第六章 最少拍控制设计

3、对应于典型输入，选定Φe(z)后，可根据G(z)得到D(z)。
D(z) (z) 1 e (z) G(z)e (z) G(z)e (z)
14
上面的讨论可汇总于表
e z
15
例1：最少拍控制系统如图，被控对象:
Gc (s)
10 s(0.1s
1)
T=0.1秒，试设计单位速度输入时的最少拍控制器D(z)。
1 z1 1 0.368z1
（2）因为系统输入信号为单位阶跃信号，则：
e z 1 z 1 z1 2
所以系统脉冲传递函数： z 2z1 z2
（3）数字控制器的脉冲传递函数：
D
z
G
z
z
1
z
1 z1 1 0.368z1 2z1 z2
= 3.679z1 1 0.718z1
T 2 z2 3.5T 2 z3 7T 2 z4 11.5T 2z 5
r(kT ) 0 0.5T 2 2T 2 4.5T 2 8T 2 12.5T 2
c(kT ) 0 0
T 2 3.5T 2 7T 2 11.5T 2
c(kT)与r(kT)始终存在偏差
结论：
1、一般地说，为一种典型输入所设计的最少拍系统， 用于阶次较低的输入函数时，系统将出现较大的超调， 同时响应时间也增加，但是还能保持在采样时刻稳态偏 差为0；
T2 2
z 1
T2 2
z 2
e(0) 0，e(T ) T 2 ，e(2T ) T 2 ，e(3T ) e(4T ) e(kT ) 0
2
2
系统经过3T，系统稳定
13
结论：
1、对应于三种不同典型输入，系统分别经过T，2T，3T 系统达到稳定，系统的稳态误差为0。
2、对应于不同的典型输入，为了得到最少拍响应，应选 择合适的Φe(z)。
6.2 最少拍无纹波系统的设计
33
一、 纹波产生的原因
观察各点变化情况:
例1中：
E(z) e (z)R(z) (1 z1 )2
Tz 1 (1 z1 )2
Tz1
U (z) D(z)E(z) 5.435(1 0.5z1 )(1 0.368z1 ) Tz1 (1 z1 )(1 0.718z1 )
1、数广字义控对制象器的脉冲传递零函阶数保:持器
被控对象
G(z) Z H0 (s)GC (s)
Z H0 (s)GC (s)
1 eTs
Z
s
GC (s)
2、系统的闭环脉冲传递函数为：(z) D(z)G(z) 1 D(z)G(z)
3、误差E(z)的脉冲传递函数为：
E(z)
1
e (z) R(z) 1 (z) 1 D(z)G(z)
2、反之，用于阶次较高的输入函数时，输出不能完全 跟踪输入，存在静差。
3、最少拍系统对输入信号变换的适应性较差。
22
四、D(z)的物理可实现性
设：
G(z)
l
zr (1 zi z1 ) i 1
n
(1 pi z1 )
i 1
则：
n
D(z)
(z) e (z)G(z)
zr (1
i 1 l
e (z)
a2 z 2
)
Ta0z1 T (2a0 a1 )z2 T (3a0 2a1 a2 )z3 T (4a0 3a1 2a2 )z4
40
∴u(0)=0 u(T)=Ta0 u(2T)=T(2a0+a1) u(3T)=T (3a0+2a1+a2)=u(2T)+T(a0+a1+a2) u(4T)=T(4a0+3a1+2a2)=u(3T)+T(a0+a1+a2)
16
1 e sT
10
G(z) Z[H0 (s)Gc (s)] Z[
s
]
s(0.1s 1)
(1
z1 )
10 Z[ s2
1 s
s
1] 10
0.368z1 (1 0.717z1 ) (1 z1 )(1 0.368z1 )
r(t) t
查表
e (z) (1 z1 )2
D(z) 1 e (z)
1 z1 2
0.534 1 0.5z1 1 0.368z1 =
1 z1 1 0.718z1
（4）E z e z R z
1 z1
2 Tz1 1 z1
z 1
C
z
R
z
z
Tz 1 1 z 1
2z 1 z 2
=2z2 3z3 4z4
0.543 1 0.5z1 1 0.368z1
0.544z1 0.318z2 0.580z3 0.392z4
