市北资优七年级分册 第11章 11.12 拆项与添项法+滕小红

11.12 拆项与添项法

【观察】

多项式x4＋2x3＋3x2＋2x＋1可以拆成x4＋x3＋x3＋x2＋x2＋x2＋x＋x＋1．

又例如代数式ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)，添项后可变形为ab(a－b)＋bc［(b－a)＋(a－c)］＋ca(c －a)．

把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项．

在代数式中添加两个相反项，叫做添项．

拆项和添项都是代数式的恒等变形．

我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的整式变形．在多项式乘法中有时需要合并同类项，与之相反的变形则为拆项与添项．

对所给多项式直接分组难以进行因式分解时，常常可以通过拆项或添项的变形，把某些被合并的同类项恢复原状，创造使用提取公因式或运用公式进行分组分解的条件，使原式的某些项之间能建立起联系，便于进行因式分解．

【例1】分解因式：x4＋x3－3x2－4x－4．

【分析】原式中x4，x3的系数都等于1，一次项系数与常数项都等于－4，因此把中项－3x2拆成x2－4x2即可分组分解．

【解】原式＝x4＋x3＋x2－4x2－4x－4

＝x2(x2＋x＋1)－4(x2＋x＋1)

＝(x2＋x＋1)(x2－4)

＝(x2＋x＋1)(x＋2)(x－2) ．

【例2】分解因式：x2－2(a＋b)x－ab(a－2)( b＋2)．

【分析】原式中前两项x2－2(a＋b)x可进行配方，添上(a＋b)2－(a＋b)2即可分组分解．

【解】原式＝x2－2(a＋b)x＋(a＋b)2－(a＋b)2－ab(a－2)( b＋2)

＝［x－(a＋b)］2－［(a＋b)2＋ab(ab＋2a－2b－4)］

＝(x－a－b)2－［(a＋b)2－4ab＋2ab(a－b)＋a2b2］

＝(x－a－b)2－［(a－b)2＋2ab(a－b)＋(ab)2］

＝(x－a－b)2－(a－b＋ab)2

＝(x－a－b＋a－b＋ab)( x－a－b－a＋b－ab)

＝(x－2b＋ab)(x－2a－ab) ．

补充说明：原式是一个关于x的二次三项式，如果将常数项－ab(a－2)( b＋2)变形为(2b－ab)(2a＋ab)，即可用十字相乘法对原式进行因式分解．

【例3】分解因式：2x4－15x3＋38x2－39x＋14．

【分析】先把多项式的第二项－15x3拆成－2x3和－13x3，把第三项38x2拆成13x2和25x2，把第四项－39x 拆成－25x和－14x，分组提取公因式，在拆项即可解得．

【解】原式＝2x4－2x3－13x3＋13x2＋25x2－25x－14x＋14

＝2x3(x－1)－13x2(x－1)＋25x(x－1)－14(x－1)

＝(x－1)(2x3－13x2＋25x－14)

＝(x－1)(2x3－7x2－6x2＋21x＋4x－14)

＝(x－1)［(2x3－7x2)－(6x2－21x)＋(4x－14)］

＝(x－1)［x2 (2x－7)－3x (2x－7)＋2(2x－7)］

＝(x－1)(2x－7)(x2－3x＋2)

＝(x－1)(2x－7)(x－1)(x－2)

＝(x－1)2(x－2)(2x－7) ．

补充说明：在因式分解中，经常出现在同一题的解题过程中一种方法多次使用，或几种方法交替或同时使用，本题先后使用了拆项、分组、提取公因式，再拆项、分组、提取公因式，最后应用了十字相乘法．可见因式分解是一套培养和训练学生思维能力的最好的数学体操之一．

【例4】分解因式： x 8＋x ＋1．

【解】原式＝x 8－x 5＋x 5－x 2＋x 2＋x ＋1

＝(x 8－x 5)＋(x 5－x 2)＋(x 2＋x ＋1)

＝x 5(x 3－1)＋x 2(x 3－1)＋(x 2＋x ＋1)

＝x 5(x 3－1)＋x 2(x 3－1)＋(x 2＋x ＋1)

＝x 5(x －1)(x 2＋x ＋1)＋x 2(x －1)(x 2＋x ＋1)＋(x 2＋x ＋1)

＝(x 2＋x ＋1)(x 6－x 5＋x 3－x 2＋1)．

练习11.12

1．分解因式：x 4＋x 3＋4x 2＋3x ＋3．

2．分解因式：x 5＋x ＋1．

3．分解因式：6x 4＋7x 3－36x 2－7x ＋6．

练习11.12答案

1．解法一：原式＝x 4＋x 3＋x 2＋3x 2＋3x ＋3＝x 2(x 2＋x ＋1)＋3(x 2＋x ＋1)＝(x 2＋x ＋1)(x 2＋3)

解法二：原式＝x 4＋3x 2＋x 3＋3x ＋x 2＋3＝x 2(x 2＋3)＋x (x 2＋3)＋(x 2＋3)＝(x 2＋3)(x 2＋x ＋1)

2．分析：因为x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)，所以原式添上－x 2＋x 2，再进行分组分解即可得解．

原式＝x 5－x 2＋x 2＋x ＋1＝x 2(x 3－1)＋(x 2＋x ＋1)＝x 2(x －1)(x 2＋x ＋1)＋(x 2＋x ＋1)＝(x 2＋x ＋1)(x 3－x 2＋1)

3．解法一：原式＝6(x 4＋1)＋7x (x 2－1) －36x 2

＝6［(x 2－1)2＋2x 2］＋7x (x 2－1) －36x 2

＝6(x 2－1)2＋7x (x 2－1) －24x 2

＝6(x 2－1)2＋7x (x 2－1) －24x 2

＝()()22213318x x x x ⎡⎤⎡⎤---+⎣⎦⎣⎦

＝(2x 2－3x －2)(3x 2＋8x －3)

＝(2x ＋1)( x －2)(3x －1)(x ＋3) 解法二：原式＝222116736x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

令t ＝1x x -，则221x x

+＝t 2＋2．故 原式＝()2262736x t t ⎡⎤++-⎣⎦

＝x 2(6t 2＋7t －24)

＝x 2(2t －3)(3t ＋8) ＝2112338x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ＝(2x 2－3x －2)(3x 2＋8x －3)

＝(2x ＋1)( x －2)(3x －1)(x ＋3)