流体力学--第二章流体静力学
第二章 流体静力学
d
例题3
考虑左侧水的作用
a a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
ab段曲面(实 压力体)
bc段曲面(虚 压力体)
阴影部分相 互抵消
abc曲面(虚压 力体)
例题3
考虑右侧水的作用
a
b
c
bc段曲面 (实压力体)
例题3
合成
a a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
左侧水的作 用
右侧水的作 用
abc曲面(虚压 力体)
例4
圆柱形压力水罐,半径R=0.5m,长l=2m,压 力表读值p=23.72kN/M2,试求(1)端部平 面盖板所受水压力;(2)上、下半圆筒所 受水压力。
分析思路
流体作用在曲面各微元面积上的压力 不是平行的,不能直接相加,而是采取 力学中“先分解,后合成”的方法确定总压 力。
§2.5 作用在曲面上的静水总压力
压力大小
dP ghd
一、静水总压力的水平分力
水平分力
dPx dP cos ghd cos ghd x
hd 为压力体体积
z
z
压力体
z
h d z
定义: 压力体相当于从曲面向上引至液 面(自由液面)的无数微小柱体的 体积总和,它是纯数学概念,与这 个体积内是否充满液体无关。
画法: (1)自由液面 (2)曲面 (3)根据静压强作用的方向找特殊点 (4)分段 (5)沿曲面的边界引垂直液面的铅垂面
空气 A 水
故A点的真空值为
p v p a p A (h2 h1 ) 1000 9.8 (2 1) 9800 Pa
第二章 流体静力学
所以表面abcd的总压力为:( p
p dx )dxdy x 2
同理面aˊbˊcˊd ˊ的总压
p dx 力为: (p )dydz x 2
z
微团在X轴方向的表面
力和为:
(p p dx p dx )dydz ( p )dydz x 2 x 2
p
p dx x 2
位质量流体受到的质量力在水平面x轴和y轴的投影为零, 铅直方向z轴的投影为重力加速度g,根据
则有
dp g dz
dp ( f x dx f y dy f z dz)
积分得
p zc g
液体静止的基本方程
式中:g在本书中取值9.807m/s2;
z为测压处相对于边界条件(基准面)的高差。 c为常数,大小由边界条件确定。
若一个函数W(x,y,z)使质量力的投影等于这个函数的偏
导数,即
W fx x
fy
W y
fz
W z
则称函数W(x,y,z)为质量力势函数。 一个存在质量力势函数的力场,称为有势力场,相应的
质量力称为有势质量力,简称有势力。
等压面性质: • 等压面就是等势面; • 等压面与质量力垂直; •两种互不掺混液体的分界面也是等压面。
等压面:在静止流体内,由静压力相等的各点组成的面
自由面:静止液体和气体接触的面
水平面既是等压面也是自由面
液体静压强分布规律只适用静止、同种、连续液体
同一容器或同一连通器盛有多种不同密度的液体时,关键是找到等 压面
§2-4
液体的相对静止
辩证唯物主义:
①运动是普遍的、永恒的和无条件的,因而是绝
流体力学第二章流体静力学
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律,由平衡条 件求静压强分布规律,并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念,指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动,意味着粘性将 不起作用,所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的 静止流体区域中 任何一点的压强 都不知道,也可 利用流体的平衡 规律,知道其中 任何二点的压 差,这就是比压 计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面,自由表面上压强为大气压,则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ,所以在
