流体力学--第二章流体静力学

1 Px p x dydz 2
1 Py p y dxdz 2
1 P p dA Pz pz dydx 2 Y 设 X 、 、Z 分别为沿三个坐标轴方向上的单位
质量力，则沿三个方向上的质量力分别为：
1 1 1 Fx X dxdydz Fy Y dxdydz Fz Z dxdydz 6 6 6
Fx 0, p x
其中
1 dA cos(n, x) dydz 2 1 dA cos(n, y ) dzdx 2 1 dA cos(n, z ) dydx 2
px p y pz p
结论
由于斜平面ABC的方位是任意的，上式即证明 了在同一点处各个方向上的静压强值是相等 的。
pn
静压强
p
α
pt
图2－2
切向压强
假 设： 在静止流体中，流体静压强方向不与作用面 相垂直，与作用面的切线方向成α角 则存在
切向压强pt
法向压强pn
流体流动
与假设静止流体相矛盾
A
B
C
D
E
F
（2）静压强的各向等值性：静止流体内任意一点处 沿各个方向上的静压强大小相等，即
px p y pz p


dA
dAz
dAx
b
z
dA
微小面积上的微压力
dP ghdA
水平总压力
分解
dPx dp cos ghdA cos
dPz dp sin ghdA sin
Px dPx ghdA cos g hdAx ghC Ax
2 2
y
o
A g
x
p ( (
2 x2
2

2 y2
2
gz ) C
o x
y
x
y r A
y
2
x
2
2r 2
2
gz ) C
r
2
1.等压面方程
2 x2
2
2.压强分布

2 y2
2
gz C
旋转抛物面方程
p p0 g (
2r 2
2g
z0 z ) p0 gh 液深 h (
计示压强 真空
大气压强 p pa
绝对压强
p pa
绝对压强
完全真空p＝0
p p0 p m
pm p p0
pv p0 p
六、压强的量测
液柱式测压计 U型管测压计 U型管测压差计 倾斜微压计
A ρ
h
p0 h1
A
h
hp

1
p
hp
2
p
§2-4液体的相对平衡
一、液体随容器作等加速直线运动
压力体
V p Aabcd b
压力体的种类：
P 实压力体:液体与压力体位于曲面的同一侧，Z 方向铅直 向下，通常用正体积表示。 P 虚压力体：液体与压力体位于曲面的两侧， Z 方向铅直
向上，通常用负体积表示。
2 I xC y C A I xC yD yC yC A yC A
合力矩定 理
同理
x D xC
I xyC yC A
式中 I xyC 为对自身形心轴的惯性积，在实际工程中，受压面 通常是轴对称平面 ，通常等于零 。
压力作用中心D一定位于平面形心点C以下
例一垂直放置的圆形平板闸门如图所示，已知闸门半径 R=1m，形心在水下的淹没深度hc=8m，试用解析法计算作 用于闸门上的静水总压力。
A
完全真空
A 静水头线
p2 / g
p1 / g
p0
p2
2
图2－7
p1
1
z2
基准面
z1
在重力作用下静止流体中各点的静水头都是相等的 静水头线是水平直线
四、 静力学基本方程的另一种形式
在静止液体中任取两点l和2 点1和点2压强各为p1和p2， 位置坐标各为z1和z2 P1
P0
P2 2 Z2
p z c g
2
2g
r 2 z)
3.自由液面方程
2r 2
2
g ( z0 z) 0
4.液面抛物面高度
H
R
2
2 0
2g
§2-5静水总压力计算
工程背景
双曲拱坝
贮油罐
一、液体对平面面壁的作用力
建立如图示坐标系 平面ab内一点A处的静压强为
p p0 gy sin
1.总压力计算
另一表达式
1
Z1
p1 p2 z1 z2 rg rg
图2－8
Z
根据
p1 p2 z1 z2 g g
A点与自由液面之间有
p0
A
p
h
z0
z O
p0 p z z0 g g
图2－9 静止流体 中任意点 的液深
h=z0-z
p p0 gh
五、压强的计量单位和表示方法
化简得：
1 p X dx 0 x 1 p Y dy 0 y 1 p Z dz 0 z
流体平衡微分方程式
欧拉平衡微分方程式
压差公式
dp ( Xdx Ydy Zdz)
等压面方程
Xdx Ydy Zdz 0
z C
重力等压面方程
这表明，对于重力流体等压面是水平面；同一容器中装有两 种互不相溶流体时，其分界面也必为等压面。
1.计量单位: 第一种单位是从压强的基本定义出发，用单位面积上的力 出发，其单位为 Pa 。 第二种用大气压来表示，国际上规定一个标准大气压相当 于 760 mm 水银柱，即
1atm=760mmHg=1.013 10 Pa
5
第三种单位用工程大气压表示，即
1at=736mmHg=9.8 10 Pa
表面力 Ⅰ P A Ⅱ 静压强 图2－1 Ⅱ P
设截面面积为 A ，则Ⅰ对Ⅱ的平均静压强为
P p A
若在截面上任一点截取一微小面积 A ，作用在 上的作用力为 P ，则
P p A
若 A 趋向于无穷小，则表示该点两个特性
（1）静压强的垂向性：流体静压强的方向总是 垂直于作用面并指向作用面内，即沿作用面的内法 线方向。
证明如下
在静止的流体内 部取一个微四面体 OABC形状的流体，建 立如图2-3所示坐标 系。
py
z
A
px
dz O dx
B
dy
pn
C
pz
y
x
图2－3
由于流体处于平衡状态，故作用在其上的一切力 在任意轴上投影的总和等于零。 Fx 0 F 0 Fz 0
y
四个平面上受到的静水总压力分别为：
建立如图所示动坐标系
X a, Y 0, Z g
pa x o a y
dp (adx gdz)
p (ax gz ) C
1.压强分布
C p0
液深
p p0 (ax gz ) p0 gh
a h xz g
2.等压面方程
由平衡条件易知
1 1 dydz pdAcos(n, x) X dxdydz 0 2 6 1 1 Fy 0, p y 2 dzdx pdAcos(n, y) Y 6 dxdydz 0 1 1 Fz 0, pz 2 dydx pdA cos(n, z) Z 6 dxdydz 0
因为流体是连续介质，不同的点上流体静压强大小 一般不相等，故各点的静压强是空间坐标位置的单值函 数，即：
p f ( x, y, z )
其全微分为
p p p dp dx dy dz x y z
§2-2流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程
在静止的流体中取一微六面体，如图2-4所示。取六面 体内中心点C点，设C点的静压强为 p ，过C点作轴的平行线 交左右侧面分别为A、B点，将静压强按泰勒级数展开，并略 去高阶微量，则
O
解： （1）静水总压力
FP pc A ghc R 246kN
2
hD FP
hc
（2）压力作用点
R4
IC hD hC hC 4 8.03m hC A hC A
L
二、液体对曲面面壁的作用力
1.总压力计算
O
hC
c
Az
d
x
h
Ax
a
dP
dP
dPx
dPz
C
表示单位重量流体所具有的总势能，简称总能。
在重力作用下，静止流体中各点的单位重量流体的总 势能是相等的。
三、流体静力学基本方程的几何意义
单位重量流体具有的能量用液柱高度来表示称为水头。 表示该点到基准面的高度，称为位置水头，简称位水 头；
z
p / g
称为压强水头 ，简称压水头；
C
称为总水头 。

