第五章 第一节 Jacobi迭代法
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第一节 Jacobi 迭代法
一、引言
二、 迭代格式的构造 三 、 Jacobi 迭代法的收敛性
四、小结
一、引言
迭代法是解线性代数方程组的另一类重要方法，特别 适于求解系数矩阵为稀疏阵的大型线性代数方程组。它 的 基本思想是，从任一初始向量 X (0) 出发，按某一规则，逐
次构造一个向量序列 X (k) ，当 X (k) 收敛于 X * 时，使 X *
A DE
其中 D 是具有 A 的对角线元素的对角阵 ，而 E 在对角线上的元素为零。此时关系式(1.6)成为
X D1EX D1b
式中，D1 是简单的对角阵， 它的对角线元 素是 D 的元素的倒数。
例1、将方程组：
AX b :
20x1 2x2 3x3 24,
x1 8x2 x3 12,
在具 体问 题 中 ， 谱 半 径 是 很 难计算的， 但由于有 (B) B ，所 以可以 用 B 来 作 为 (B) 的 一种估计。 当 B 1 时迭代格式一定收 敛，不 过这 只是 收敛 的充分条件。
定理 2 若 B 1 则迭代格式（1.2）收敛于 （1.1）的解 X * , 且有误差估计
X (k ) X * B X (k ) X (k1) , 1 B
1 B
B k X 1 X 0 1 B
这就证明了定理2。
依 定 理 2 可知，当
n
或
B max
1
j i1
bij
1
n
B
max i
bij
j 1
1
时， Jacobi 迭代法收敛。
例2、用Jacobi 迭代法解方程组
AX b :
20x1 2x2 3x3 24,
x1 8x2 x3 12,
X (k1) BX (k) F , k 0,1 ,
(1.2)
此格式称为 Jacobi 迭代格式，称 B 为迭代矩阵。 由此迭代格式可构造出一个向量序列：
X0, X1, X2, , Xk ,
显然，若 lim X (k) X * 存在，则有 k
X * BX * F
(1.3)
即 X * 为（1.1）的解。
是所给方程组的解。于是，就有下列问题需要计论： (1) 构造迭代格式； (2) 收敛性及误差估计。
二、 迭代格式的构造 设所给方程组为
X BX F
（1.1）
其中，B 是n 阶方阵，F 是已知身量, X 是未知向量。
任取 X (0) Rn 代入（1.1）的右端，算得的结果记为 X (1) ，再以 X (1) 代入（1.1）的右端，算得的结果记为 X (2) ， 如此进行下去，便得到迭代格式
X (k ) X (k1) B( X (k1) X ) (k2) Bk1( X (1) X (0) ),
所以
X (k ) X (k1) B k1 . X (1) X (0) .
将此式代入（1.7）式，便有
X (k) X * B
X (k ) X (k 1)
1 B
B
B k1 X 1 X 0
注：若方程组由下面形式给出
AX b
1.4
则需要把它改写成便于迭代的形 式（1.1）， 其 方 法是多种多样的，最一般的方法是将 A 分 解为两个矩阵之差
AM N
1.5
其中矩阵M可逆，于是(1.4)成为
X M 1NX M 1b
(1.6)
令 B M 1N, F M 1b ，即得（1.1）.