液体指定以后,高度也可度量压强,称 为 液 柱 高 , 例 如 : ××m(H2O) , ××mm(Hg) 等。特别地,将水柱高称 为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大 小,等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2.静水总压力的方向垂直并指 向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理,对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得:
X 1 p 0
x
Y,z方向可得:
Y Z
1
1
p y p
0
流体力学-第二章 流体静力学
点2处: pe2 pe1 3 gh1
点3处: pe3 pe2 2 gh2
点4处: pe4 pe3 3gh3
peB pe4 pe3 3 gh3
第二章 流体静力学
§1 流体静压强及其特性 §2 流体平衡微分方程式 §3 静止流场中的质量力条件 §4 压强的度量单位和表示方式 §5 流体的相对平衡 §6 静止流体作用于平面壁上的合力 §7 静止流体作用于曲面壁上的合力
强(真空度)表示: pv pa p
p22水银气压计测量大气压
§4 压强的度量单位和表示方式
二、液柱式测压计
1)测压管 (单管式测压计)
表压强测量(左图): pm gh
优点:简单、准确 缺点:(1)只能测液体,不能测气体;
(2)PA>Pa; (3)PA要相对较小。
真空度测量(右图): pv gh
3) 流体平衡微分方程在推导时对质量力和流体密度没有限制,故该组方程适用 于不可压缩和可压缩流体的静止和相对静止状态,也适用于粘性流体和无粘 性流体,它是流体静力学最基本的方程组。
第二章 流体静力学
§1 流体静压强及其特性 §2 流体平衡微分方程式 §3 重力场中静止流体内的压强分布 §4 压强的度量单位和表示方式 §5 流体的相对平衡 §6 静止流体作用于平面壁上的合力 §7 静止流体作用于曲面壁上的合力
§6 静止流体作用于平面壁上的合力(1)
一、作用在水平平面上的液体总压力
p pa gh
Fp prA ghA
仅由液体产生的作用在水平平面上的总压力只与液体的密度、平面面积
和液深有关。即在相同液体、液深和相同的自由液面上的大气压强下,
液体作用在底面积相同的水平平面上的总压力必然相等,而与容器的形
流体力学(流体静力学)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
按泰勒级数展开,把M、N点旳静压强写成
p 1
1 p
pM
p [(x dx) x] x 2
p 2
dx x
p 1
1 p
pN
p
[(x x
dx) x] 2
p
2
dx x
其中 p 为压力在x方向旳变化率。因为微元体旳面积取得足够小,
p1 p2
证明:从静止状态旳流体中引入直角坐标系中二维流体微元来
阐明。
设 y 方向宽度为1。ds 即表达任意方向微元表面。
分析 z 方向旳力平衡
表面力:
p1dscosθ=p1dx和p2dx两个力 二维流体微元旳体积:
z
dV 1 dxdz 2
质量力:
p1ds
ds dz x
θ dx
p3dz
y
Fz
1 2
dp =ρ1dU dp =ρ2dU 因为ρ1≠ρ2 且都不等于零,所以只有当dp和dU均为零时方程 式才干成立。所以其分界面必为等压面或等势面。
§2-4 流体静力学基本方程
重力作用下压力分布 相对平衡液体旳压力分布
§2—4 流体静力学基本方程
一、重力作用下压强分布
如图所示为一开口容器,其中盛有密度为ρ旳静止旳均匀液体 ,液体所受旳质量力只有重力,又ρ=常数,重度γ=ρg也为常数。 单位质量力在各坐标轴上旳分量为
(1)
Z 1 p 0
z
上式称为流体平衡微分方程式,它是 Euler在1755年首先提出 旳,故又称欧拉平衡方程式。它表达流体在质量力和表面力作用下 旳平衡条件。
