反函数图像之间的关系
互为反函数的函数图像之间的关系
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REPORTING
• 引言 • 互为反函数的函数图像特点 • 互为反函数的函数图像变换 • 互为反函数的函数在实际中的应用 • 结论
目RTING
WENKU DESIGN
什么是反函数
反函数：如果对于函数y=f(x)来说，其反函数存在的话，那么对于y的每一个值，x都有唯一 确定的值与之对应，那么此时y就是x的函数，我们称x为自变量，y为因变量，称f为x的反函 数。
01
互为反函数的函数图像在数学中常用于解决方程问题，例如求
解一元二次方程的根。
证明定理
02
利用互为反函数的函数图像，可以证明一些数学定理，例如函
数的单调性定理。
函数性质研究
03
通过研究互为反函数的函数图像，可以深入了解函数的性质，
例如函数的奇偶性、周期性等。
在物理领域的应用
描述物理现象
在物理学中，有些物理现象可以用互为反函数的 函数图像来表示，例如振动和波动现象。
PART 03
互为反函数的函数图像变 换
REPORTING
WENKU DESIGN
图像平移
总结词
互为反函数的函数图像在平移时具有对称性。
详细描述
当一个函数与其反函数在平面上进行平移时，它们的图像会以原点为中心对称。 例如，函数y=x^2与其反函数y=sqrt(x)在平移时，一个向左或向右移动，另一 个则以相反的方向移动，保持对称性。
反函数与机器学习的关系
在机器学习中，许多算法涉及到优化问题，而优化问题常常需要求解反函数。因此，进一步研究反函数 与机器学习之间的关系，有助于提高机器学习算法的效率和准确性。
THANKS
反函数课件ppt
05
CATALOGUE
反函数与对数函数、指数函数 的关系
反函数与对数函数的关系
对数函数的反函数是指数函数 。
对数函数和指数函数互为反 函数，它们的图像关于直线
y=x对称。
对数函数和指数函数在数学和 工程中有广泛的应用，例如在 计算复利、解决方程和解决优
化问题等方面。
反函数与指数函数的关系
1
指数函数的反函数是指数函数的倒数，即对数函 数。
公式法
总结词
利用反函数的公式求解
详细描述
对于一些常见的函数，如对数函数、 三角函数等，已经有了它们的反函数 的公式。通过使用这些公式，可以快 速找到反函数的值。这种方法适用于 具有标准形式的函数。
04
CATALOGUE
反函数的应用
解方程
求解方程
通过反函数，可以将方程从一种形式转换为另一种形式，从而简 化求解过程。
反函数的几何意义
01
反函数的几何意义是原函数图像 上任意一点关于y=x对称的点的 集合。
02
反函数图像上的任意一点P(a,b)， 在原函数图像上存在一个对称点 P'(b,a)，即点P和点P'关于直线 y=x对称。
反函数与原函数的图像关系
当原函数图像是单调递增时，反函数 图像也是单调递增；当原函数图像是 单调递减时，反函数图像也是单调递 减。
ABCD
非单调函数的反函数可能不存在
对于非单调函数，可能不存在反函数，或者存在 多个反函数。
离散函数的反函数可能不存在
离散函数可能没有连续的反函数。
02
CATALOGUE
反函数的图像与几何意义
反函数的图像
反函数的图像是原函数图像关于y=x对称的图形。
互为反函数图像之间的关系课件
什么样的函数存在反函数？
一一映射确定的函数
❖求反函数的一般步骤：
y= f (x)
x = f -1(y)
y= f -1(x)
注：标明反函数的定义域（即原函数 的值域）
互为反函数图像之间的关系课件
例1：求函数y=3x-2(x∈R)的反函数， 并画出原函数和它的反函数的图象。
解：由y=3x-2,
y=x²(x≥0)的反函数是
y = x(x ≥0)
互为反函数图像之间的关系课件
y=x²(x≥0) 1
y= x(x≥0) x
练习 ①画出函数y=√x(x∈[0,+∞))的图象.
好画吗? 怎样转化,用我们学过的知识来画?
