导数及偏导数运算解读
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解： 输入指令 syms a x; a=diff([sqrt(x^2-2*x+5),cos(x^2)+2*cos(2*x), 4^(sin(x)),log(log(x))])
Matlab 函数可以对矩阵或向量操作。
a= [ 1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2), -2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x), 4^sin(x)*cos(x)*log(4), 1/x/log(x)]
从图上看，随着M与P越来越接近，割线PM越来越接 近曲线的割线.
3. 求一元函数的导数
1) y=f(x)的一阶导数
解： 输入指令
sin x 例3 . 求 y 的导数； x
pretty(dy_dx)
syms x; dy_dx=diff(sin(x)/x)
得结果: dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x^2.
例1 . 设函数 f ( x ) e ，用定义计算 f (0)；
x
解： f ( x ) 在某一点 x0 的导数定义为极限
f ( x0 x ) f ( x0 ) lim x 0 x 我们记 h x，输入命令：
syms h; limit((exp(0+h)-exp(0))/h,h,0) ans=1
2) 参数方程确定的函数的导数
x x( t ) 设参数方程 所确定的函数 y f ( x ) ， y y( t ) dy y( t ) 则 y f ( x ) 的导数 。 dx x( t )
x a( t sin t ) dy 例7 设 ， 求 ; dx y a(1 cos t )
实验3
导数及偏导数运算
实验目的：Hale Waihona Puke Baidu
1. 进一步理解导数概念及几何意义； 2. 学习Matlab的求导命令与求导法。
实验内容：
学习 Matlab 命令 导数概念 求一元函数的导数 求多元函数的偏导数 求高阶导数或高阶偏导数 求隐函数所确定函数的导数与偏导数
1. 学习Matlab命令
可知结果 f (0) 1。
2). 导数的几何意义是曲线的切线斜率
例2 画出 f ( x ) e 在x=0处(P(0,1))的切线及若 干条割线，观察割线的变化趋势.
x x h 解:在曲线 f ( x ) e 上另取一点 M ( h, e ) ， 则PM的方程是:
y 1 eh 1 x 0 h0 eh 1 y x 1 h
建立符号变量命令 sym 和 syms 调用格式： x=sym(‘x’) syms x y z 建立符号变量 x； 建立多个符号变量 x,y,z；
Matlab 求导命令 diff 调用格式： diff(f(x))， diff(f(x),n)， diff(f(x，y), x)， 求 f ( x )的一阶导数 f ( x )；
求 f ( x ) 的 n 阶导数 f ( n) ( x );
f f ( x , y ) 求 对 x 的一阶偏导数
x
；
diff(函数f(x，y),变量名 x,n)，
n f 求 f ( x , y ) 对 x 的 n 阶偏导数 n ； x
matlab 求雅可比矩阵命令 jacobian，调用 格式：
例5 求 y ( x 2 x ) 的导数；
2 20
解： 输入指令
syms x; dy_dx=diff((x^2+2*x)^20)
得结果: dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2).
例6
求下列函数的的导数： y1 y3 4 x 2 2 x 5;
sin x
y2 cos x 2 2 cos 2 x; ; y4 ln ln x .
cos(x) sin(x) ------ - -----x 2 x
例4 求 y ln(sin x ) 的导数；
解： 输入指令
syms x; dy_dx=diff(log(sin(x)))
得结果: dy_dx=cos(x)/sin(x).
在 matlab中，函数 lnx 用 log(x)表示， log10(x) 表示 lgx。
即
取h=3,2,1,0.1,0.01，分别作出几条割线. h=[3,2,1,0.1,0.01];a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3; plot(x,exp(x),'r');hold on for i=1:5; plot(h(i),exp(h(i)),'r.') plot(x,a(i)*x+1) end axis square 作出y=exp(x)在x=0处的切线y=1+x plot(x,x+1,’r’)
解： 输入命令
syms a t;
dx_dt=diff(a*(t-sin(t)));dy_dt=diff(a*(1-cos(t))); dy_dx=dy_dt/dx_dt. dy_dx = sin(t)/(1-cos(t))
4. 求多元函数的偏导数
例8 设 u
解：输入命令 syms x y z; du_dx=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),x) du_dy=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),y) du_dz=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),z) a=jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2),[x y,z])
jacobian([f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)],[x,y,z])
f f f x y z g g g x y z h h h x y z
2. 导数的概念
导数为函数的变化率，其几何意义是曲线在一 点处的切线斜率。 1). 点导数是一个极限值
x y z ，求 u 的一阶偏导数；
2 2 2
du_dx=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x
du_dy =1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y du_dz = 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*z
Matlab 函数可以对矩阵或向量操作。
a= [ 1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2), -2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x), 4^sin(x)*cos(x)*log(4), 1/x/log(x)]
从图上看，随着M与P越来越接近，割线PM越来越接 近曲线的割线.