流体力学-第二章
二、解析法 求解作用在任意平面上的液体总压力
二、解析法 求解作用在任意平面上的液体总压力 作用在dA面积上的液体总压力为 作用在 面积上的液体总压力为 作用在整个受压平面面积为A上的液体总压力为 作用在整个受压平面面积为 上的液体总压力为
作用在任意形状平面上的液体总压力大小, 作用在任意形状平面上的液体总压力大小,等于该平面的淹没 面积与其形心处静压强的乘积, 面积与其形心处静压强的乘积,而形心处的静压强就是整个受 压平面上的平均压强。 压平面上的平均压强。 总压力的方向垂直于平面,并指向平面。 总压力的方向垂直于平面,并指向平面。
ω
旋转
等压面方程
自由表面方程
第五节 一、图解法
作用在平面上的液体总压力来自液体总压力的方向垂直于矩形平面,并指向平面, 液体总压力的方向垂直于矩形平面,并指向平面,液体总压力的 作用线通过静压强分布图体积的重心。 作用线通过静压强分布图体积的重心。液体总压力作用线与矩形 平面相交的作用点D称为压力中心 称为压力中心。 平面相交的作用点 称为压力中心。
三、流体静力学基本方程的物理意义和几何意义 1. 流体静力学基本方程的物理意义
Z:单位重量流体从某一基准面算起所 : 具有的位能,因为是对单位重量而言, 具有的位能,因为是对单位重量而言, 所以称单位位能。 所以称单位位能。
:单位重量流体所具有的压能,称 单位重量流体所具有的压能, 单位压能。 单位压能。
等压面方程
三、等压面 帕斯卡定 律 等压面方程 当流体质点沿等压面移动距离ds时 质量力所作的微功为零。 当流体质点沿等压面移动距离ds时,质量力所作的微功为零。 ds 因为质量力和位移ds都不为零,所以等压面和质量力正交。 ds都不为零 因为质量力和位移ds都不为零,所以等压面和质量力正交。 这是等压面的一个重要特性。 这是等压面的一个重要特性。
流体力学-流体静力学
密度 ρ
单位质量力的投影
fx 、fy、 fz
力在x方向的平衡方程为:
px
1 yz
2
pn
ABCD
cos pn ,
x
fx
1 xyz
6
0
px
1 yz
2
pn
ABCD
cospn, x
fx
1 xyz
6
0
由于
ABCD
cos pn ,
x
1 2
yz
px
pn
fx
特例二
边界条件 z 0 r R 时
得
C
pa
2R2
2
p pa
p
pa
g
2
R2 r2 2g
z
等角速旋转容器中液体的相对平衡
2.5静止液体作用在固体壁面上的总压力
意义:油箱、油罐及各种压力容器的设计等。往往以计示压强进行计算。
一、液体作用在平面上的总压力(大小、方向) 研究对象:如图
微元总压力 dFP ghdA gy sindA
求: H ?
已知:d1 45cm, d2 30cm, F1 3197N, F2 4945.5N,
13600kg / m3, pe 9810pa.
求: h ?
2.4 液体的相对平衡
1.水平直线等加速运动容器中液体的相对平衡
静压强的分布规律 f x 0 f y a f z g
代入压强差公式 dp ady gdz
fx
x
fy
y
f grad
f z z
代入:
d
p
f xdx
f y dy
流体力学第02章流体静力学
于质量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或
一个水平面穿过了两种不同介质,位于同一水平面上的
各点压强并不相等。
二 气体压强的分布(不讲) (不讲就不考)
三 压强的度量--绝对压强与相对压强
1、 绝对压强
设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压 强,称为绝对压强。总是正的。
2、 相对压强
解:相对静水压强:
p pabs pa p0 gh pa
代入已知值后可算得
h ( p p0 pa ) (9.8 85 98) / 9.8 2.33m
g
例: 如图,一封闭水箱,其自由面上气体压强为
25kN/m2,试问水箱中 A、B两点的静水压强何处为大?
