3-1一维单原子链振动
合集下载
3.1 一维单原子链
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 第n个原子离开 平衡位置的位移 第n个原子和第n＋1 个原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移
后，相互作用势能
a
a
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件 —— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个 原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 4 sin 2 ( aq )
m
2
格波的波速
—— 波长的函数
—— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
格波的意义
连续介质波
波数 q 2
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
n Aei(tnaq) —— 简谐近似下，格波是简谐平面波
§3.1 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第三章 晶格的振动
i [ q ( 2 n2 ) at ]Be it Ae it
原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做整体运动。
长声学波代表原胞质心的振动。
2）光频支 2 2 cos qaA ( 2 M ) B 0 两种原子的振幅比：
2 A 2 M2 ( )2 B 2 cos qa
玻恩—卡门边界条件： 晶格振动的波矢数等于晶体的原胞数。 晶格振动的频率数等于晶体的自由度数
（振动模式数）
2. 一维单原子链的波矢数
N M x N 1 x1 i q ( N 1) a t i qa t Ae Ae i qna t x Ae n ei qNa 1 Nqa 2l 2l q Na
光学波代表原胞中两个原子的相对运动。
三、玻恩—卡门边界条件 1. 玻恩—卡门假设和主要结果 a. 由N个原子构成的原子链为无限长的原子 链上的一段，这里N=mM m—每个原胞的原子数，M—原胞数。 b. 把这N个原子组成的一维原子链看成一个 闭合环，它包含有限数目的原子，但实际 上第N+1个原子就是第1个原子。 只要N足够大，圆环半径远远大于晶格常数就 局部看仍认为原子排列在一条直线上从而 得出结论。
0
U 1 2U 2 U ( x0 ) U ( x0 ) ( ) x0 x x0 ( 2 ) x0 x x0 ... x 2 x U 1 2U U ( x0 ) ( ) x0 ( 2 ) x0 2 ... x 2 x
2
mM
{(m M ) [m 2 M 2 2m M cos(2qa)] }
1 2
2. 振动方程及其试探解 类似于一维单原子链的讨论
3.1一维晶格振动
时，它实际代表2N个方程的联立方程组。具有下面的格波解： i t 2 na q
2 n Ae
2 n1 Bei[t ( 2 n1) aq]
2.色散关系
把上面两个解带入下列方程组：
m 2 n ( 2 n 1 2 n 1 2 2 n ) M 2 n 1 ( 2 n 2 n 2 2 2 n 1 )
..
2n n1 n1 n1 n1 2n
每个原子对应一个方程，若原子链有N个原子，则有N个方
程，上式实际上代表着N个联立的线性齐次方程。
下面将验证方程具有格波形式的解。给出试探解：
nq Aei (t naq )
其中ω，A为常数。
π π q a a
n n N
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解 (1) 模型:一维无限长原子链，可以看作是最简单的复式 晶格：每个原胞含有两个不同的原子P、Q，质量为m和M，且 m<M。相邻原子间距均为a，(晶格常量为2a )恢复力系数为。 2n-2 2n-1 2n P 2n+1 2n+2
第n-2个原子
第n-1个原子
第n个原子
第n+1个原子
第n+2个原子
a
μn-2
μn-1
μn
μn+1
μn+2
用…μn-1、 μn、 μn+1 …分别表示序号为… n-1、 n、 n+1 …原 子在t时刻偏离平衡位置的位移。 (2)振动方程和解 假设只有近邻原子间存在相互作用，r=a+δ。其中δ表示 对平衡位置a的偏离。 u（r）为原子间的互作用势能。
2 n Ae
2 n1 Bei[t ( 2 n1) aq]
2.色散关系
把上面两个解带入下列方程组：
m 2 n ( 2 n 1 2 n 1 2 2 n ) M 2 n 1 ( 2 n 2 n 2 2 2 n 1 )
..