先画y=x2 (x∈[0,+∞))这个我们熟悉!
y
yx
y x2
x 0 1 2 3… y 0 1 4 9…
y=x²+1(x≥0) y
y= x-1(x≥1)
o
x
y = x3 y
y=3 x
o
x
互为反函数图像之间的关系课件
y=x²+1(x≥0)
y
y=x
y= x-1(x≥1)
o
x
y = x3
y
y=x
y=3 x
o
x
互为反函数图像之间的关系课件
猜想
❖函数 y= f (x) 的图象和它的 反函数 y= f -1(x) 的图象关 于直线y=x对称
y x
x
x
0
1
4 9…
y
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2 3…
互为反函数图像之间的关系课件
y
y=3x-2
对数函数图象及性质——图象反函数
THANK YOU
感谢观看
$log_a(M^n)=nlog_aM$，$log_aM=log_bM/log_ba$等。
02
对数函数图象分析
图象形状及特点
定义域与值域
对数函数的定义域为$(0, +infty)$，值域为$(-infty,
+ty)$。
过定点
对数函数图象恒过定点$(1,0)$ 。
单调性
当底数$a>1$时，对数函数在 其定义域内是增函数；当 $0<a<1$时，对数函数在其定 义域内是减函数。
涉及两者综合应用问题
对数函数与反函数的综合应用
01
结合对数函数和反函数的性质，解决一些复杂的数学问题，如
求解方程、不等式、最值等。
图象与反函数的综合应用
02
利用对数函数的图象和反函数的性质，解决一些实际问题，如
经济学中的复利计算、物理学中的声强级计算等。
拓展应用
03
将对数函数和反函数的综合应用拓展到其他领域，如工程学、
对数函数与反函数互化方法
对于对数函数$y=log_b(x)$，其反函 数为指数函数$y=b^x$。
互化方法：将对数函数的$x$和$y$互 换，即可得到其反函数的解析式。
两者在解决实际问题中联系和应用
在解决一些实际问题时，可以利 用对数函数和指数函数的互逆关 系进行转化，从而简化问题的求 解过程。
例如，在求解复利、增长率等问 题时，可以利用指数函数进行建 模；而在求解对数方程、求解某 些特定函数的定义域等问题时， 则可以利用对数函数的性质进行 求解。
此外，在一些工程和科学计算中 ，也经常需要利用对数函数和指 数函数的互逆关系进行数值计算 和数据处理。
互为反函数的 两个函数图像间的关系
引导设问3
请画一画指数函数y 2x
的图像,并画出指数函数
和对数函数
和 ( y = (1)x 2
y = log
y
1x )
2
log
x 2
对数函数，它们的函数图像有什么关系？
y 2x的反函数是y log2 x
y
1 2
Hale Waihona Puke x 的反函数是y
log 1
2
x
有点(a,b)，那么它的反函数y=f-1(x)的图像上
必然有点(b,a)。
练习
应用 例3 函数f (x) =
ax + b (x ≥
b -)
的图象
过点（1，2），它的反函数的a 图象也过此
点， 求函数f(x)的解析式。
解： 点（1，2）关于直线y=x的对称
点为（2，1），可得函数f(x)的图象还 过（2，1）。
y
log
x 2
的图
像上吗？为什么？
引导设问5
动态演示
引导设问6
动态演示
引导设问7
由上述探究过程可以得到什么结 论？
结论
函数 y = f (x) 的图象和它的 反函数 y = f -1(x) 的图象关于 直线y=x对称。
在直角坐标系内，画出直线y=x,然后找 出下面这些点关于直线y=x的对称点，并 写出它们的坐标。
得到 2 a b，解得a=-3,b=7.
1 2a b
因此，函数的解析为 f (x) =
-3x +7(x ≥ 7)。
3
例4在同一坐标系内画出函数y （x>-3）及其反函数的图象。
互为反函数的函数图象间的关系
互为反函数的函数图象间的关系1. 引言在数学中，函数是一个关系，它将一组输入值映射到一组输出值。
互为反函数的函数是指两个函数之间存在着一种特殊的关系，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入时，两个函数所得的结果可以彼此对应，互相抵消，使得最终结果回到原先的输入。
本文将探讨互为反函数的函数图象之间的关系以及该关系的一些特点。
2. 互为反函数的定义设函数 f 和 g 为两个定义在数域 D 上的函数，如果对于任意x∈D有 g(f(x))=x和 f(g(x))=x，那么函数 f 和 g 互为反函数。
简单来说，互为反函数的函数可以互相撤销对方的操作，使得最终结果回到原先的输入。
3. 互为反函数的图象如果两个函数 f 和 g 互为反函数，那么它们的图象之间存在一些特殊的关系。
具体可以分为以下几种情况：3.1 图象对称如果函数 f 的图象关于直线 y=x 对称，则函数 g 的图象与函数 f 的图象重合。
这是因为对称性保证了将函数 f 的输出作为函数 g 的输入时，可以得到相同的结果，从而形成图象重合。
3.2 倒置关系当函数 f 的图象关于直线 y=x 倒置时，函数 g 的图象与函数 f 的图象相互倒置。
这是因为通过倒置关系，将函数 f 的输出作为函数 g 的输入时，可以得到相反的结果，从而形成图象相互倒置。
3.3 对称轴为直线 y=x如果函数 f 和 g 的图象关于直线 y=x 对称，则它们的图象在该直线上对应。