已知h1为5m,h2为2m。 解:A、B两点的绝对静水
因水箱和测压管内是互相连通的同种液体故和水箱自由表面同高程的测压管内n点应与自由表面位于同一等压面上其压强应等于自由表面上的大气压强即ghgh11测压管测压管若欲测容器中若欲测容器中aa点的液体压强点的液体压强可在容器上设置一开口细管可在容器上设置一开口细管
第二章 流体静力学
流体静力学的任务:是研究液体平衡的规律及其
p
g
p0
g
得出静止液体中任意点的静水压强计算公式:
p p0 gh
式中
h z0 z :表示该点在自由面以下的淹没
深度。
p0 :自由面上的气体压强。
静止液体内任意点的静水压强有两部分组
成:一部分是自由面上的气体压强P0,另一部分 相当于单位面积上高度为h的水柱重量。
(a)
(b)
(c)
淹没深度相同的各点静水压强相等,只适用
pA gLsin
当被测点压强很大时:所需测压管很长,这时可以改 用U形水银测压计。
第二章 流体静力学
压强的国际制单位是N/m2或Pa;工程单位tf/m2是或kgf/cm2。
第二章 流体静力学
第一节 流体流体静压强及其特性
二 流体静压强的特性
p
p1
z B C Px
dy
dz dx
τ
A
Py Pn x
y
压强方向的假设
Pz
压强大小计算
1 Px p x dydz 2 1 Py p y dzdx 2 1 Pz p z dxdy 2
3
3
a图:
p1 p A hm ( y a)
p2 pB y
p1 p2
b图:
p A pB (hm a)
p1 p A A (Z1 hm ) p2 p3 `hm p3 pB B Z 2 p A A (Z1 hm ) pB B Z 2 `hm p A pB ( ` )hm
a 2
1 g h2 h1 ga
816kg / m 3 h
1 h1 2.5m
第五节 作用于平面的液体压力
一 解析法
hD hC h P b y
pa o
dP α a dA C D y yC yD
x
①受压面静水压力
dP pdA hdA
p dP pdA hdA sin ydA
p5 p4 (h5 h4 ) p4 p3 `( h3 h4 )
p3 p2 `( h1 h2 )
p5 `(h1 h2 h3 h4 ) (h5 h4 )
第四节 液柱测压计
【例】试求图中同高程的两条输水管道的压强差pA-pB,已知液面高 程读数z1=18mm,z2=62mm,z3=32mm,z4=53mm,酒精密度 ρ1=800kg/m3,水银密度ρ2=13600kg/m3 。 【解】 p1 p A gh p2 2 g z2 z1
第二章流体静力学流体力学
Pn Pn
cos(n, cos(n,
x) y)
Fx Fy
0 0
(2—2)
Pz
Pn
cos(n,
z)
Fz
0
x方向受力分析:表面力:
Px
px
1 dydz 2
Pn
cos(n, x)
pn
1 dydz 2
(2—3)
n为斜面ABC的法线方向质量力: Fx X dxdydz / 6 (2-4)
对压强的负值时,如(图2—10)。
真空值 p pa pabs ( pabs pa )
h 真空高度 v
pv
pa pabs
( pabs pa ) (2—20)
(2—18)
pabs hv pa
图2—10真空高度
hv
pa
pabs
g
pv
g
(2—19)
(二)压强的单位及其换算
1.国际单位制:国际单位制中压强的单位主要有pa(或 atm)、Pa(或N/m2)、Kpa(或kN/m2)、Mpa等。
(
, , p p p
x y z
)等于该方向上单位体积内的质量力的分
量 ( X 、Y 、Z )。
二、平衡微分方程的全微分式
为对式(2—9)进行积分,将各分式分别乘以 dx、dy 、dz
然后相加,得(2-10)
p dx p dy p dz (Xdx Ydy Zdz)
x y z
压强p p(x, y, z)是坐标的连续函数,由全微分定理,
体的交界面等。
第三节 重力场中流体静压强的分布规律
一、液体静力学的基本方程 1.基本方程的两种表达式 在同一种均质的静止液体中,
