有限差分法模拟一维(二维)谐振子 (2)

目录

第一章概述........................................ 错误！未定义书签。第二章有限差分方法................................ 错误！未定义书签。

2.1有限差分法基本思想...................................................... 错误！未定义书签。

2.2差分方程组的求解 ......................................................... 错误！未定义书签。第三章求解谐振子的微分方程................................................... 错误！未定义书签。

3.1 一维谐振子 (4)

3.2二维各向同性谐振子 (6)

第四章总结 (9)

参考文献 (10)

附录 (11)

第一章概述

微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

有限差分法可广泛用来求解偏微分方程的近似解，在电磁场中求解点位函数的拉普拉斯方程时，可采用有限差分法的基本思想是：用网格将场域进行分割，再把拉普拉斯方程用以各网格点处的点位作为未知数的差分方程式来进行代换，将求解拉普拉斯方程解得问题变为求联立差分方程组的解得问题]1[，在差分网格非常多和情况下，利用并行计算方法对其进行区域分解，每个进程负责运算一部分区域，区域边界之间进行必要地通信可有效提高计算速度，解决更大规模的问题。往往只讨论它在静态场中的应用，即泊松方程或拉普拉斯方程的有限差分形式，很少涉及到它在时谐场（即亥姆霍兹方程）中的应用。本文重点讨论亥姆霍兹方程的有限差分形式以及它在时谐场中的应用。同时，有限差分法（finite difference method）是基于差分原理的一种数值计算方法，在求解微分方程定解问题中广泛应用。有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算法。它用离散的函数值构成的差商来近似逼近相应的偏导数，而所谓的差商则是基于差分的应用的数值微分表达式。用离散的只含有有限个未知量的差分方程组去近似代替连续变量的微分方程和定解条件，并把差分方程组的姐作为威风方程定解问题的近似解.有限差分法可以处理几乎所有形式的势函数，且主程序不依赖于势函数的具体形式，对于多数两字体都可以进行相对准确的计算。因此，将有限差分法应用于量子力学本征值问题的计算，有助于相对准确地进行量子体系和形象直观地教学研究]32[ 。

量子力学教程中队一维无限深势阱、线性谐振子、氢原子等量子体系的薛定谔方程进行了严格的求解，得到了描述体系状态的波函数和能量的精确解。多数量子体系的哈密顿算数比较复杂，薛定谔方程不能严格求解，因此，研究和发展薛定谔方程的数值计算方法具有重要意义[4]。

第二章 有限差分方法

2.1有限差分法基本思想

有限差分法是解偏微分方程的主要数值方法之一，其基本思想是把连续的问题离散化，即首先对求解区域作网格剖分，用有限个网格节点代替连续区域；其次将微分算子离散化，从而把微分方程的定解问题化为代数方程组的求解问题，解方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。参照文献]5[，给出有限差分法数值计算的基本思想：

（1） 区域的离散或子区域的划分。 （2） 插值函数的选择。 （3） 方程组的建立。 （4） 方程组的求解。

2.2差分方程组的求解

利用有限差分要面临求解的问题。在实际应用中，可以采用逐次迭代的迭代方法求解。这里介绍两种常用的迭代方法：高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法。

2.2.1高斯-赛德尔迭代法

采用正方形网格分割场域这个方法是，先对节点),(j i y x 选取初值)0(ij ϕ。其中

（0）表示0次近似值；下角标j i ,表示节点所在位置，即第i 行j 列的交点。再按下式

(1)(1)(1)()()2

,1,,11,,1

14ij k k k k k i j i j i j i j i j h ρφφφφφε

+++--++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭

其中,......2,1,=j i (2-1) 反复迭代......)1,0(=k ，一直进行到对所有节点满足下列条件为止。

W

k j i k j i <-+)(,)1(,ϕϕ (2-2)

式中，W 是预定的最大允许误差。

在高斯-赛德尔迭代中，网格节点一般按“自然顺序”排列，即先“从左到右”，再“从上到下”排列，如图2-1所示；

2.2.2 逐次超松弛法

将式(2-1)在同一点上相邻两次迭代的差值计为),()(j i n R ，则可得

)(,2

)(1,)(,1)1(1,)1(,1)(,)1(,)(41),(k j i ij k j i k j i k j i k j i k j i k j i n h j i R ϕερϕϕϕϕϕϕ-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++=-=+++-+-+ (2-3) 按式(2-1)迭代理想的收敛情况是所有内点的点位函数的余数为零，但这是不可实现的，余数),()(j i n R 时正时负，时大时小，当网格很大时，收敛的速度很慢，这就需要改小网格，但迭代的次数将随之增加。逐次超松弛法就是在高斯-赛德尔迭代法中引入了加速收敛因子α对其进行校正，即

⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

-++++=

+=+++-+-+)(,,2

)(1

,)(,1)1(1

,)

1(,1)

(,)(,)1(,44k j i j

i k j i k j

i k j i k j

i n j i k j i k j i h ϕερϕ

ϕ

ϕ

ϕααϕϕϕ (2-4) 其中α称为“加速收敛因子”，是一个供选择的参数，其值在21<≤α之间，该方法的快慢与α有着明显的关系。实践表明，如果α选得好，可以较快的加速迭代的速度。经验表明正方形场域由正方形网格划分，每边节点数为)1(+p 时，最佳的收敛因子为0α，

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=p παsin 1/20 (2-5)