2n n1 n1 n1 n1 2n
每个原子对应一个方程，若原子链有N个原子，则有N个方
程，上式实际上代表着N个联立的线性齐次方程。
下面将验证方程具有格波形式的解。给出试探解：
nq Aei (t naq )
其中ω，A为常数。
π π q a a
n n N
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
3.1.2 一维双原子链(复式格)的振动
1. 运动方程和解 (1) 模型:一维无限长原子链，可以看作是最简单的复式 晶格：每个原胞含有两个不同的原子P、Q，质量为m和M，且 m<M。相邻原子间距均为a，(晶格常量为2a )恢复力系数为。 2n-2 2n-1 2n P 2n+1 2n+2
第n-2个原子
第n-1个原子
第n个原子
第n+1个原子
第n+2个原子
a
μn-2
μn-1
μn
μn+1
μn+2
用…μn-1、 μn、 μn+1 …分别表示序号为… n-1、 n、 n+1 …原 子在t时刻偏离平衡位置的位移。 (2)振动方程和解 假设只有近邻原子间存在相互作用，r=a+δ。其中δ表示 对平衡位置a的偏离。 u（r）为原子间的互作用势能。
一维单原子链晶格振动解析步骤
一维单原子链晶格振动解析步骤一维单原子链模型是固体物理中的经典模型之一，用于描述晶体中原子的振动行为。
在这个模型中，原子由质量为m的核和劲度系数为K的弹性相互作用构成。
通过对一维单原子链的晶格振动进行分析，可以更好地理解固体中的声子模式和声子色散关系。
下面将介绍一维单原子链晶格振动解析步骤：第一步：建立模型首先，我们要建立一维单原子链的模型。
假设晶格常数为a，原子间距为a/2，一维晶格中的每个原子都沿着x轴定位。
原子间的相互作用由弹簧模型描述，即相邻原子间的相互作用劲度系数为K。
这个模型是一个简单的原子链模型，可以通过它来研究晶格振动的基本性质。
第二步：求解运动方程接下来，我们需要求解原子在这个一维单原子链中的运动方程。
假设第n个原子的位移为Un(t)，那么根据牛顿第二定律，可以得出该原子的运动方程为：m*Un’’(t) = -K*(Un(t+0) - 2*Un(t) + Un(t-0))上式中，Un’’(t)表示Un对时间的二阶导数，-K*(Un(t+0) -2*Un(t) + Un(t-0))表示受到的弹性相互作用力。
第三步：假设解的形式由于原子在一维单原子链中的振动属于谐振动问题，我们可以假设原子的位移满足解的形式为：Un(t) = An*exp(i*(k*n*a - ω*t))其中，An是振幅，k是波数，ω是角频率，n是原子的编号。
将这个解代入到运动方程中，可以得到关于角频率ω和波数k的关系式，即声子色散关系。
声子色散关系描述了声子的能量随波数变化的关系，是描述晶体中声子性质的重要工具。
第四步：得到声子色散关系将解的形式代入运动方程，我们可以得到关于角频率ω和波数k的关系式。
具体地，我们可以得到一维单原子链中的声子色散关系为：ω(k) = 2*sqrt(K/m)*|sin(ka/2)|声子色散关系描述了一维单原子链中的声子能量随波数变化的规律。
从这个关系式可以看出，一维单原子链中的声子有声学支和光学支两种振动模式，它们的能量随波数的变化方式不同。
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
固体物理学第三章
非简谐项：
3 1 !(d d 3 U 3)r a 3 ..... .n 1 !.(d d .n U .n)r .a.n
简谐近似—— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。
U (r) U (a ) (d)U 1(d 2 U ) 2 da r 2 !d2ra U(r)U(a)1 2(dd2U 2r)a2
此处N=5,代入上式即得：
ei(5a)q 1 5aqn2（n为整数）
由于格波波矢取值范围：
q
a
a
则：5n5
22
故n可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：4,2,0,2,4
5a 5a 5a 5a
由于，2 sinqa
m2
代入，β，m及q值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
f du(d2u) d 2u 为恢复力常数
dr d2r
dr 2
周期边界条件
N 2 a l q l 为 整 N /2 h N 数 /2 且
3.1 一维单原子链的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
设原子链为一维，则：原子间距为a; 第n个原子的平衡位置为rn=na 第n个原子离开平衡位置的位移为xn
格波的应用：