这是因为对称轴为直线 y=x 时，函数 f 和 g 可以互相抵消对方的操作，使得最终结果回到原先的输入，并保持图象在该直线上的对应关系。
4. 互为反函数的例子4.1 幂函数与对数函数幂函数和对数函数是互为反函数的经典例子。
定义在正实数集合上的幂函数f(x) = a^x 和对数函数 g(x) = loga(x) 具有以下关系：f(g(x)) = loga(a^x) = x，g(f(x)) = loga(a^x) = x。
高一反函数总结
反函数总结1、反函数的定义一般地，对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，若对于A 中的任何一个y 值，在D 中都有______________________和它对应，这样通过反解得到的x 关于y 的函数叫做函数()y f x =的反函数，记作____________,习惯上改写成____________1)反函数也是函数，因为它符合函数的定义； 2)3))(1x fy -=的反函数是_____________2、互为反函数的函数的图像关系：1）函数图像是由点构成的，由y=与y=)(1x f-互为反函数的关系可知：当y=中的x=a 时y=b ，则在y=)(1x f-中,当x=b 时y=________。
所以，如果点(,)a b 在函数y=的图像上，那么，点___________一定在函数y=)(1x f-的图像上。
2）函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x fy -=的图象关于____________对称.反之，若两个函数的图象关于________对称，则这两个函数一定是互为反函数.应用：⑴利用对称性作反函数的图像若)(x f y =的图象已作出或比较好作，那么它的反函数)(1x fy -=的图象可以由)(x f y =的图象关于直线y=x 对称而得到；⑵利用反函数的定义域求原函数的值域； 1．已知函数f (x )=x 2－1 (x ≤－2)，那么f －1(4)=______________． 2、已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 3、若点P (1，2)在函数y=b ax +的图象上，又在它的反函数的图象上，求a ,b 的值.)(x f )(x f )(x f4、已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f－1( x )的图像是( )3（1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域，在求反函数时，应先确定原函数的值域. 反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式（2）求反函数的步骤是“一解”“二换”“三注明”.所谓一解，即是首先由给出原函数的解析式y=f(x)，反解出用y 表示x 的式子x=f 1-(y)；二换，即是将x=f1-(y)中的x,y 两个字母互换，解到y=f1-(x)即为所求的反函数（即先解后换）.三注明，求出函数关系式后，一定要在后面注明定义域（千万别忘了）。
互为反函数的函数图像之间的关系及应用
mx 5 x 5 解法一：由 f ( x) 得反函数 y 2 x 1 2x m
x 5 练习5：已知函数 f ( x) 2x m 的图象关于直线y=x对称，求m的值.
x 5 mx 5 2x m 2x 1
由
令 x=0得
5 ∴m=-1 5 解法二：令x=0 则(0, m )在f(x)的图象上
-1 （x）
∴
a = －3
练习2：如果y=f（x）的图象过点（1，2），那么 y=f-1(x)–1的图象过点__________ (2,0)
分析：由y=f（x）的图象过点（1，2），知y=f (x)的 -1 -1 图像过点（2，1），而y=f (x)–1的图像是由y=f (x) -1 的图像向下平移1个单位得到的，故y=f (x)–1的图象 过点（2,0)
（1，3），且它的反函数f (x)的图像过点 （2，0），求f(x).
解： ∵f(x)的图像过点（1，3）
-1
∴a+b=3 ①
由f(x)的反函数f (x)的图像过点（2，0），可知 f(x)的图像过点（0，2） ∴1+b=2 ② 由②得b=1,将b=1代入①中得a=2
-1
f ( x) 2x 1
y x2 3
x y x y
0 -2 -2 0
0
2 3
x
0
2 3
问题：
互为反函数的两个函数的图象之间是否 具有某种对称关系? 回答：
它们的两个函数图象是以直线y=x为对 称轴的对称图形。 给出定理：
函数 y = f ( x ) 的图象与它的 反函数 y = f －1 ( x ) 的图象关于直 线 y = x 对称。
1
O
互为反函数的函数图象间的关系
反函数与原函数的 三要素之间的关系
求反函数的方法步骤：
1. 求原函数的值域；即求出反函数的
定义域；
2. 由 y = f ( x ) 反解出 x = f －1 ( y )； 即把 x 用 y 表 示Байду номын сангаас来；
3. 将 x = f －1 ( y ) 改写成
y = f －1 ( x )，并写出反函数的 定义
yx
∴函数y=3x-2(x∈R) 的反函数为 x2 -2 y=
1 -1 -1 -2 1
y
x2 3
x
x∈R
3
例3.求函数y=x3(x∈R)的反函数，并画
出原来的函数和它的反函数的图象.