必须指出，(1.5)中的M 应是便于求逆的，M 的最简单选择是把它选为对角阵，通常，当 A 的 对角线元素全不为 零时，就把 M 选为 A 的对角 线，于是
定理 对任意右端向量F和初始向量 X (0) ， 迭代格式(1.2)收敛于（1.1）的解 X * 的充要条 件是 (B) 1
. 由定理1可以看出，迭代是否收敛只与迭代矩阵 的谱半径有关，而迭代矩阵 B 是由系数矩阵A 演变过 来的，所以迭代是否收敛是与系数矩阵 A 以及演变的 方式有关， 与 右 端向量和初始迭代向量的选择无关。
1 5
3 20 1 8
0
x1 x2 x3
5 4 3 2 2
三 、 Jacobi 迭代法的收敛性
若由迭代格式
X (k1) BX (k) F , k 0,1 ,
(1.2)
所构成的向量序列 X (k) 收敛，则称 迭代格式
(1.2)收敛，或称 Jacobi 迭代法收敛。
或
X (k ) X * B k X (1) X (0) , 1 B
（1.7） (1.8)
证明 因为 (B) B 1 ，所以迭代格式 （1.2）收敛。其次，由关系式
X (k ) X * B( X (k1) X * )
有
X (k ) X * B . X (k 1) Xຫໍສະໝຸດ Baidu* B .( X (k ) X (k1) X (k ) X * )
由关系式：
可得
X (k1) BX (k ) F ,
X
*
BX
*
F
X (k1) X * B( X (k ) X ) B2 ( X (k1) X * )
B(k1) ( X (0) X * )
所以，为使 Jacobi迭代法收敛，即要使
X (k) X *
k
必要且只要 Bk 0(k )。而 Bk 0 的 充要条件是矩阵B的谱半径 (B) 1 ，故有
B . X (k ) X (k1) B . X (k ) X * ,
从而有
X (k ) X * (1 B ) B . X (k ) X (k1) ,
因此有
X (k ) X * B X (k ) X (k1) , 1 B
（1.7）
又从迭代格式 X (k1) BX (k) F, k 0,1 , 有
2x1 3x2 15x3 30
化成便于迭代的形式 X BX F. 最直观的方法是，将方程组改写为：
x1
0
x1
2 20
x2
3 20
x3
24 20
,
x2
1 8
x1
0
x2
1 8
x3
12 , 8
x3
2 15
x1
3 15
x2
0
x3
30 15
0
x1 x2 x3
1 8
2 15
1 10 0
2x1 3x2 15x3 30
取 X 0 0, 0, 0T ,问Jacobi迭代法是否收敛？
若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的 误差绝对值小于 106 ？
一、引言
二、 迭代格式的构造 三 、 Jacobi 迭代法的收敛性
四、小结
一、引言
迭代法是解线性代数方程组的另一类重要方法，特别 适于求解系数矩阵为稀疏阵的大型线性代数方程组。它 的 基本思想是，从任一初始向量 X (0) 出发，按某一规则，逐
次构造一个向量序列 X (k) ，当 X (k) 收敛于 X * 时，使 X *
A DE
其中 D 是具有 A 的对角线元素的对角阵 ，而 E 在对角线上的元素为零。此时关系式(1.6)成为
X D1EX D1b
式中，D1 是简单的对角阵， 它的对角线元 素是 D 的元素的倒数。
例1、将方程组：
AX b :
20x1 2x2 3x3 24,
x1 8x2 x3 12,
在具 体问 题 中 ， 谱 半 径 是 很 难计算的， 但由于有 (B) B ，所 以可以 用 B 来 作 为 (B) 的 一种估计。 当 B 1 时迭代格式一定收 敛，不 过这 只是 收敛 的充分条件。
定理 2 若 B 1 则迭代格式（1.2）收敛于 （1.1）的解 X * , 且有误差估计
X (k ) X * B X (k ) X (k1) , 1 B
1 B
B k X 1 X 0 1 B
这就证明了定理2。
依 定 理 2 可知，当
n
或
B max
1
j i1
bij
1
n
B
max i
bij
j 1
1
时， Jacobi 迭代法收敛。
例2、用Jacobi 迭代法解方程组
AX b :
20x1 2x2 3x3 24,
x1 8x2 x3 12,
X (k1) BX (k) F , k 0,1 ,
(1.2)
此格式称为 Jacobi 迭代格式，称 B 为迭代矩阵。 由此迭代格式可构造出一个向量序列：
X0, X1, X2, , Xk ,
显然，若 lim X (k) X * 存在，则有 k
X * BX * F
(1.3)
即 X * 为（1.1）的解。
是所给方程组的解。于是，就有下列问题需要计论： (1) 构造迭代格式； (2) 收敛性及误差估计。
二、 迭代格式的构造 设所给方程组为
X BX F
（1.1）
其中，B 是n 阶方阵，F 是已知身量, X 是未知向量。
任取 X (0) Rn 代入（1.1）的右端，算得的结果记为 X (1) ，再以 X (1) 代入（1.1）的右端，算得的结果记为 X (2) ， 如此进行下去，便得到迭代格式
X (k ) X (k1) B( X (k1) X ) (k2) Bk1( X (1) X (0) ),
所以
X (k ) X (k1) B k1 . X (1) X (0) .