晶体的弹性力常数β约为15N/m，若一个原 子的质量为6×10-27Kg，则晶格振动的最大圆频 率为ωm=1014弧度/秒，最大频率γm约为1013Hz即 10THz。THz波段在微波与红外光之间。
不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征， 可以作为这个材料的 “指纹”，THz谱技术作为 一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可 以鉴别和探测材料。
3.1.2 格波频率与波矢关系——色散关系
3 1 !(d d 3 U 3)r a 3 ..... .n 1 !.(d d .n U .n)r .a.n
简谐近似—— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。
U (r) U (a ) (d)U 1(d 2 U ) 2 da r 2 !d2ra U(r)U(a)1 2(dd2U 2r)a2
此处N=5,代入上式即得：
ei(5a)q 1 5aqn2（n为整数）
由于格波波矢取值范围：
q
a
a
则：5n5
22
故n可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：4,2,0,2,4
5a 5a 5a 5a
由于，2 sinqa
m2
代入，β，m及q值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
f du(d2u) d 2u 为恢复力常数
dr d2r
dr 2
周期边界条件
N 2 a l q l 为 整 N /2 h N 数 /2 且
3.1 一维单原子链的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
设原子链为一维，则：原子间距为a; 第n个原子的平衡位置为rn=na 第n个原子离开平衡位置的位移为xn
格波的应用：
晶体的弹性力常数β约为15N/m，若一个原 子的质量为6×10-27Kg，则晶格振动的最大圆频 率为ωm=1014弧度/秒，最大频率γm约为1013Hz即 10THz。THz波段在微波与红外光之间。
不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征， 可以作为这个材料的 “指纹”，THz谱技术作为 一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可 以鉴别和探测材料。
3.1.2 格波频率与波矢关系——色散关系
固体物理第7课晶格振动一维单原子链_OK
m
d 2xn dt2
(xn1
xn1 2xn )
xn Aei(tqna)
将xn代入上式若发现如果有下式成立
m 2 2 1 cos(qa) 4 sin 2 qa
2
(q) 2 sin qa 则满足振动方程
m 2 ω 和q的这种关系称为色散关系或色散曲线.
当
q
2
a
l： (q)min
0
：物质的线密度
16
短波
当q值较大时，即对于短波来说，晶体间隔相对于波长已 不具有连续性，晶体已不能作为连续介质来处理，则ω 是q的正弦函数．周期为２π/a。
17
3.1.4 周期性边界条件
波恩－卡门 周期性边界 条件
x1 xN 1 Aei(tqa) Aei[tq( N 1)a] eiqNa 1
波长不同，但是位移情况相同，即振动模式是相同的，
15
长波近似
(q) 2 sin qa
m 2
当q 0，即 时：
(q) q a (q) a 常数 即波速u 常数
m
q
m
此时波长比原子间隔大很多,此时格波可看成是在连续 介质中传播的弹性波
固体中纵波的波速：
u
Y 常数
Y：杨氏模量
的平面波，称之为格波。
10
比较
弹簧振子的简谐振动：
F
Kx
m
d2x dt 2
Kx
令2＝K
m
d2x dt 2
2x
0，其解为：x
Acos(t
)
（简谐振动）
连续介质中的简谐平面 波：
Ae i (t x )
A cos t
x u
Acost
x
固体物理基础第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
（2）计算与该频率相当的电磁波的波长，并与 Nacl 红外吸收频率的测量 值 61 μ 进行比较。
w
波矢取值 因此
3.6 计算一维单原子链的频率分布函数 ρ (ω )
解：设单原子链长度 L＝Na
q=
w
. e h c 3 . w
-6-
m o c
α e2
r +
β
rn
其中
2π 2π Na q= ×h Na Na ,状态密度 2π 每个波矢的宽度
解
•
w
M M
将
us −1
d 2us = C (Vs −1 − us ) + 10C (Vs − us ) ， dt 2 d 2Vs = 10C ( us − Vs ) + C ( us +1 − Vs ) , dt 2
w
a/2
o
vs −1
. e h c 3 . w
c 10c