解： y x x 3 y
3
y
yx
1
3
yx
y x ( x R)
3
y x
3
1
x
重要结论:
3x+2 例. 求函数 y= 的值域. x-2 ax+b 例. 求函数 y= 的值域. cx+d
ax+b a 重要结论 : y= 的值域为 y . cx+d c
互为反函数的
函数图象间的关系
例2. 求函数y=3x-2的反函数,并画 出原函数和反函数的图象.
解 ∵y=3x-2
y2 ∴x= 3
y y=3x-2
函数y=f(x)的图象和它的反函数 y=f-1(x)的图象 关于直线y=x对称。
应用思路：
已知函数的图像利用对称性可以 画出它的反函数的图像。
y=3x-2
yx
y
· · · ·
-2 -1 B (2,0)-1 -2
2 (0, ) A 1 3
反函数图像
结论3：若y f (x)有反函数y f 1(x) 则y f (x)与y f （ 1 x）互为反函数。
思考：函数y 3x 2与x y 2图像 3
关于直线y x对称吗？
答：重合；在同一坐标系 中横轴表示 自变量。
一 一对应
R y=3x-2 R
…
…
1
1
x2
4y
-2
-8
…
…
x y2
3
思考：
1.下列函数是否具有反函数？并由此 归纳具有什么条件的函数有反函数？
（1） y=x2 ； （2）y=x2 (x≤0)。
2.互为反函数的两个函数的解析式是 否一定不同？试举例说明。
思考 试问: 若函数y=f(x)图像与 y=f-1(x)图 像有交点；交点都在直线y=x上吗？
作业与练习：
(1)练习：已知函数f (x) kx b的图像 过点（1，2），它的反函数的图像过 点（4，0）试求f ( x)的解析式。
（2） 作业：p64 4, 5. (3) 金版名卷：反函数A卷
； qq红包群 / qq红包群 ；
卫,为他办事情丶""の确不简单丶"魔仙强者,起码现在还是各大势力の顶级强者,能够成为魔仙の,哪壹位不是有着极高の傲骨の丶若不是有特别の原因,绝对不会轻易给别人当护卫の丶比如自己乾坤世界中,六大世家当中,加起来就有近二十位魔仙跟随,那是因为看中自己の潜力丶而这位 神城の城主,显然也有不错の潜力,至少根汉发现了,城主府内,最少有七八位魔仙护卫,而且外面说不定还有这样の护卫丶这座传送阵是他们城主府の重中之重,根汉扫了扫旁边の两位大魔神の元灵,便知道了等壹会尔,这里便会有他们の人从浩瀚仙城中回来,他们这两位护卫是过来接人の 丶果然,等了没壹会尔,这传送阵便亮了起来丶神光壹闪,阵中出现了两个黑袍人,同样是两位魔仙护卫,又是魔仙强者丶两人出来后,几人立即围了上来,和另外两位魔仙护卫点了点头,大家交换了位置丶这两位魔仙护卫,要替换刚过来の两人,再次进入传送阵前往浩瀚仙城丶正巧方便了根汉, 他立即跟了进去,没壹会尔の功夫,根汉便来到了浩瀚仙城附近了丶他们到の并不是浩瀚仙城の主城,浩瀚仙城身为仙路上最繁华の超级古城之壹,属地足足有方圆七八亿里之巨,现在他们是在浩瀚仙城の南面,壹片乌黑の大洋上空丶现在并不是晚上,但是海水却是黑色の,再配上天空是阴暗 の,壹点蛤光都没有,看上去和晚上无异丶两位魔仙护卫,应该是经常来这里,他们城主府の运作方式便是如此丶壹次出来两到三位魔仙护卫,由他们到他们の各大驻地,收罗前壹段时间带上来の宝物,或者是人丶然后带回烈日神城,再换作另外两三位魔仙护卫出来,壹直是这样子循环往复,这 样子可以确保壹段时间内,他们烈日神城城主府,都是有货物可以拿出来拍卖の丶前面の魔仙护卫,带回去の东西,可以够壹段时间の拍卖の丶等他们拍卖完成了,下壹批魔仙护卫再这样回去丶而像这样の魔仙护卫,在他们神城城主府内,可能最少也有接近十五到二十人丶肆叁07仙城中心 『部分节错误,点此举报』这两位魔仙护卫出来之后,其中壹人沉声说："咱们先去哪个点?""不如先去南城の那个点吧,听说前段时间收了好一些曼妙の女修了,修为不错,血脉也还可以,应该可以卖个好价钱丶"另壹人说丶"去南城の话,得好几天の时间,再返回浩瀚仙城の一些点の话,会不 会晚了壹些?""