任意点的静压强,与其淹没深度 成正比,与液体的重度成正比, 且任一点的静压强的变化,将等 值地传递到液体的其它各点
流体力学 第2章 流体静力学
流体平衡微分方程式
在静止流体中取一边长分别为x、y、z的微小立方体,中心点为a (x,y,z),该点的密度为,静压强为p。
y
p p x x 2 p x x 2
p
y
b
a x
fx c z x
z
作用在立方体上的力在x方向的平衡方程为:
p x p x p y z p y z f x x y z 0 x 2 x 2
pa
p pa 2 gh2 1 gh1
pv pa p 2 gh2 1gh1
p
1
1 2
h1 h2
2
§2.3
U形管压差计
重力场中流体的平衡
A
B h2 h1 1
1
1
h
2
由于1、2两点在同一等 压面上,故有:
pA 1 gh1 pB 1 gh2 2 gh
计示压强(相对压强)
真空 当流体的绝对压强低于大气压强时,该区域处于真空。 真空度 计示压强为负值时,负计示压强用真空度表示,即: pv=- pe= pa-p p p>pa pe pa p pv p<pa p p=0
§2.3
6. 液柱式测压计 测压管
重力场中流体的平衡
测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细现象所 造成的误差,采用一根内径为10mm左右的直玻璃管。测量时, 将测压管的下端与装有液体的容器连接,上端开口与大气相 通。
积分上式得:
p ay gz C
根据边界条件:x=0,y=0,z=0时p=p0,代入上式得积分常数C=p0,故有:
p p0 ay gz
水平等加速直线运动容器 中液体静压强的分布规律
流体力学 第2章 流体静力学
结论: ★ 1)仅在重力作用下,静止流体中某一点 的静水压强随深度按线性规律增加。 ★ 2)仅在重力作用下,静止流体中某一点 的静水压强等于表面压强加上流体的容重与 该点淹没深度的乘积。 ★ 3)自由表面下深度h相等的各点压强均 相等——只有重力作用下的同一连续连通的 静止流体的等压面是水平面。 ★ 4)推广:已知某点的压强和两点间的深 度差,即可求另外一点的压强值。
则作用在微元四面体上的总质量力为: 1 F d x d yd z f 6 它在三个坐标轴上的分量为:
1 Fx dxdydzf x 6
1 Fy dxdydzf y 6
1 Fz dxdydzf z 6
则作用在微元四面体上的总质量力为:
1 F d x d yd z f 6
——将上式积分,可得流体静压强分布规律
1、意义
质量力作用的方向就是压强增加的方向。 例如,静止液体,压强递增的方向就是重力作用 的铅直向下的方向。
2、变形式
即
二、等压面及其特性
pc
则有
即
dp 0
Pascal Law (连通器原理)
方法:对质量连续的静止流体,等压面为等高面;不同流体交界 面为等压面,从一个方向顺推。
z0 p0
p2 p0 ( z0 z2 )
z1
p1
z2
p2
z
p
C
表示在同一静止液体中, 不论哪一点 z p 总是一个常数。
位置水头, 计算点的 位置高度。
压强水头, 测压管液 面相当于 计算点的 高度,即 压强高度。
测压管水头, 测压管液面 相当于基准 面的高度。
流体力学第二章流体静力学.
第二章流体静力学流体静力学研究流体在静止状态下的力学规律。
由于静止状态下,流体只存在压应力,简称压强,因此,流体静力学这一章以压强为中心,阐述静压强的特性,静压强的分布规律,以及作用面上总压力的计算。
1静止流体中应力的特性2流体平衡微分方程3重力场中流体静压强的分布规律4流体的相对平衡5液体作用在平面上的总压力6液体作用在曲面上的总压特性一:应力的方向沿作用面的内法线方 向。
特性二:静压强的大小与作用面方位无关。
1 •欧拉方程2.全微分方程自然界常见的质量力是重力,因此,在 流体平衡一般规律的基础上,研究重力作用下流-丄空=()p dx丄丝=0 p Z -丄空二 P dz体静压强的分布规律,更有实用意义。