m o c
o
•
o
•
us
vs
解：如上图所示，质量为 M 的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ……
质量为 m 的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 …… 牛顿运动方程：
m μ 2 n = − β (2 μ 2 n − μ 2 n +1 − μ 2 n −1 ) M μ 2 n +1 = − β (2 μ 2 n +1 − μ 2 n + 2 − μ 2 n )
所以可以得到
w
μl +1,m = μ (0) exp{i[(l + 1)k x a + mk y a − ωt ]} μl −1,m = μ (0) exp{i[(l − 1)k x a + mk y a − ωt ]} μl ,m+1 = μ (0) exp[i (lk x a + (m + 1)k y a − ωt )] μl ,m−1 = μ (0) exp[i (lk x a + (m − 1)k y a − ωt )]
一维单原子的振动
晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条 件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最 典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出晶 格振动的基本特点。
1. 一维单原子点阵的振动
(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为 a，原子质量为M。
第s-2个原子 第s-1个原子 第s个原子 第s+1个原子 第s+2个原子
= −ω 2 Ae −i(ωt − sak )
过
M xn = − M Aω e2 −i(ωt − sak )
程
{ } = C Ae −i ⎡⎣ωt −(s −1)ak ⎤⎦ + Ae −i ⎡⎣ωt −(s+1)ak ⎤⎦ − 2 Ae −i(wt − sak )
M ω 2 = C(2 − e−iaq − eiaq )
a
us-2
us-1
us
us+1
us+2
简谐近似 描述1: 力的角度
这一章我们要考虑原子在平衡位置附近的振动。 这种考虑是建立在简谐近似的基础之上的，所谓 简谐近似即认为振动是小振动，振幅很小，这种 振动的位移与力之间是满足线性关系的。
F=-cx
简谐近似 描述2：能量角度
从能量的角度来看，认为原子间有了相对位 移后，两原子间的相互作用势也有了变化将势能 展开成级数：
p
只考虑最近邻原子的作用，设其力常数为C，则
F = Mu = C（us+1 + us+1 − 2us）
给出试探解 us = Ae−（i ωt−ska）
原子都以同一频率ω，同一振幅A振动,相邻原子间的位相差
为k·a。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
解
•
w
M M
将
us −1
d 2us = C (Vs −1 − us ) + 10C (Vs − us ) ， dt 2 d 2Vs = 10C ( us − Vs ) + C ( us +1 − Vs ) , dt 2
w
a/2
o
vs −1
. e h c 3 . w
c 10c
m o c
o
•
o
•
us
vs
当 当
k = k x ，且 k y = 0 时的 ω − k 图，和 kx = k y
时的 ω − k 图，如右图所示。
3.5 已知 Nacl 晶体平均每对离子的相互作用能为 U (r ) = −
马德隆常数 α ＝1.75，n＝9，平均离子间距 r0 = 2.82 Å 。 （1）试求离子在平衡位置附近的振动频率
(b)根据题意，
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
) = c[( μl +1,m + μl −1,m − 2μl ,m ) 的解， dt 2 + ( μl ,m +1 + μl ,m −1 − 2μl ,m )] M(
因为
d 2 μl , m
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
代回到运动方程得到
若 A、B 有非零的解，系数行列式满足：
w
两种不同的格波的色散关系：
w
. e h c 3 . w
-2-
m o c
——第一布里渊区
解答（初稿）作者 季正华
•
w
M M
将
us −1
d 2us = C (Vs −1 − us ) + 10C (Vs − us ) ， dt 2 d 2Vs = 10C ( us − Vs ) + C ( us +1 − Vs ) , dt 2
w
a/2
o
vs −1
. e h c 3 . w
c 10c
m o c