不会吧,现在浩瀚仙城也查得紧,咱们晚点去也没关系,别让仙城の人给盯上了就行丶""恩,也好丶"两人商议了壹番,并没有先去浩瀚仙城,而是反道去了北面の壹座叫南城の地方丶"罢了,算你们好命了,懒得动你们丶"根汉想了想,并没有追上他们,既然浩瀚仙城の人也盯上他 们了,想必他们早晚会被拔除の丶这样子公开抓人贩卖,这些家伙の罪行,浩瀚仙城の那位紫天姐姐,想必不会坐视不理吧丶以她の那修为和实力,若是真想处理这种事情,想必不会费什么力气の丶烈日神城中の强者再多,哪也比不过浩瀚仙城の仙主呀,仙主府内,高手多如牛毛,像他们这样の 魔仙护卫,数量会是神城の十倍还多丶根汉反道前往浩瀚仙城,两天后,便来到了浩瀚仙城の外面丶远远の,壹座闪烁着神光の,巨型城池飘浮在海面上,四周大量の神光,壹道道の穿梭而至,或是从城池往外走,或是要进入这座神城丶即使是是深夜了,这座可怕の仙城,也亮如白昼,夜晚の浩瀚 仙城更加の夺目,宛若壹颗巨型の珍珠,亮人心魂丶"仙城就是仙城呀,圣城和神城,简直没法比。"光是站在这仙城外面,便能感觉到这座可怕古城带来の威严,还有厚厚の庄重感丶这座飘浮在海面上の仙城,光是面积就有方圆几百万里之巨,外面还围着八座巨型の外城,犹如八条神龙拱卫着 中间の这壹座主城丶四周不少神兽飞进飞出の,各路强者在仙城内外进进出出の,那些散发出来の神光,都在预示着,这里就是壹座超级仙城丶根汉壹晃也有近三百年,没有来过这里了,与紫天也有三百多年没有见面了丶上壹回出现在这里,还是特意来斩杀了代家の家主代渊,后来代家の人, 就全亭迁离了浩瀚仙城根汉就再也没来过这里了丶紫天虽与他有些交情,但是这些年间,也没有再与他和轩辕飞燕联系过丶根汉首先来到了浩瀚仙城の八大外城之壹,五号城丶光是这壹座五号城,面积就要比壹百个南风圣城还要大,内部の修仙者数量,更是南风圣城の数百倍了丶这壹座五号 城の修仙者,常驻修仙者,就多达二三百亿,而主城の修仙者数量更是超过了二三千亿了丶浩瀚仙城之所以叫这个名字,也是与它繁华の修行之地,繁华の建筑而闻名丶即使只是壹座外城,这五号城中の繁华,也远比烈日神城,等神城可以比拟の丶交纳了壹万灵石后,根汉得以进入五号城,想要 进入主城の话,必须要先通过八大外城の专门通道,才能够进入主城丶而且进入主城の话,通行费用,就需要高达十万灵石壹次丶进出都要付钱,若是吃饱了没事,壹年到头,不断の进进出出の话,那通行费用,都是壹笔不小の费用丶所以这五号城中の,不少修仙者,穷修仙者,可能壹辈子也没进 过几次主城丶就算是进去の话,也呆不了几天就得出来,因为那里面の消费可不是壹般の修仙者能承受得了の即使只是在主城の街道上睡马路,壹天也要被征收不少の灵石丶初到浩瀚仙城,根汉找了壹家生意不错の酒楼,点了些吃喝の坐在那里,从容不迫の扫了扫附近壹些修仙者の元灵丶" 听说了吗,明年好像仙主府の南明公主要出嫁了。""这还是什么秘密嘛,早就听说了。""要嫁北家の北陆。"’"北家の北陆呀,那家伙了不得呀,好像被称为现在年轻壹代最强者。""年纪轻轻,就已经是魔仙强者了,壹身北渊神功更是出神入化,杀人于无形。""那可不是呀,要是再娶了这南明 公主,啧啧。""北家了不得呀。"酒楼里,一些修仙者在议论这件事情,据说是仙主府の南明公主,那个有名の最美公主,明年要嫁人了丶嫁の对象,是浩瀚仙城几大世家之壹の,北家の壹个叫北陆の年轻人丶关于这个北陆,现在也是风云人物,年纪不过百,已经是魔仙强者了丶而且前段时间,还 斩杀了壹位老魔仙,壹时声名鹊起,有人说,他会是北家の继承人,更是浩瀚仙城年轻壹代の希望丶更有传言说,现在连原始仙域の一些超级势力,都向这北陆抛出了橄榄枝了,恨不得将北陆招入麾下丶有人说北家现在投靠了天盟,也有人说,他们制造了地盟,还有说是星盟,或者是仙狱等等の 丶各种传言都有,现在像这样の话题,在各大仙城还有修行神地内,都不是什么大の秘密了丶几乎人们都在讨论这些事情,因为超级仙域就快降临了,那些古老の超级势力,都在四处拉拢人丶仙城做为仙路上の权势中心,这些仙城中の各大世家,仙城の仙主们,自然就成了这些超级势力の拉拢 の对象丶所以他们以后,会投向谁方势力,也就成了众多修仙者私下里の热议话题丶根汉通过扫了不少人の元灵,也得知了这几百年间浩瀚仙城の情况,自己没来这里の三百多年间,浩瀚仙城似乎更繁华了丶仙城推出了浩瀚阁,有些类似于自己在南风圣城搞の南风社,只要为仙城仙主府,做了 壹定の贡献,就可以得到浩瀚点丶然后通过浩瀚点,可以在浩瀚阁中,兑换你想要の东西丶有道法,有兵器,还有传承,甚至还有各种天材地宝,种类比南风社还要更多の多丶因为这个浩瀚阁中,确实是可以兑换到许多好东西,为此周边不少神城,还有圣城の人员都涌入了仙城中丶尤其是前段时 间,壹些神城,还有圣城,遭到了莫名の打击,有些人为了逃命便来了仙城丶那些势力敢动圣城和神城下手,却不敢对�
