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微积分基本公式PPT课件
xa a
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
微积分基本公式PPT学习教案
第12页/共62页
例9. 设 f (x, y) xy et2 dt, 求 0
x y
2 f x2
2 2 f xy
y x
2 f y 2
.
解：令 (s) s et2 dt, 则 '(s) es2 , f (x, y) (xy) 0
于是
f (xy) '(xy) xy' ex2y2 y
e x x2 y2
2x3 yex2y2
最终结果 2ex2 y2
第14页/共62页
例5 .
lim
x0
0 sin t 2dt
2x
x3
0 sin t 2dt '
lim 2x
x0 (x3 )'
lim
x0
s in(2 x ) 2 3x 2
(2 x )'
2 3
lim
x0
sin 4x x2
2
8 3
b( x)
f (t)dt
的导数 F( x) 为
a( x)
F( x) d
b( x)
f (t )dt
dx a( x)
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
证 F( x) 0 b( x) f (t)dt
a(x) 0
b( x) f (t )dt
a( x)
f (t)dt,
202
1
1 1 (2 2 1 1) 1
2
2
第20页/共62页
例10 计算
2
f (x)dx, 其中
0
2x,
f
(
x)
5,
0 x1 1 x 2
解
2
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
微积分基本公式优秀课件
牛顿－莱布尼茨公式
例:求 2 x 2 d x 和 2 t 2 d t
1
1
例:求 y2cosx在 x [ 0 , ] 的平均值. 2
例:连续可导函数 f (x) 有 f (a) = 3, f (b) = 5, 求
b f ( x)dx. a
积分上限函数的导数
利用牛顿—莱布尼茨公式反过来理解积分上限函数 (注:此为非正规方式)
x
(x)a f(t)dt
就是 f (x) 在 [a , b] 上的一个原函数.即:
(x)f(x) 或 (x) f(x)dx
例:函数 f (t ) = t 的积分上限函数 (x)
x
tdt
0
(x)f(x)x
原函数存在定理
x
(x )af(t)d t (x )f(x )
证:
xx
x
(xx)(x) f(t)dt f(t)dt
例:已知
f
(x)
x x2
0 x1 ,求 1 x2
2
f ( x)dx.
0
y
f (x)
O
1 2x
例:已知
x2 f (x) ex
1 x2
,求
0 x1
2
f ( x)dx.
0
牛顿－莱布尼茨公式
例:求 cos x dx 0
例:求 sin x dx
2
例:求 1 x dx 0
2
例:求 2x 1 dx 0
F(x)(x)C, x[a,b]
当 x = a 得 F(a) (a)C,
牛顿－莱布尼茨公式
a
(a )af(x )d x0 F (a )C
( x ) F ( x ) C F ( x ) F ( a )
微积分一导数的基本公式与运算法则PPT课件
解 y 1 (3x2) 6x
1(3x2)2
19x4
第21页/共40页
例13. 求函数y ( x )n的导数. 2x 1
解 yn( x )n1( x ) 2x1 2x1
n(
x )n1 2x1
2x12x (2x1)2
nxn1 (2x1)n1
例14. 求函数y x a2 x2的导数. 2
解解 y 1[x a2x2 x( a2x2)] 2
引例2 已知y (3x 1)2，求y.
y [(3x 1)2 ]
(9x2 6x 1)
18 x 6
y sin10x
y (3x 1)100
?
第17页/共40页
四、复合函数的导数
设u(x)在点x处可导 yf(u)在对应点u处可导 则复合函 数yf[(x)]在点x处也可导，且其导数为
基本导数公式
1 (c)0
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
3 (ax)axln a (ex)ex
4
(loga
x)
1 xln
a
(ln x) 1 x
5 (sinx)cosx (tanx)sec2x
(cosx)sinx (cotx)csc2x
(secx)secxtanx
(cscx)cscxcotx
(sin x)cos x sin x(cos x)
cos2 x
sin2 x cos2 x cos2 x
1 cos2
x
sec2
x
第8页/共40页
1 (c)0
2. (xu ) ' uxu1 (u为任意实数)
3 (ax)axln a (ex)ex
4
(log
微积分基本公式ppt课件
热力学
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
微积分的基本公式PPT幻灯片课件
一个原函数, 则
b a
f
(x)d x
F ( x)
b a
F (b)
于是
0 | F(x) | |
x x
f (t)dt |
xx
| f (t) | dt Mx
x
x
由夹逼定理及点 x 的任意性, 即可得 F (x) C([a,b]) .