3. 求一元函数的导数
1) y=f(x)的一阶导数
解： 输入指令
sin x 例3 . 求 y 的导数； x
pretty(dy_dx)
syms x; dy_dx=diff(sin(x)/x)
得结果: dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x^2.
例1 . 设函数 f ( x ) e ，用定义计算 f (0)；
x
解： f ( x ) 在某一点 x0 的导数定义为极限
f ( x0 x ) f ( x0 ) lim x 0 x 我们记 h x，输入命令：
syms h; limit((exp(0+h)-exp(0))/h,h,0) ans=1
2) 参数方程确定的函数的导数
x x( t ) 设参数方程 所确定的函数 y f ( x ) ， y y( t ) dy y( t ) 则 y f ( x ) 的导数 。 dx x( t )
x a( t sin t ) dy 例7 设 ， 求 ; dx y a(1 cos t )
实验3
导数及偏导数运算
实验目的：Hale Waihona Puke Baidu
1. 进一步理解导数概念及几何意义； 2. 学习Matlab的求导命令与求导法。
实验内容：
学习 Matlab 命令 导数概念 求一元函数的导数 求多元函数的偏导数 求高阶导数或高阶偏导数 求隐函数所确定函数的导数与偏导数
1. 学习Matlab命令
可知结果 f (0) 1。
2). 导数的几何意义是曲线的切线斜率
例2 画出 f ( x ) e 在x=0处(P(0,1))的切线及若 干条割线，观察割线的变化趋势.
x x h 解:在曲线 f ( x ) e 上另取一点 M ( h, e ) ， 则PM的方程是:
y 1 eh 1 x 0 h0 eh 1 y x 1 h
建立符号变量命令 sym 和 syms 调用格式： x=sym(‘x’) syms x y z 建立符号变量 x； 建立多个符号变量 x,y,z；
Matlab 求导命令 diff 调用格式： diff(f(x))， diff(f(x),n)， diff(f(x，y), x)， 求 f ( x )的一阶导数 f ( x )；
求 f ( x ) 的 n 阶导数 f ( n) ( x );
f f ( x , y ) 求 对 x 的一阶偏导数
x
；
diff(函数f(x，y),变量名 x,n)，
n f 求 f ( x , y ) 对 x 的 n 阶偏导数 n ； x
matlab 求雅可比矩阵命令 jacobian，调用 格式：
例5 求 y ( x 2 x ) 的导数；
2 20
解： 输入指令
syms x; dy_dx=diff((x^2+2*x)^20)
得结果: dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2).
例6
求下列函数的的导数： y1 y3 4 x 2 2 x 5;
sin x
y2 cos x 2 2 cos 2 x; ; y4 ln ln x .
cos(x) sin(x) ------ - -----x 2 x
例4 求 y ln(sin x ) 的导数；
解： 输入指令
syms x; dy_dx=diff(log(sin(x)))
得结果: dy_dx=cos(x)/sin(x).
在 matlab中，函数 lnx 用 log(x)表示， log10(x) 表示 lgx。
即
取h=3,2,1,0.1,0.01，分别作出几条割线. h=[3,2,1,0.1,0.01];a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3; plot(x,exp(x),'r');hold on for i=1:5; plot(h(i),exp(h(i)),'r.') plot(x,a(i)*x+1) end axis square 作出y=exp(x)在x=0处的切线y=1+x plot(x,x+1,’r’)
解： 输入命令
syms a t;
dx_dt=diff(a*(t-sin(t)));dy_dt=diff(a*(1-cos(t))); dy_dx=dy_dt/dx_dt. dy_dx = sin(t)/(1-cos(t))
4. 求多元函数的偏导数
例8 设 u
解：输入命令 syms x y z; du_dx=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),x) du_dy=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),y) du_dz=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),z) a=jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2),[x y,z])
jacobian([f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)],[x,y,z])
f f f x y z g g g x y z h h h x y z
2. 导数的概念
导数为函数的变化率，其几何意义是曲线在一 点处的切线斜率。 1). 点导数是一个极限值
x y z ，求 u 的一阶偏导数；
2 2 2
du_dx=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x
du_dy =1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y du_dz = 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*z