函数的反函数
函数的反函数如果一个函数有反函数，那么这两个函数互为反函数。
一般说来，原函数图像是上升的，反函数的图像是下降的。
对于给定的两个函数，利用反函数与原函数之间的关系可以进行一些简单的运算。
例如：我们在计算-1/x+1/(x-1)时，可以将(x-1)看成是原函数，而把x看成是反函数。
(x-1)(-1/x+1/(x-1))0是自然对数的底数。
它是很特殊的。
除了2和4的-自然对数是无理数外，其余所有自然数都是有理数。
那么我们要求数2的-自然对数到底是多少呢？请读者参考：(x-1)^2=(-1)^22。
然后设这个数为(x-1)^2-2(x-1)^2=(-1)^2-2(-1)^2。
这样就能求出数2的-自然对数。
对于任意一个自然数a， 2^(a-1)-2^a=1，而1/2^a=1/2^a-1。
因此2^(a-1)-2^a=-1。
那么， 2^a-2^a=1/2^a-1，并且a-1/2^a=1/2^a-1，从而得出结论： 1/2^a-1/2^a=1/2^a-1。
所以， 1/2^a-1/2^a=-1/2^a-1。
“春风又绿江南岸”。
老师告诉我们，你可以把-1看成是自然对数的底，把2看成是它的倒数，那么我们就可以得到自然对数的值：-1/(1/2)=-1/2。
(请注意，在写出这个值时，我们并没有使用化简符号，但同学们不必深究。
)在复习课时，教师曾让同学们背过上面这句诗。
当时老师说：我们知道自然对数的底和倒数是0，而0又等于1/2，你能否想办法把1/2和-1的商用直线连起来？也许有人会觉得很容易。
但是老师告诉我们： 0这个符号是我们最熟悉的符号之一，而每一个1/2的平方根都表示1，所以用0的平方表示-1，得出-1/2=-1/2这个结果还是比较困难的。
“春风又绿江南岸”，作者马上联想到什么？请同学们思考一下：古人云：“解铃还须系铃人。
”哪个是解铃的人呢？也许这个问题的答案就在上面。
好吧，咱们还是回到开头的函数话题。
今天我们所学的内容，都与函数有关，所以函数既是我们的朋友，也是我们的敌人。
互为反函数的两个函数图像之间的关系
互为反函数的两个函数图象之间的关系我们先来看两个函数：指数函数y 2 x与对数函数y log 2 x .我们知道对数来源于指数，即指数与对数两者之间可以进行相互转换。
指数函数 y 2 x，若将之转化为用y 来表示 x 即：x log 2y ，将其中y作为自变量，x作为R 中与之对应的唯一的值，我们就可以把函数xlog2y（y(0,)）叫做指数函数y 2x x log y（ y (0,)）y log x（ x (0, )）的反函数，习惯上我们把函数22，记作，即底数同为 2 的指数函数与对数函数互为反函数。
根据指数与对数的性质，我们也可以知道所有同底的指数函数与对数函数均互为反函数，即指数函数y a x (a0, a1) 与对数函数y log a x (a0, a1) 互为反函数。
通常我们将原函数记作y f ( x)，反函数记作y f1(x)。
因为原函数与反函数本质是将x 与 y 互换，所以我们就可以得到：原函数的定义域就是它的反函数的值域，原函数的值域就是它的反函数的定义域。
现在请你应用所学的数学知识，通过下面几个问题来探究一下互为反函数的两个函数图象之间的关系，让我们亲自来发现其中的奥秘吧！问题 1 在同一平面直角坐标系（横、纵轴长度单位一致）中，画出指数函数y 2 x及其反函数 y log 2 x 的图象，你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？问题 2 取y 2x图象上的几个点，如P1( 1,1), P2 (0,1), P3. (1,2).P1, P2 , P3关于直线y x 的2对称点的坐标是什么？它们在的图象上吗？为什么？问题 3 如果点P（x, y ）x的图象上，那么P（ x , y ）x 的对称点000在函数y 20 0 0 关于直线y在函数 y log 2 x 的图象上吗？为什么？问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论？问题 5 上述结论对于指数函数y a x (a 0, a 1) 及其反函数 y log a x (a0, a 1) 也成立吗？为什么？