7
定理1说明: 定义在区间[a,b] 上的 积分上限函数是连续的.
积分上限函数是否可导?
8
由 F(x x) F(x)
xx
f (t)dt,
x
如果 f (x) C([a,b]), 则由积分中值定理, 得
xx
F(x x) F(x) x f (t)dt f ( )x ,
( 在 x 与 x x 之间)
故 lim F (x x) F (x) lim f ( )x
x0
推论2 基本初等函数在其定义域内原函数存在.
推论3 初等函数在其有定义的区间内原函数存在.
17
2. 微积分基本公式
如果 f (x) C([a,b]), 则
x
f (t)dt
为 f (x) 在[a,b] 上
a
的一个原函数.
若已知 F (x) 为 f (x) 的原函数, 则有
x
a f (t)dt F (x) C0.
( x)
F(x) ( a f (t)dt ) f ((x)) (x) .
14
例3
e1 t2 d t
计算 lim x0
cos x
x2
.
解
e1 t2 d t
cos x et2 d t
《微积分基本公式》PPT课件_OK
证明
v(x) f (t) dt F[v(x)] F[u(x)] u(x)
所以 d
v(x)
f (t) dt F[v(x)]v(x) F[u(x)]u(x)
dx u(x)
f [v(x)]v(x) f [u(x)]u(x)
10
三、牛顿 – 莱布尼兹公式
定理2.
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a)
x
0 f
(t) d t
2
f (x) (x ) f ( ) x
x
0 f
(t) d t
2
0
(0 x)
16
例9. 设
求 (x)
x
f (t)dt
在 [０,２] 的表达式.
0
解:
时,
1 3
1 [x2 2
1]
12x2xபைடு நூலகம்3.
1 6
.
1 x 2 时,
1
x
0 f (t)dt 1 f (t)dt
b
g ( x) dx
(保号的保持在积分内)
a
a
3. 变限积分求导公式
d
v(x)
f (t) dt f [v(x)]v(x) f [u(x)]u(x)
dx u( x)
18
作业P243
3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , 9 (2) ; 11,12
19
§5.1 内容回顾
定积分定义
b
n
a
f (x)dx lim 0 i1
f (i ) xi
定积分的几何意义: 各部分面积的代数和
可积的充分条件: 1. 2.
定积分的性质
微积分讲解ppt课件
3.2.1 原函数和不定积分的概念
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[路程函数]
已知物体的运动方程为 s(t) t2 ，则其速度为 v(t) s(t) (t 2 ) 2t
这里速度2t是路程t2的导数，反过来，路程t2又称为速 度2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度v(t)，又如 何求物体的运动方程s(t)呢？
f xdx f x C 或 df x f x C
3.2.2 基本积分表
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[幂函数的不定积分]
因为
x 1
1
x
x 1
1 是 x 的一个原函数
于是
x dx x 1 C
32微积分基本公式321原函数和不定积分的概念322基本积分表323微积分基本公式321原函数和不定积分的概念一案例二概念和公式的引出一案例路程函数已知物体的运动方程为又称为速度2t的什么函数呢
3.2 微积分基本公式
3.2.1 原函数和不定积分的概念 3.2.2 基本积分表 3.2.3 微积分基本公式
1
1
类似地, 由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式．
二、概念和公式的引出
1.基本积分表
(1)
kdx kx C ( k 为常数）
(2) x dx x 1 C
1
1
(3)
1 x
dx
ln
x
C
(4) a xdx a x C
即两个函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差)． 性质１可推广到有限个函数的情形．
(2) 性质2 kf xdx k f xdx k为常数
《微积分学基本定理,微积分基本公式》图文课件
b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
b a
计算定积分的方法: f ( x )dx
a
b
(1)定义法 ( 2)面积法(曲边梯形面积 ) ( 3)公式法( 微积分基本定理 )F ( x ) f ( x )
/
b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F (a )
基本的不定积分公式: (1) K dx Kx C ; 1 ( 3) dx ln | x | C x (4) e dx e C
x x
1 n 1 ( 2) x dx x C n1
n
a (5) a dx C ln a
x
x
(6) ln xdx x ln x x C (8) sin xdx cos x C
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ). T
1
T2
三、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理
[a , b ] 上 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间
的一个原函数，则a f ( x )dx F (b) F (a ) .
