 y(1) (t) a0 y(t) bm f (m) (t) bm1 f (m1) (t) bm2 f (m2) (t) L b1 f (1) (t) b0 f (t)
第二章 连续信号与系统的时域分析
性质3
微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。 例如，方程 py(t) pf (t)
不能随意消去公因子p而得到y(t)=f(t)的结果。因为y(t)与f(t)之 间可以相差一个常数c。
y(t) f (t) c
也不能由方程 ( p a) y(t) ( p a) f (t)
yx(t)满足的算子方程为
A( p) yx (t) 0
t0
第二章 连续信号与系统的时域分析
简单系统的零输入响应
简单系统1
若A(p)=p-λ，则yx(t)=c0eλt
简单系统2 若 A(p)=(p-λ)2，则 yx(t)=(c0+c1t)eλt。
第二章 连续信号与系统的时域分析
例 某系统输入输出微分算子方程为
2. 冲激响应的计算 设LTI连续系统的传输算子为H(p)，H(p) →h(t)
简单系统1
H ( p) K
p
h(t) Ketu(t)
第二章 连续信号与系统的时域分析
简单系统 2
H ( p)

K
( p )2
h(t) K te t u(t)
将上面的结果推广到特征方程A(p)=0在p=λ处有r 重根的情况
第二章 连续信号与系统的时域分析
4：基本信号δ(t)激励下的零状态响应
1. 冲激响应
一个初始状态为零的LTI连续系统，当输入为单位冲激信 号时所产生的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为 h(t)， 如图所示：
δ (t)
LTI系统 H(p)
h(t)
x(0－)＝ 0
第二章 连续信号与系统的时域分析
若系统的初始条件y(0-)=y′(0-)=1，输入f(t)=e-tε(t)，求系统的 零输入响应yx(t)，零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。
解
第二章 连续信号与系统的时域分析
(2) 求零状态响应
h(t) (et e 2t ) u(t)
系统的零状态响应
yf(t) f(t) * h(t) e t u(t) * (et e 2t) u(t)
右端加法器
y(t) 2x'(t) 4x(t)
第二章 连续信号与系统的时域分析
电路系统算子方程的建立
表 2.2 电路元件的算子模型
在电路分析中，独立源信号代表系统激励，待求解的 电流或电压为系统响应。
第二章 连续信号与系统的时域分析
3：零输入响应
设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算子为H(p)， 且
第二章 连续信号与系统的时域分析
系统的微分算子方程
1 微分算子和积分算子
p d dt
1 t ( )d
p

p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子。
第二章 连续信号与系统的时域分析
例：
第二章 连续信号与系统的时域分析
微分算子的运算性质
性质1 以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像
te t u(t) (et e 2t ) u(t)
(3) 完全响应
y(t) yx (t) y f (t)
第二章 连续信号与系统的时域分析
例 : 描述某LTI系统的微分方程为
y"(t) 3y'(t) 2 y(t) 2 f '(t) 6 f (t)
已知 f (t) u(t), y(0 ) 3, y '(0 ) 1,
代数多项式那样进行展开和因式分解。
( p 2)( p 3) y(t) ( p2 5p 6) y(t) ( p2 4) f (t) ( p 2)( p 2) f (t)
性质2 设A(p)和B(p)是p的正幂多项式， 则
A( p)B( p) f (t) B( p)A( p) f (t)
q
l
H(p) Kipi
i 1
j 1
Ki (p j )rj
h (t) 第三步：根据H(p)公式求解 i
h (t) 第四步：将所有 i
相加，得到系统的冲激响应
第二章 连续信号与系统的时域分析
例 2.5-4 已知某连续系统的微分方程为
y"(t) 3y'(t) 2 y(t) 2 f '(t) 3 f (t)