A
A
ydA S x yC A
P dP ( p0 gy sin )dA ( p0 ghC ) A
A
通常取大气压 p0 0 ，故
P ghC A pC A
2.压力中心
hC 平面形心点的淹没深度
A
PyD ydP g sin y 2 dA g sin I x
A A Ax
Ax 整个曲面在铅垂方向上的投影面积
hC 投影面积的形心淹没深度
铅垂总压力
Pz dPz ghdA sin g hdAz gVp
A A Az
V P 曲面上方液柱的体积，称为压力体
总压力
P Px2 Pz2
Pz arctg Px
2.总压力的作用点 总压力的作用线通过Ｏ点: Px 和 PZ 作用线的交点。

举例说明（图2-5）
液体与气体的分界面，即液体的自由液面就 是等压面，其上各点的压强等于在分界面上各点 气体的压强。 互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。
p p0
等压面
p p0
等压面
油
水
图2－5
§2-3流体静力学基本方程
一、重力作用下的静力学基本方程式
a.质量力只有重力 b.均质不可压缩流体
总压力作用线与曲面的交点就是总压力在曲面上的作用 点，即压力中心。 总压力 P 的作用点：作 出 Px 及 Pz 的作用线，得交
Ｏ点，过此交点，按倾斜
P
Pz
A
角θ作总压力的作用线， 与曲面壁AB相交的点，即

Px
B
O
D
D为总压力F的作用点。
3.压力体的概念 压力体体积的组成： （1）受压曲面本身； （2）通过曲面周围边缘所作的铅垂面； （3）自由液面或自由液面的延长线。
p dx pA p x 2 p dx pB p x 2
1 p p dx dydz 2 x
A
C p
B
1 p dx dydz p 2 x
½ dx
图2－4
由于微六面体处于平衡状态，所以由平衡条件得
p dx p dx , （ FX 0（p x 2 ）dydz p x 2 ）dydz Xdxdydz 0 p dy p dy , （ Fy 0（p y 2 ）dxdz p y 2 ）dxdz Ydxdydz 0 p dz p dz Fz 0, p （ ）dydx p （ ）dydx Zdxdydz 0 z 2 z 2
ax gz C
斜平面方程
3.自由液面方程
ax gz 0
a arctg g
4.等压面倾角
思考一下：
绝对静止和相对平衡两种情况下，液深有什么异同？
二、液体随容器作等角速度旋转运动
z 建立如图所示动坐标系 ω
X 2 x, Y 2 y, Z g
p0
dp ( xdx ydy gdz)
工程流体力学
第二章流体静力学
§2-1流体静压强特性流体平衡微分方程
§2-2流体静力学基本方程 §2-3液体的相对平衡 §2-4静水总压力计算 §2-5浮力定律及固体在液体中的沉浮问题
§2-1流体静压强及其特性
一、静压强的定义

流体处于静止状态时，在流体内部或流体与固 体壁面间存在的单位面积上负的法向表面力。
4
2.压强的表示方法 绝对压强：以完全真空时的绝对零压强(p＝0)为基 准来计量的压强称为绝对压强,用 p 表示。 相对压强：以当地大气压强为基准来计量的压强称 为相对压强，用 p m 表示。 真空压强：当压强比当地大气压强低时，流体压强 与当地大气压强的差值称为真空度，用 pv 表示。
p
p pa
G = mg
P0
X 0, Y 0, Z g
图2－6
压差公式
dp gdz
p z c g
流体静力学 基本方程

适用范围 重力作用下的平衡状态 均质不可压缩流体
二、流体静力学基本方程的物理意义
表示单位重量流体相对于基准面所具有的位置势能， 简称位能；
z
p / g
能；
表示单位重量流体所具有的压强势能，简称压