牛顿—莱布尼茨公式
b
a f ( x )dx F (b ) F (a ) F ( x )
b
b a
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a , b] 上的定积分等于 [a , b] 上的增量. 它的任意一个原函数在区间
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意 当a b 时， f ( x )dx F (b) F (a ) 仍成立. a
微积分的基本定理 课件
0
解析：
2 cos2x2dx＝
2
1＋cos 2
xdx＝
2 1
2 cos xdx＝12x 2 ＋12sin x 2 ＝π4＋12.
0
0
0
答案：π4＋12
(4)利用函数性质求定积分．
1
2
例：
lg11＋－xxdx＝________.
－1
2
解析：记 f(x)＝lg11＋－xx，易知定义域为(－1,1)，因为 f(－x)
a
(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②，则
bfxdx
＝
a
_－__S_下__．
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图
③，则bf(x)dx＝ a
S上－S下
；若S上＝S下，则abfxdx＝
0
.
求简单函数的定积分
[例 1] 求下列定积分：
(1)2(x2＋2x＋3)dx； 1
(2)
0
(cos x－ex)dx；
－π
(3) 2 sin2x2dx.
0
[解]
(1)
2
(x2＋2x＋3)dx
1
＝2x2dx＋22xdx＋23dx
1
1
1
＝x33 2 ＋x2 2 ＋3x 2 ＝235.
1
1
1
(2)
0
(cos x－ex)dx＝0 cos xdx－0 exdx
－π
－π
－π
0
＝sin x
0
－ex
＝e1π－1.
－
－
(3)sin2x2＝1－c2os x，
而12x－12sin x′＝12－12cos x，
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证明函数F(x)0xxtf(t)dt在(0, )内为单调增 0 f(t)dt
加函数.
证
dx
dx0
tf
(t)dt
xf(x)
dx
dx0
f (t)dt
f(x),
F(x)x(fx)0xf(tx )d tf(x2)0xtf(t)dt 0 f(t)dt x
F(x)f(x)0x(xt)f2(t)dt,
若上限不是 x 而是 x 的函数 a(x)，
则求导时必须按复合函数的求导法则进行
d[a(x)f(t)d]tf[a(x)a](x)
dxa
一般情况 如 果 f(t)连 续 ， a (x )、 b (x )可 导 ，
则 F (x )b (x )f(t)d的 导 t数 F (x )为 a (x )
F(x)d b(x)f(t)dt f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
所 以 F ( x ) 0 即 原 方 程 在 [ 0 , 1 ] 上 只 有 一 个 解 .
定理2（原函数存在定理）
如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
数(x)ax f(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个
原函数. 定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
dxa(x)
证
0 b (x )
F (x ) f( t) dt
a (x ) 0
b(x)
a(x)
0 f(t)dt0 f(t)d,t
F ( x ) f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
1 e t 2 dt
例1 求 lim x0 [分析]：这是
三、Newton-Leibniz公式
前述变速直线运动的路程问题表明： 定积分的值等于被积函数的一个原函数 在时间区间上的增量，这个事实启发我 们去考察一般的情况，得到肯定的回答。 这就是微积分基本公式。
定理 3（微积分基本公式）
如果F(x)是连续函数f (x)在区间[a,b]上
的一个原函数，则ab f(x)dxF(b)F(a).
数(x)ax f(t)dt在[a,b]上具有导数，且它的导
数是(x)ddxax f(t)dt f(x)
y
证 (x x)a x xf(t)dt
(axb)
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
o
a
x xxb x
a xf( t) d t x x xf( t) d a txf( t) dt
证 已 知 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
又 (x)a xf(t)d也 t是 f(x)的 一 个 原 函 数 ,
F (x ) (x ) C x[a,b]
令 xa F ( a ) ( a ) C ,
(a)a af(t)d t0 F (a)C ,
F (x)a xf(t)d tC ,
微积分基本公式
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设 某 物 体 作 直 线 运 动 ， 已 知 速 度 vv(t)是 时
间 间 隔 [T 1,T 2]上 t的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t)0，
求 物 体 在 这 段 时 间 内 所 经 过 的 路 程 .