等压而:压强相等的空间点构成的而性质:Ho基本方程:1卩=Po + pghpg气体压强的分布1・对流层、50256zp = 101 .3 1 --- - KPaI 44300 丿2.同温层<11000 一p = 22 .6 exp ----------6334 丿压强的度量1・绝对压强和相对压强绝对压强以无气体分子存在的完全真空为基准起算的压强。
相对压强是以当地大气压为基准起算的压强。
P = Pabs一P2 •真空度当绝对压强小于当地大气压,相对压强便是负值,又称负压,这种状态用真空度来度量。
[例2・1]立置在水池中的密封罩(如图2・6)所示,求罩内A、B、C三点的压强。
1・测压管高度、测压管水头Z 称为位置高度或位置水头。
称为测压管高度或压强水头。
"嬴称为测压管水头。
2 •真空高度pg[例2・2]密闭容器(图2-9),侧壁上方装有U形管水银测压计,读值hP=20cm。
试求安装在水面下3.5m处的压力表读值。
[例2・3]用U形管水银压差计测量水管A、B 两点的压强差(图2-10) o已知两测点的高差△ z=0.4m,压差计的读值hP = 0.2 m o 试求A、B两点的压强差和测压管水头差。
流体力学第二章
对于液面与上边线平齐的矩形平面而言,压力中心坐标为
yD
=yC
+ JC = yCA
l+ bl3/12 = 2 (l/2)bl
2 3l
根据合力矩定理,对 o点取矩可得
Pl=P1
l1 3
-P2
l2 3
=P13sHin1α-P23sHin2α
代入已知数据可解得 l=2.54m
这就是作用在闸门上的总压力的作用点距闸门下端的距离。
— 5—
蔡增基《流体力学》考点精讲及复习思路
解 作用在闸门上的总压力为左右两边液体总压力之差,即 P =P1 -P2。 因为 hC1 =H1/2,A1 =bH1/sinα, hC2 =H2/2,A2 =bl2 =bH2/sinα, 所以 P =ρghC1A1 -ρghC2A2
=ρgH21bsHin1α-ρgH22bsHin2α =97030N。
槡P2x +P2y +P2z
总压力的大小为:P =Pxi+Pyj+Pzk (2)压力体 压力体是由受力曲面、液体自由表面(或其延长面)以及两者间
∫ 的铅垂面所围成的封闭体积。压力体是从积分 AhdAz得到的一个体
积,是一个纯数学的概念,与体积内有无液体无关。
— 6—
实压力体 如果压力体与形成压力的液体在曲面的同侧,则称这样的压力体为实压力体,用(+)来表示,其 方向垂直向下。 虚压力体 如果压力体与形成压力的液体在曲面的异侧,则称这样的压力体为虚压力体,用(-)来表示,其 方向垂直向上。 需要注意的是:以上的两个压力体给人的感觉是实压力体就是内部充满液体的压力体,虚压力体 就是内部没有液体的压力体。其实压力体的虚实与其内部是否充满液体无关 压力体的合成
0.075m处,试求该正方形平板的上缘在液面下的深度。
流体力学与流体机械 第2版 第二章 流体静力学
第一节 流体静压强及其特性
静压强实例: ① 水淹到人体胸部时,呼吸困难;② 水箱下部开孔,水就流出;③高 山上大气压低,平地上大气压高。 静压强:当流体在平衡状态下,没有切应力,只有法向应力,法向应力 与作用面相垂直,另外,流体只能承受压力而不能抵抗拉力。在流体力学 中,把这个压应力称为静压强。
三、等压面 1. 等压面:流场中压强相等的点组成的平面或曲面。
pC dp 0
dp ( f xdx f y dy f z dz)
f xdx
f
y
dy
f z dz
0
f dr 0
等压面的微分方程
11
2. 等压面的性质
① 等压面就是等势面
② 等压面与质量力垂直
证:在等压面上任取一微元段 dr
dp dU
例:求重力场中只受重力的平衡流体 的质量力势函数。
f z g dU U dx U dy U dz
x
y
z
gz
U gz C
10
势函数U的物理意义 mgz代表质量为的物体在基准面上高度为z时的位置势能,质量力势函数
U=gz的物理意义是单位质量物体在基准面上高度为时所具有的势能。
( f xdx
f ydy
f z dz)
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dp