通过上面的问题的探究我们可以知道互为反函数的两个函数，函数 y f ( x) 图象上的点关 于 yx 的 对称 点 一 定 是 在 yf 1 (x) 有 图 象 上 ，并 且 函 数 y f ( x) 图象 与 反 函 数yf 1 (x) 的图象关于 y x 对称 .例 1 求下列函数的反函数（ 1） yx1( x1)2x 1（ 2） y3x 解：（ 1）由 yx 1 解出 x ( y1) 2 又写成： y (x 1) 2函数 yx 1( x 1)的值域为 [ 0, )所求的反函数为 y ( x 1)2( x[ 0, )) .注意：如果不注明反函数定义域，得出y ( x1)2 是错误的 .（ 2 ） 由 y2x 1（ x 3） y 2 x 1x( y 2) 3 y 1 x3 y 1 ，改写成x3y 2y3x 1即为所求 .x 2说明：一般地，求分式函数 yaxb(c 0, ad bc) 的反函数时，直接解出 x f 1 ( y) ，cx d再改写成 y f 1 (x) 即可 .因为使所求出的解析式有意义的x 的范围，已知函数的值域 .例 2 已知函数 yax b( xb) 的图象过点 (1， 2)，它的反函数图象也过此点，求函a数 f ( x) 的解析式 .解法一：由 yaxb 得 x y 2 ba∴当 xb时， ya∴函数 yax b (xb) 的反函数是 f1( x) x2b( x 0)aa又∵点 (1，2)既在函数 f (x) 上，也在函数f1( x ) 上2a b∴有1 b 解得： a 3, b 72a∴函数 f (x) ＝ 3x7(x7 )3解法二：由互为反函数的两个函数图象间的关系以及点(1，2)关于直线 y x 的对点为 (2，1)，可以得到函数 f ( x) 的图象还过点 (2， 1)∴得到2 a b1 2 ab解得： a3, b7∴函数 f (x) ＝3x 7 (x7 )3巩固练习：1．函数 yx 2 2 x( x 0) 的反函数的定义域是（）A 、, 0B 、 0,1C 、,1 D 、[0,)2．设 f ( x)2 x 1 ( x R,x 3),则 f 1( 2) 的值等于（）4x 34A 、5 B 、2C 、2D 、5655113．设 a 0, a 1 ，函数 ylog a x 的反函数和 y log 1 x 的反函数的图象关于（）a[ 来源 :][ 来源 :]( A) x 轴对称(B) y 轴对称(C ) y x 轴对称(D ) 原点对称4．点 (a, b) 在 yf ( x)的图象上，则下列的点在其反函数图象上的是（）A. P(a, f1(a )) B. P( f1(b), b)C. P( f1(a), a)D. P(b, f 1(b))5．已知 函数 f (x) ( 1) x1 ，则 f 1( x) 的图象只可能是（）y2yyyxx1 x 2xO 11O2O1 O( A)( B)(C )( D )6．设 f ( x)x21(0x 1)，则 f 1 ( 5 )．2x ( 1 x0)47．若 y ax 6 与 y 1 x b 的图象关于直线y x对称，且点(b, a)在指数函数 f (x) 的图象3上，则 f ( x)．x1x R,且 x 18．给定实数 a，a≠0，且 a≠1，设函数y1．试证明：这个函数ax a 的图象关于直线y=x成轴对称图形．参考答案：1． A ，2． A ， 3． B， 4． D， 5．C，6．1． 7． f (x)( 3 ) x．28．证明：先求所给函数的反函数:由yx1ax1( x R, x1 ),a得y(ax－1)=x－1，即 (ay－ 1)x=y－ 1．假如 ay 10,则 y 1,代入所给函数的解析式, 得1x1 a a ax1即 ax－ a=ax－ 1，由此得 a=1，与已知矛盾，所以ay－ 1≠ 0．因此得到xy 1,其中 y1 , ay1a这表明函数 yx 1 ( x R,且 x 1)的反函数是ax 1ayx 1,( x R,且 x 1).ax1a由于函数 y=f(x) 的图象和它的反函数 y=f － 1(x) 的图象关于直线 y=x 对称，所以函数yx 1 R, 且 x1ax(x ) 的图象关于直线 y=x 成轴对称图形 .1a。
人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数 2.2 对数函数 互为反函数的两个函数图象之间的关系》示范课件_3
的值.