变速直线运动中路程为
2 x 0 xf(t)d t1 在 [0 ,1 ]上 只 有 一 个 解 .
证
令
x
F (x)2x0f(t)d t1 ,
f(x ) 1 , F ( x ) 2 f( x ) 0 ,
F ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 为 单 调 增 加 函 数 .
F (0 ) 10 ,
F(1)101f(t)dt01[1f(t)d] t0
0cos型xx 2不定. 式，应用洛必达法则.
0
解 d 1 et2dt d coxset2d,t
dx cosx
dx1
eco2xs(cox)s sixneco2xs,
1 et2ห้องสมุดไป่ตู้t
lim
x0
cosx
x2
sinxeco2sx
lim
x0
2x
1. 2e
例2 设f(x)在( , )内连续，且f(x)0.
x
af(t)d tF (x )F (a ),
令
b
xb af(x )d x F (b )F (a ).
牛顿—莱布尼茨公式
a bf(x )d x F (b )F (a )F(x)ba
注 微积分基本公式表明：
(1) 一 个 连 续 函 数 在 区 间 [a,b]上 的 定 积 分 等 于 它 在 该 区 间 上 的 任 意 一 个 原 函 数 在 区 间 [a,b]上 的
T2 v(t)dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T 2)s(T 1)
T T 12v(t)d ts(T 2)s(T 1). 其s中 (t)v(t).
二、积分上限函数及其导数
设 函 数 f(x)在 区 间 [a,b]上 连 续 ， 并 且 设 x
为 [a,b]上 的 一 点 ， 考察定积分
x
a f (x)dx
xx
y
f(t)dt, x
由积分中值定理得
(x)
oa
f() x [x ,x x ],
x xxb x
f (), lim lim f()
x
x 0x x 0
x 0, x (x )f(x ).
注 此定理表明连续函数取变上限定积分再对
上限自变量 x 求导，其结果就等于被积 函数在上限自变量 x 处的函数值
x
f (t)dt a
如 果 上 限 x在 区 间 [a,b]上 任 意 变 动 ， 则 对 于 每 一 个 取 定 的 x值 ， 定 积 分 有 一 个 对 应 值 ， 所 以 它 在 [a,b]上 定 义 了 一 个 函 数 ，
记
x
(x)a f(t)d.t
积分上限函数
积分上限函数的性质
定理１如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
0 f(t)dt f ( x ) 0 ,( x 0 )0x f(t)dt0, ( x t ) f ( t ) 0 , 0x(xt)f(t)d t0,
F (x ) 0(x 0 ).
故 F ( x ) 在 ( 0 , ) 内 为 单 调 增 加 函 数 .
例 3 设 f(x )在 [0 ,1 ]上 连 续 ， 且 f(x ) 1.证 明
加函数.
证
dx
dx0
tf
(t)dt
xf(x)
dx
dx0
f (t)dt
f(x),
F(x)x(fx)0xf(tx )d tf(x2)0xtf(t)dt 0 f(t)dt x
F(x)f(x)0x(xt)f2(t)dt,
若上限不是 x 而是 x 的函数 a(x)，
则求导时必须按复合函数的求导法则进行
d[a(x)f(t)d]tf[a(x)a](x)
dxa
一般情况 如 果 f(t)连 续 ， a (x )、 b (x )可 导 ，
则 F (x )b (x )f(t)d的 导 t数 F (x )为 a (x )
F(x)d b(x)f(t)dt f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
所 以 F ( x ) 0 即 原 方 程 在 [ 0 , 1 ] 上 只 有 一 个 解 .