即非采样点
由图看出，u(kT)值不稳定是输出c(kT)在采样点之间 产生波动的原因。
因此，要求系统输出无波纹，关键在于：u(kT)经过 有限个周期以后，达到相对稳定。
U(z) D(z)e (z)R(z)
可以证明，只要D(z)Φe(z)是z-1的有限多项式，那么在 确定的典型输入作用下，经过有限拍后，U(z)达到相对 稳定，从而保证系统输出无波纹。
c(0) 0, c(T) 2, c(2T) c(3T) c(kT) 1
系统经过2T后c(kT)=r(kT), t=T 时，超调量达到100% 。 调节时间加长。
（2）单位加速度输入时
C(z)
( z ) R( z )
(2 z 1
z 2
)
T
2 z 1 (1 z 1 2(1 z1 )3
)
e (z) (1 z1 )2 (z) 2z1 z2 单位加速度输入：
e (z) (1 z1 )3 (z) 3z1 3z2 z3
讨论：不同的输入最少拍系统的调整时间？
单位阶跃输入时：
E
(
z)
e
(
z
)
R(
z
)
(1
z
1
)(
1
1 z
1
)
1
e(0) 1，e(T) e(2T) e(kT) 0
R( z )
Tz 1 (1 z1 )2
R(z)
T
2z1(1 z1 2(1 z1 )3
)
A( z ) R(z) (1 z1 )m
A(z)是不包括(1-z-1)因子的关于z-1的多项式
8
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E(z)
e
(z)R(z)
e (z)A(z) (1 z1 )m
根据z变换的终值定理，系统的稳态误差e(∞)
U z E z D z z1 •
1 z1 1 0.718z1
=0.54z1 - 0.32z2 0.4z3 0.12z4 0.25z5
（5）
u
0.6
y
0.4
0.2
5
0
T 2T 3T 4T
5T
t
-0.2
-0.4
3 1 0
t T 2T 3T 4T 5T
控制器的输出
系统的输出
由此可见，第二拍起，u(kT)就稳定在a0+a1+a2上， 当系统含有积分环节时， a0+a1+a2 ＝0。
39
2、单位速度输入
Tz 1 R(z)
(1 z 1 )2
如果：D(z)Ge (z) a0 a1z1 a2z2
那么：U ( z )
D(z)Ge
(z)R(z)
Tz1(a0 a1z1 (1 z1 )2
e (z)G(z)
5.435(1 0.5z1 )(1 0.368z1 )
(1 z1 )(1 0.717z1 )
下面分析数字控制器D(z)对系统的控制效果
? (z) 1 e (z) 2z1 z2
C
(
z
)
(
z
)
R(
z
)
(
2z
1
z
2
)
(1
Tz 1 z1
)2
2Tz2 3Tz3 4Tz4 5Tz5
由此可见，当k≥3时，u(kT)= u[(k-1)T]+T(a0+a1+a2)。
当系统含有积分环节时，a0+a1+a2＝0，最少拍系统从 第二拍起，u(kT)= T(2a0+a1)。
二、最少拍无纹波设计方法
l
zr (1 zi z1 )
G(z)
i 1 n
(1 pi z1 )
i 1
在设计时Φ(z)应包含G(z)的全部零点，即：
e(
)
lim
z1
(1
z
1
)
E
(
z
)
lim
z1
(1
z1 )
A(z) (1 Z 1 )m
e (z)
0
e(z) (1 z1)M F(z)
Mm
F(z)是不包含零点z=1的z-1的多项式
取 F(z) = 1，M = m 则有：e (z) (1 z1 )m 单位阶跃输入：
e (z) (1 z1 ) (z) z1 单位速度输入：
4、数字控制器的脉冲传递函数为：
(z)
( z )
D(z) G(z)e (z) G(z)1 (z)
三、设计方法
典型的输入形式: 时间序列
脉冲传递函数
单位阶跃输入 R(nT ) u(nT )
1 R(z) 1 z1
单位速度输入 单位加速度输入
通式
R(nT ) nT
R(nT ) 1 (nT )2 2