o
•
o
•
us
vs
当 当
k = k x ，且 k y = 0 时的 ω − k 图，和 kx = k y
时的 ω − k 图，如右图所示。
3.5 已知 Nacl 晶体平均每对离子的相互作用能为 U (r ) = −
马德隆常数 α ＝1.75，n＝9，平均离子间距 r0 = 2.82 Å 。 （1）试求离子在平衡位置附近的振动频率
(b)根据题意，
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
) = c[( μl +1,m + μl −1,m − 2μl ,m ) 的解， dt 2 + ( μl ,m +1 + μl ,m −1 − 2μl ,m )] M(
因为
d 2 μl , m
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
代回到运动方程得到
若 A、B 有非零的解，系数行列式满足：
w
两种不同的格波的色散关系：
w
. e h c 3 . w
-2-
m o c
——第一布里渊区
解答（初稿）作者 季正华
《固体物理学》讲义(34章)
第三章晶体振动和晶体的热学性质（12学时）晶体内的原子并非在各自的平衡位置上固定不动，而是围绕其平衡位置作振动，并且由于原子之间存在着相互作用力，因而各个原子的振动是相互联系着的，这样在晶体中就形成了各种模式的机械波。
晶格振动对固体的比热、热膨胀、热导等性质有重要的影响。
本章将向大家介绍晶格振动的一般性质。
基本要求：掌握一维晶体振动模式的色散关系，晶格振动的量子化、声子的概念。
爱因斯坦模型和德拜模型解释固体的比热性质。
了解非谐效应，确定振动谱的实验方法以及晶格的自由能。
基本内容：1、一维原子链的振动，色散关系、格波2、晶格振动的量子化、声子，长波近似3、固体比热，爱因斯坦模型和德拜模型4、非简谐效应5、确定振动谱的实验方法，晶格的自由能重点：一维晶体振动模式的色散关系，晶格振动的量子化、声子的概念，爱因斯坦模型和德拜模型。
难点：晶格振动的量子化、声子的概念。
§3.1 一维原子链的振动晶格振动最简单的情形就是一维晶格的振动，本节将介绍一维原子链的振动情况及其色散关系。
通过简单情形的讨论，把所得的一些主要结论和主要方法加以推广，应用到复杂的三维晶格的振动。
一、一维简单格子的情形1、一维简单格子的振动晶体内的原子围绕其平衡位置在不停地振动，由于原子间存在着相互作用力，各个原子之间的振动相互关联，从而在晶体中形成了各种模式的机械波。
（1）、简谐近似和最近邻近似一维简单格子是最简单的情形，考虑一个一维原子链，每个原子具有相同的质量m，平衡时原子间距为a。
由于热运动各原子离开了平衡位置，用x n代表第n个原子离开平衡位置的位移，第n个和第n+1个原子间的相对位移就为x n+1-x n，和第n-1个原子间的相对位移就为x n-x n-1。
只考虑最近邻原子间的简谐相互作用，其恢复力常数为 。
（2）、运动方程对第n 个原子进行受力分析，列牛顿定律方程可得运动方程为:)()(1122-+---=n n n n nx x x x dtx d m ββ )2(1122n n n nx x x dtx d m -+=-+β（n=1、2、…、N ） 式中β为原子间简谐相互作用的恢复力常数。
3-1晶格振动和晶体热学性质
简约区： q
a
a
π a
π a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中
找到唯一一个q，使之满足：
q q 2 G G 为倒格矢
a
二、光学波和声学波的物理图象 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比
n n
A
ei
1 2
aq
B
2
cos
1 2
aq
ei
1 2
aq
2 M2
M
2m
n
n n1 2
频率为j的特解： nj Ajeijtnaqj
方程的一般解： n Ajeijtnaqj
j
1
Q q,t einaq
Nm q
线性变换系数正交条件： 系统的总机械能化为：
1
N
einaqq q,q
n
H
1 2
Q* q
q,tQ q,t
2
qQ*
q,tQ q,t
Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原 子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的 坐标，称为简正坐标。
单元交换能量。
• 声子具有能量 j ，也具有准动量 q ，但它不能
脱离固体而单独存在，并不是一种真实的粒子, 只是一 种准粒子。
• 声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。
• 由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：