定理2（原函数存在定理）
如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
数(x)ax f(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个
原函数. 定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
dxa(x)
证
0 b (x )
F (x ) f( t) dt
a (x ) 0
b(x)
a(x)
0 f(t)dt0 f(t)d,t
F ( x ) f b ( x ) b ( x ) f a ( x ) a ( x )
1 e t 2 dt
例1 求 lim x0 [分析]：这是
三、Newton-Leibniz公式
前述变速直线运动的路程问题表明： 定积分的值等于被积函数的一个原函数 在时间区间上的增量，这个事实启发我 们去考察一般的情况，得到肯定的回答。 这就是微积分基本公式。
定理 3（微积分基本公式）
如果F(x)是连续函数f (x)在区间[a,b]上
的一个原函数，则ab f(x)dxF(b)F(a).
数(x)ax f(t)dt在[a,b]上具有导数，且它的导
数是(x)ddxax f(t)dt f(x)
y
证 (x x)a x xf(t)dt
(axb)
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
o
a
x xxb x
a xf( t) d t x x xf( t) d a txf( t) dt
证 已 知 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
又 (x)a xf(t)d也 t是 f(x)的 一 个 原 函 数 ,
F (x ) (x ) C x[a,b]
令 xa F ( a ) ( a ) C ,
(a)a af(t)d t0 F (a)C ,
F (x)a xf(t)d tC ,
微积分基本公式
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设 某 物 体 作 直 线 运 动 ， 已 知 速 度 vv(t)是 时
间 间 隔 [T 1,T 2]上 t的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t)0，
求 物 体 在 这 段 时 间 内 所 经 过 的 路 程 .
变速直线运动中路程为
2 x 0 xf(t)d t1 在 [0 ,1 ]上 只 有 一 个 解 .
证
令
x
F (x)2x0f(t)d t1 ,
f(x ) 1 , F ( x ) 2 f( x ) 0 ,
F ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 为 单 调 增 加 函 数 .
F (0 ) 10 ,
F(1)101f(t)dt01[1f(t)d] t0
0cos型xx 2不定. 式，应用洛必达法则.
0
解 d 1 et2dt d coxset2d,t
dx cosx
dx1
eco2xs(cox)s sixneco2xs,
1 et2ห้องสมุดไป่ตู้t
lim
x0
cosx
x2
sinxeco2sx
lim
x0
2x
1. 2e
例2 设f(x)在( , )内连续，且f(x)0.
x
af(t)d tF (x )F (a ),
令
b
xb af(x )d x F (b )F (a ).
牛顿—莱布尼茨公式
a bf(x )d x F (b )F (a )F(x)ba
注 微积分基本公式表明：
(1) 一 个 连 续 函 数 在 区 间 [a,b]上 的 定 积 分 等 于 它 在 该 区 间 上 的 任 意 一 个 原 函 数 在 区 间 [a,b]上 的
T2 v(t)dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T 2)s(T 1)
T T 12v(t)d ts(T 2)s(T 1). 其s中 (t)v(t).
二、积分上限函数及其导数
设 函 数 f(x)在 区 间 [a,b]上 连 续 ， 并 且 设 x
为 [a,b]上 的 一 点 ， 考察定积分
x
a f (x)dx
xx
y
f(t)dt, x
由积分中值定理得
(x)
oa
f() x [x ,x x ],
x xxb x
f (), lim lim f()
x
x 0x x 0
x 0, x (x )f(x ).
注 此定理表明连续函数取变上限定积分再对
上限自变量 x 求导，其结果就等于被积 函数在上限自变量 x 处的函数值
x
f (t)dt a
如 果 上 限 x在 区 间 [a,b]上 任 意 变 动 ， 则 对 于 每 一 个 取 定 的 x值 ， 定 积 分 有 一 个 对 应 值 ， 所 以 它 在 [a,b]上 定 义 了 一 个 函 数 ，
记
x
(x)a f(t)d.t
积分上限函数
积分上限函数的性质
定理１如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
0 f(t)dt f ( x ) 0 ,( x 0 )0x f(t)dt0, ( x t ) f ( t ) 0 , 0x(xt)f(t)d t0,
F (x ) 0(x 0 ).
故 F ( x ) 在 ( 0 , ) 内 为 单 调 增 加 函 数 .
例 3 设 f(x )在 [0 ,1 ]上 连 续 ， 且 f(x ) 1.证 明