p x
dx
p y
dy
p z
dz
欧拉平衡方程式的综合表达式或者压强差公式
dp fxdx f ydy fzdz
二、质量力的势函数
dp fxdx f ydy fzdz
dU f xdx f ydy f zdz
dp dp
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1 Py p y dxdz 2
1 P p dA Pz pz dydx 2 Y 设 X 、 、Z 分别为沿三个坐标轴方向上的单位
质量力,则沿三个方向上的质量力分别为:
1 1 1 Fx X dxdydz Fy Y dxdydz Fz Z dxdydz 6 6 6
Fx 0, p x
其中
1 dA cos(n, x) dydz 2 1 dA cos(n, y ) dzdx 2 1 dA cos(n, z ) dydx 2
px p y pz p
结论
由于斜平面ABC的方位是任意的,上式即证明 了在同一点处各个方向上的静压强值是相等 的。
pn
静压强
p
α
pt
图2-2
切向压强
假 设: 在静止流体中,流体静压强方向不与作用面 相垂直,与作用面的切线方向成α角 则存在
切向压强pt
法向压强pn
流体流动
与假设静止流体相矛盾
A
B
C
D
E
F
(2)静压强的各向等值性:静止流体内任意一点处 沿各个方向上的静压强大小相等,即
px p y pz p
dA
dAz
dAx
b
z
dA
微小面积上的微压力
dP ghdA
水平总压力
分解
dPx dp cos ghdA cos
dPz dp sin ghdA sin
Px dPx ghdA cos g hdAx ghC Ax
2 2
y
o
A g
x
p ( (
2 x2
2
2 y2
2
gz ) C
o x
y
x
y r A
y
2
x
2
2r 2
2
gz ) C
r
2
1.等压面方程
2 x2
2
2.压强分布
2 y2
2
gz C
旋转抛物面方程
p p0 g (
2r 2
2g
z0 z ) p0 gh 液深 h (
计示压强 真空
大气压强 p pa
绝对压强
p pa
绝对压强
完全真空p=0
p p0 p m
pm p p0
pv p0 p
六、压强的量测
液柱式测压计 U型管测压计 U型管测压差计 倾斜微压计
A ρ
h
p0 h1
A
h
hp
1
p
hp
2
p
§2-4液体的相对平衡
一、液体随容器作等加速直线运动
压力体
V p Aabcd b
压力体的种类:
P 实压力体:液体与压力体位于曲面的同一侧,Z 方向铅直 向下,通常用正体积表示。 P 虚压力体:液体与压力体位于曲面的两侧, Z 方向铅直
向上,通常用负体积表示。
2 I xC y C A I xC yD yC yC A yC A
合力矩定 理
同理
x D xC
I xyC yC A
式中 I xyC 为对自身形心轴的惯性积,在实际工程中,受压面 通常是轴对称平面 ,通常等于零 。
压力作用中心D一定位于平面形心点C以下
例一垂直放置的圆形平板闸门如图所示,已知闸门半径 R=1m,形心在水下的淹没深度hc=8m,试用解析法计算作 用于闸门上的静水总压力。
A
完全真空
A 静水头线
p2 / g
p1 / g
p0
p2
2
图2-7
p1
1
z2
基准面
z1
在重力作用下静止流体中各点的静水头都是相等的 静水头线是水平直线
四、 静力学基本方程的另一种形式
在静止液体中任取两点l和2 点1和点2压强各为p1和p2, 位置坐标各为z1和z2 P1
P0
P2 2 Z2
p z c g
2
2g
r 2 z)
3.自由液面方程
2r 2
2
g ( z0 z) 0
4.液面抛物面高度
H
R
2
2 0
2g
§2-5静水总压力计算
工程背景
双曲拱坝
贮油罐
一、液体对平面面壁的作用力
建立如图示坐标系 平面ab内一点A处的静压强为
p p0 gy sin
1.总压力计算
另一表达式
1
Z1
p1 p2 z1 z2 rg rg
图2-8
Z
根据
p1 p2 z1 z2 g g
A点与自由液面之间有