E
N j=1
nj
1 2
j
• 声子可以通过热激发产生，也可以通过光子或其他粒子 与晶格的相互作用过程产生，在相互作用的过程中，声
子数不守恒。
§3.2 一维双原子链的振动
考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链
第三章晶格振动
2
2
aq
sin
m
2
2.色散关系
当
q
a,max源自2;m当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
2π / a
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q, q 2π s ( s为整数), a
m
M
m 2
M
2
2m M
4m M(aq) 2
1 2
mM
mM
m
M
m
M 1
4m M
m M 2
(aq)
2
1
2
mM
m
M m M 1
2m M
m M 2
(aq)2
mM
2mM
m M
(aq)
2
A
2
aq mM
vpq
2
vp
a mM
(2)相邻原子的振幅之比
2 cosaqA M 2 2 B 0 m 2 2 A 2 cosaqB 0
在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。
例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为m，恢复力 常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。
解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:
..
m xn xn xn1 xn xn1
xn Aei t naq
将试探解代入振动方程得色散关系:
子间的振动相互间都存在着固定的位相关系,即原子的振动形成了波，这种波称为格
2
aq
sin
m
2
2.色散关系
当
q
a,max源自2;m当 q 0, min 0
由色散关系式可画图如下:
m
2 sin aq
m
2
2π / a π / a
0
π/ a
是波矢q的周期性函数,且(-q)= (q)。
2π / a
m
2 sin aq
m
2
2π a
π a
o
πa
2π a
当 q, q 2π s ( s为整数), a
m
M
m 2
M
2
2m M
4m M(aq) 2
1 2
mM
mM
m
M
m
M 1
4m M
m M 2
(aq)
2
1
2
mM
m
M m M 1
2m M
m M 2
(aq)2
mM
2mM
m M
(aq)
2
A
2
aq mM
vpq
2
vp
a mM
(2)相邻原子的振幅之比
2 cosaqA M 2 2 B 0 m 2 2 A 2 cosaqB 0
在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。
例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为m，恢复力 常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。
解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:
..
m xn xn xn1 xn xn1
xn Aei t naq
将试探解代入振动方程得色散关系:
子间的振动相互间都存在着固定的位相关系,即原子的振动形成了波，这种波称为格
第9讲晶格振动一维单原子链
第九讲：晶体振动上一维单原子链简谐近似和简正坐标布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶体中形成各种模式的波，称为格波。
只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。
由于晶体的平移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。
通常用一系列独立的简谐振子来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。
势能和动能函数设简单晶格晶体包含N 个原子，平衡位置为R n ，偏离平衡位置的位移矢量为µn (t )，则原子的位置为()()R R n n n t t '=+µ。
将位移矢量µn (t )用分量表示，写成µi ( i = 1, 2, ..., 3N )。
N 个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数：⋅⋅⋅++ +=∑∑==j i N i N j i j i i i V V V V µµ∂µ∂µ∂µ∂µ∂03131,20021 (3-1) 下标0表示为在平衡位置时所具有的值。