第六章 数字控制器的直接设计方法
6.1 最少拍控制系统的设计 6.2 最少拍无纹波系统的设计
6.1 最少拍控制系统的设计
最少拍控制？
就是要求闭环系统对于某种特定的输 入在最少个采样周期内达到无静差的稳态， 且闭环脉冲传递函数具有以下形式：
z 1z1 1z2 1z3 1zN
N—可能情况下的最小正整数。 上式表明闭环系统的脉冲响应在N个采样
周期后变为0，则系统在N拍内达到稳定。
4
一、设计要求
1、对特定的参考输入信号，在到达稳态后，系统在采 样点的输出值准确跟随输入信号，不存在静差。
2、在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中，系统 准确跟踪输入信号所需的采样周期数最少。
3、数字控制器必须在物理上可实现。
4、闭环系统必须是稳定的。 5
二、设计思路
c(t)的纹波在采样点上是观测不到的。
返回 27
例2：如图所示计算机控制系统
已知：H
0
(
s)
1
e s
Ts
，
Gc (s)
10 s(s
， T=1s 1)
试设计单位速度输入时，设计最少拍控制系统的控制
器D(z)，并画出数字控制器和系统的输出波形。 28
解：（1）广义对象的脉冲传递函数：
Gz
Z
H0
s Gc
pi z1 )(z) (1 zi z1 )
i 1
为了保证D(z)的可实现性，应当在Φ(z)中加入z-r因子
和|zi|≥1(不包括z＝1点)的零点。 23
五、稳定性 (z) D(z)G(z)e (z)
若广义对象G(z)的极点中存在单位圆上(pi=1除外) 和单位圆外的极点时，则系统将是不稳定的。
25
七、最少拍控制系统的局限性
优 点：结构简单，容易实现。 局限性：
1、系统的适应性差
改进方法：引入加权因子
2、在采样点之间存在纹波，增加了功率损耗和机械 磨损。
改进方法：无纹波设计
下一节 26
最少拍有纹波系统
最少拍控制系统只保证了在最少的几 个采样周期后系统的响应在采样点时稳态 误差为0，但不能保证任意两个采样点之 间的稳态误差为0，这种控制系统输出信 号c(t)有纹波存在，称为最少拍有纹波控 制系统。
解决方法：采用增加Φe(z)的零点来实现
24
六、设计原则
1、考虑不同类型输入，选择满足最少拍的Φe(z)的形式 2、考虑D(z)可实现性，Φ(z)应包含z-r因子和G(z)中
|zi|≥1(不包括z＝1点)的零点 3、考虑系统稳定性，Φe(z)应把G(z)中的不稳定极点
|pi|≥1(不包括z＝1点)作为自己的零点。
s
1 eTs
s
•
10
ss
1
=10 1 z1
1
s
2
s
1
=10 1 z1
Tz 1 1 z1
2
1 eT z 1 1 z1 1 eT z 1
10Tz1
= 1 z1
10 1 eT z1 1 eT z 1
3.679z1 1 0.718z1 =
37
1、单位阶跃输入
1 R( z)
1 z 1
D(z)e (z) a0 a1z1 a2 z 2
U(z)
D(z)e (z)R(z)
a0
a1z1 1 z1
a2 z2
a0 (a0 a1 )z1 (a0 a1 a2 )z2 (a0 a1 a2 )z3
38
∴u(0)=a0 u(T)=a0+a1 u(2T)=u(3T)=a0+a1+a2
c(0) 0 c(T) 0 c(2T) 2T
c(3T) 3T c(4T) 4T
18
输出响应曲线：
系统经过2T后， c(kT)=r(kT)
19
分析：按照单位速度输入设计的最少拍控制器，对 于其他输入时情况：
（1）单位阶跃输入
? C(
z)
( 2 z 1
z 2
)
1
1 z1
2z1
z2
z3
系统经过T，系统稳定
11
单位速度输入时：
E(z)
e (z)R(z)
(1
z1 )2
Tz 1 (1 z1 )2
Tz1
e(0) 0, e(T) T , e(2T) e(3T) e(kT) 0
系统经过2T，系统稳定
12
单位加速度输入时：
E(z)
e
(z)R(z)
(1
z 1 )3
T 2z1(1 z1 ) 2(1 z1)3