p0
A
p
h
z0
z O
p0 p z z0 g g
图2-9 静止流体 中任意点 的液深
h=z0-z
p p0 gh
五、压强的计量单位和表示方法
化简得:
1 p X dx 0 x 1 p Y dy 0 y 1 p Z dz 0 z
流体平衡微分方程式
欧拉平衡微分方程式
压差公式
dp ( Xdx Ydy Zdz)
等压面方程
Xdx Ydy Zdz 0
z C
重力等压面方程
这表明,对于重力流体等压面是水平面;同一容器中装有两 种互不相溶流体时,其分界面也必为等压面。
1.计量单位: 第一种单位是从压强的基本定义出发,用单位面积上的力 出发,其单位为 Pa 。 第二种用大气压来表示,国际上规定一个标准大气压相当 于 760 mm 水银柱,即
1atm=760mmHg=1.013 10 Pa
5
第三种单位用工程大气压表示,即
1at=736mmHg=9.8 10 Pa
表面力 Ⅰ P A Ⅱ 静压强 图2-1 Ⅱ P
设截面面积为 A ,则Ⅰ对Ⅱ的平均静压强为
P p A
若在截面上任一点截取一微小面积 A ,作用在 上的作用力为 P ,则
P p A
若 A 趋向于无穷小,则表示该点两个特性
(1)静压强的垂向性:流体静压强的方向总是 垂直于作用面并指向作用面内,即沿作用面的内法 线方向。
证明如下
在静止的流体内 部取一个微四面体 OABC形状的流体,建 立如图2-3所示坐标 系。
py
z
A
px
dz O dx
B
dy
pn
C
pz
y
x
图2-3
由于流体处于平衡状态,故作用在其上的一切力 在任意轴上投影的总和等于零。 Fx 0 F 0 Fz 0
y
四个平面上受到的静水总压力分别为:
建立如图所示动坐标系
X a, Y 0, Z g
pa x o a y
dp (adx gdz)
p (ax gz ) C
1.压强分布
C p0
液深
p p0 (ax gz ) p0 gh
a h xz g
2.等压面方程
由平衡条件易知
1 1 dydz pdAcos(n, x) X dxdydz 0 2 6 1 1 Fy 0, p y 2 dzdx pdAcos(n, y) Y 6 dxdydz 0 1 1 Fz 0, pz 2 dydx pdA cos(n, z) Z 6 dxdydz 0
因为流体是连续介质,不同的点上流体静压强大小 一般不相等,故各点的静压强是空间坐标位置的单值函 数,即:
p f ( x, y, z )
其全微分为
p p p dp dx dy dz x y z
§2-2流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程
在静止的流体中取一微六面体,如图2-4所示。取六面 体内中心点C点,设C点的静压强为 p ,过C点作轴的平行线 交左右侧面分别为A、B点,将静压强按泰勒级数展开,并略 去高阶微量,则
O
解: (1)静水总压力
FP pc A ghc R 246kN
2
hD FP
hc
(2)压力作用点
R4
IC hD hC hC 4 8.03m hC A hC A
L
二、液体对曲面面壁的作用力
1.总压力计算
O
hC
c
Az
d
x
h
Ax
a
dP
dP
dPx
dPz
C
表示单位重量流体所具有的总势能,简称总能。
在重力作用下,静止流体中各点的单位重量流体的总 势能是相等的。
三、流体静力学基本方程的几何意义
单位重量流体具有的能量用液柱高度来表示称为水头。 表示该点到基准面的高度,称为位置水头,简称位水 头;
z
p / g
称为压强水头 ,简称压水头;
C
称为总水头 。
A
A
ydA S x yC A
P dP ( p0 gy sin )dA ( p0 ghC ) A
A
通常取大气压 p0 0 ,故
P ghC A pC A
2.压力中心
hC 平面形心点的淹没深度
A
PyD ydP g sin y 2 dA g sin I x
A A Ax
Ax 整个曲面在铅垂方向上的投影面积
hC 投影面积的形心淹没深度
铅垂总压力
Pz dPz ghdA sin g hdAz gVp