可以设V 0 = 0，而且在平衡位置相互作用力为零：0 0=i V ∂µ∂ (3-2) 忽略二阶以上的非简谐项可得：j i N j i ji V V µµ∂µ∂µ∂031,221∑==(3-3) N 个原子体系的动能函数为：∑==Ni ii m T 31221µ(3-4)简正坐标 为了使问题简化，引入简正坐标N Q Q Q 321 , , ,⋅⋅⋅简正坐标和原子的位移坐标 µi 之间通过正交变换相互联系：∑==Nj jij i i Qa m 31µ (3-5)引入简正坐标后体系的势能函数和动能函数为：∑==Ni iQT 31221(3-6)∑==N i ii QV 312221ω (3-7)由于动能函数T 是正定的，根据线性代数的理论，总可以找到这样的正交变换，使势能函数和动能函数同时化为平方项之和。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
强烈地影响着物质的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、 磁性、结构相变等物理性质。
杜隆－珀替经验规律
能量均分原理, 趋于热平衡时，每个自由度的平均(动能)能量为kBT/2。 简谐振子的平均能量为kBT[平均动能+平均势能](从运动方程得出) 对N个原子，共有3N个简正模式，在温度T平衡时，晶格振动贡献 的内能为 E 3Nk BT 1 mol晶体的定容比热 CV ,m 3Nk B 3N 0 k B 但实际上，低温下比热随温度的降低而降低。
23 23 3 6.02 10 1.38 10 24.9 热膨胀、传导和晶格振动的非谐效应密切相关。
2
绝热近似
讨论晶体结构时，我们把晶体内的原子看作是处于自己的平衡位置 上固定不动的，但实际上，物质是在不断运动的，量子力学告诉我 们，即使达到绝对零度，仍具有零点能的振动。 它强烈地影响着物质的比热、热导、热膨胀、光反射等物理性质。
其中K， 为连续介质的弹性模量和介质密度
—— 长波极限下，一维单原子晶格格波可以看作是弹性波
11
—— 晶格可以看成是连续介质
长波极限
格波 长波极限情况 (q 0, a) ——声学波（accoustic wave）
相邻两个原子之间的位相差 q(n 1)a qna qa 0
15
N N h的取值范围 h 2 2
q取值
相邻两个波矢间隔（每一个q的取值所占的空间） q
q的分布密度
q
L＝Na ——晶体链的长度 第一Brillouin区的尺度
Na L 2 2
2 2 Na L
2 / a
(2 / a) q N
第一Brillouin区的振动模式数 得到结论
绝热近似 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来描述电子对离子运动的 影响。 —— 将电子的运动和离子的运动分开
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力
—— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
3
一维单原子链运动
一维单原子链晶格周期为a，原子质量m，相对各自平衡位置的 位移分别为un 平衡位置时，两个原子间的互作用势能 U(a) 发生相对位移 = un–un-1后，相互作用势能U(r)= U(a+)
q1
q2
——其它区域不能提供新的物理内容
1 2 sin aq m 2
-/a
0
q
/a
2/a
频率极大值和极小值 min 0, max 2 / m 只有频率在 0 2 / m 之间的格波才能在晶体中传播，其它 频率的格波被强烈衰减（低频滤波）
10
长波极限
w/(4m)
1 sin aq m 2
w/(4/m)0
First Brillouin
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
解得色散关系——波的频率-波矢关系 真空中光波 = cq，空气中声波 = vq 而格波的色散关系是非线性的。
-/a
0
q
/a
6
2/a
格波物理意义
格波 i t naq u Ae 简谐近似下，格波是简谐平面波 n 格波意义： 1. 对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动 2. 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相
un Ae
i t naq
波矢表示波数，方向表示波的传播方向。q取不同的值，相邻两原 子间的振动位相差不同，则晶格振动状态不同 不同原子间位相差： n ' aq naq (n ' n)aq 相邻原子的位相差： (n 1)aq naq aq
8
不同波长的格波
如果
q q
相邻两个原子振动的位相相反，恢复力和频率都达到最大值
0
d 格波的群速 vg dq q
a