将此式代入（1.7）式，便有
X (k) X * B
X (k ) X (k 1)
1 B
B
B k1 X 1 X 0
注：若方程组由下面形式给出
AX b
1.4
则需要把它改写成便于迭代的形 式（1.1）， 其 方 法是多种多样的，最一般的方法是将 A 分 解为两个矩阵之差
AM N
1.5
其中矩阵M可逆，于是(1.4)成为
X M 1NX M 1b
(1.6)
令 B M 1N, F M 1b ，即得（1.1）.
必须指出，(1.5)中的M 应是便于求逆的，M 的最简单选择是把它选为对角阵，通常，当 A 的 对角线元素全不为 零时，就把 M 选为 A 的对角 线，于是
定理 对任意右端向量F和初始向量 X (0) ， 迭代格式(1.2)收敛于（1.1）的解 X * 的充要条 件是 (B) 1
. 由定理1可以看出，迭代是否收敛只与迭代矩阵 的谱半径有关，而迭代矩阵 B 是由系数矩阵A 演变过 来的，所以迭代是否收敛是与系数矩阵 A 以及演变的 方式有关， 与 右 端向量和初始迭代向量的选择无关。
1 5
3 20 1 8
0
x1 x2 x3
5 4 3 2 2
三 、 Jacobi 迭代法的收敛性
若由迭代格式
X (k1) BX (k) F , k 0,1 ,
(1.2)
所构成的向量序列 X (k) 收敛，则称 迭代格式
(1.2)收敛，或称 Jacobi 迭代法收敛。
或
X (k ) X * B k X (1) X (0) , 1 B
（1.7） (1.8)
证明 因为 (B) B 1 ，所以迭代格式 （1.2）收敛。其次，由关系式
X (k ) X * B( X (k1) X * )
有
X (k ) X * B . X (k 1) Xຫໍສະໝຸດ Baidu* B .( X (k ) X (k1) X (k ) X * )
由关系式：
可得
X (k1) BX (k ) F ,
X
*
BX
*
F
X (k1) X * B( X (k ) X ) B2 ( X (k1) X * )
B(k1) ( X (0) X * )
所以，为使 Jacobi迭代法收敛，即要使
X (k) X *
k
必要且只要 Bk 0(k )。而 Bk 0 的 充要条件是矩阵B的谱半径 (B) 1 ，故有
B . X (k ) X (k1) B . X (k ) X * ,
从而有
X (k ) X * (1 B ) B . X (k ) X (k1) ,
因此有
X (k ) X * B X (k ) X (k1) , 1 B
（1.7）
又从迭代格式 X (k1) BX (k) F, k 0,1 , 有
2x1 3x2 15x3 30
化成便于迭代的形式 X BX F. 最直观的方法是，将方程组改写为：
x1
0
x1
2 20
x2
3 20
x3
24 20
,
x2
1 8
x1
0
x2
1 8
x3
12 , 8
x3
2 15
x1
3 15
x2
0
x3
30 15
0
x1 x2 x3
1 8
2 15
1 10 0
2x1 3x2 15x3 30
取 X 0 0, 0, 0T ,问Jacobi迭代法是否收敛？
若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的 误差绝对值小于 106 ？