在Brillouin区边界处，相当于受到Bragg散射，形成驻波
用到的两个定义：波速（相速），群速
vw
q
d vg dq
13
Born-Karman边界条件
周期性边界条件（Born-Karman边界条件） 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动 形式都一样 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中 间原子的运动方程来描述 为了解决这一矛盾，采用周期边界条件——Born-Karman边界条件 （1） N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特 点 （2） N很大，原子运动 近似为直线运动 （ 3 ）处理问题时要考虑 到环链的循环性
14
波矢的分立性
设第n个原子的位移为 un 再增加N个原子之后，第N+n个原 子的位移uN+n，则
uN n un
Aei[t ( N n ) aq ] Aei[t naq ] e
iNaq
2 h 1 q Na
——h为整数 波矢的取值范围
a
q
a
h — N个整数值 波矢q —取N个不同的分立值 — 第一布里渊区包含N个振动模式
晶格振动模式数目=晶格原胞数目
=自由度数目
16
练习 1.以一维单原子链为例，说明晶格振动模式 数等于晶体的自由度数。
练习2.引入Born-Karman边界条件的理由是什么。
17
思考：引入Born-Karman边界条件的理由是什么？
18
格波的波形图（格波意义2）
向上的箭头代表原子沿X轴正向振动
向下的箭头代表原子沿X轴负向振动
q的物理意义： 波的传播方向（即沿q的方向）上， naq表示相位差
7
格波物理意义
格波 ——格波解 晶体中所有原子共同参与的一种频率相同、振幅相等的振动，不 同原子间存在位相差，每一确定q的解代表波长为2/|q|的集体运 动，这种振动以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。 格波波长： 2 / q 格波波矢： q 2 n
2 l a
l为整数，则 q 和 q' 描述同一晶格振动状态 例如 波长
2 5 2 2 q1 , q2 , q2 q1 2a 1 2a 2 a
1 4a, 2 a
5
4
格波1(Red)相邻原子位相差
aq1 / 2 格波2(Green)相邻原子位相差 aq2 2 / 2
2 dU 1 d U 2 U (r ) U (a ) 2 High items 2 dr a dr a
考虑到平衡条件
n-2
n-1
n
n+1
n+2
dU U (a) constant , 0 dr a
1 d 2U 2 1 2 U 2 2 dr a 2
9
第一Brillouin区
1.0
——两种波矢的格波中，原子的振动完全相同。 相邻原子的位相差取 aq
q
First Brillouin
0.8
波矢取
/(4m)
a a ——第一Brillouin区
1/2
——只研究第一Brillouin晶格振动问题 色散关系：
0.6 0.4 0.2 0.0
第n个原子的运动方程
2 un m 2 n 1 n 1 2n t
a
n-2 n-1
a
n
n+1
n+2
：力常数
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
5
运动方程的解
试解（格波方程） 带入运动方程
m Ae
2
un Ae naq — 第n个原子振动位相因子
i t naq
i t naq
Ae
2 un m 2 n 1 n 1 2n t
i t naq iaq
Ae
i t naq iaq
2 Ae
i t naq
化简得到
m 2 eiaq eiaq 2 2 cos aq 1
此时，一个波长内包含许多原子，晶格可看作连续介质
波长 2 q
格波的群速
d vq , when q 0 vg dq vq , when q 0
12
短波极限
(q ) a
格波短波极限情况
当 q→/a 时 max 2 / m
波长
2 2a q
1/2
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
格波 长波极限情况 (q 0, a)
m q
当 q→0 时 a
-/a
0 q
/a
此时，一维单原子格波的色散关系与连续介质中弹性波的
vElastic q
vq a
K a m m/a
色散关系一致
弹性波速（相速）为
a
n-2 n-1
a
n
势能展式中保留到二阶——简谐近似
n+1
n+2
d 2U 2 dr a
：力常数
dU ? f dr 4
一维单原子链运动
只考虑最近邻原子间的相互作用:
第n个原子受力
n-2
n-1
n
n+1
n+2
f n n1 n1 2n
§3 晶格振动和热学性质
3 Crystal Vibrations and Thermal Properites