点评：
利用互反函数的图象关于 直线y=x对称.
2019/10/20
作业： P75 习题2.2B组:1，4，5.
2019/10/20
y=x对称.
方法：
结合这个函数的单
在PQ((m函n,,mn数)),y也证=f在明(x函P)的关数图于y调在=象直f性反(上x线数)可函任的y是=以数取图它x的说，一象自对明 且点上己称它 反.. 点存 函
举例:(1)y=x+c,
(2)y=kx－1.
2019/10/20
例3 若点P（1，2）同时在函数y＝
图象上任意一点，点Q（n，m）在哪
个函数的图象上？
将点P的坐标代入y=logax得：
n=logam 化成指数式 m=an
所以，点Q（n，m）在函数y=ax的
图像上.
2019/10/20
探究3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样 的位置关系？由此说明对数函数y=logax
的图象与指数函数y＝ax的图象有怎样
2019/10/20
探究（二）：反函数的存在性
问题1:在函数y＝x2中，若将y作自变量， 那么x与y的对应关系是函数吗？为什 么？
对比： 下列函数哪些存在反函数：
(1)y=x2(x>0);
(2)y=x2(x<－2)；
(3)y=x2(x>－2);
2019/10/20
(4)y=x3(x∈R).
探究（二）：反函数的存在性 问题2:一个函数在其对应形式上有一 对一和多对一两种，那么在哪种对应 下的函数才存在反函数？ 结论：
探究（一）：反函数的概念 一般地，由函数y=f(x)解得x=f－1(y)， 且x是y的函数(即对于每一个y值，都 有唯一的x与之对应)，那么，我们把 函数x=f－1(y)叫做函数y=f(x)的反函数.
互为反函数的函数图象间的关系课件
如果函数y=f(x)与其反函数 y=f^(-1)(x)的图象关于直线y=x 对称，则称函数y=f(x)与其反函 数y=f^(-1)(x)互为反函数。
反函数的性质
01
02
03
单值性
对于任意一个自变量x， 反函数f^(-1)(x)只有一个 因变量y与之对应。
对应性
对于任意一个因变量y， 反函数f^(-1)(x)只有一个 自变量x与之对应。
交换性
如果函数y=f(x)与其反函 数y=f^(-1)(x)的图象关于 直线y=x对称，则它们的 定义域和值域互换。
反函数的求法
代数法
通过解方程组来求反函数。首先将原 函数表示为x的函数，然后解出x，得 到反函数的解析式。
几何法
通过观察原函数的图象来求反函数的 图象。首先找到原函数的值域和定义 域，然后通过平移和对称变换得到反 函数的图象。
理解值域与定义域的互换是理解反函数的关键
掌握这一性质有助于理解反函数的定义和性质，以及如何从已知函数求得其反函数。
函数图象的交点
互为反函数的函数图象交点关于直线y=x对称
如果两个互为反函数的函数图象在某点$(a,b)$相交，那么它们必然关于直线y=x对称地 交于另一点$(b,a)$。这是因为互为反函数的两个函数满足$f(x)=y$和$f^{-1}(y)=x$，
当它们在$(a,b)$相交时，必然也在$(b,a)$相交。
交点的对称性是判断两个函数是否互为反数的重要依据
如果两个函数的图象没有交点或者交点不关于直线y=x对称，那么它们就不可能互为反 函数。
04
反函数的应用
在数学中的应用
函数性质研究
01
通过研究反函数的性质，可以深入了解原函数的性质，如单调
人教版高中数学必修一《互为反函数的两个函数图像之间的关系》
y＝loga(－x)的图象只能是图中的（
B
）
3.已知函数f(x)＝ax－k的图象过点(1，3)， 其反函数的图象过点(2，0)，则f(x)的表达 式为：
f ( x) 2 1
x
课堂小结：
（1）反函数的定义域和值域分别是原 函数的值域和定义域.
（2）图象关于直线
y x 对称.即点
(a,b)在原函数图象上，则点(b,a)必在其
探究活动一：画一画
（1）在同一直角坐标系中，画出指数函数 y 2 及其反函数y log 2 x 的图象. （2）观察函数 y 2x 的图象与函数 y log2 x 的图象之间的关系.
x
y
y 2 y x?
x
y log2 x
0
x
猜测结果：
函数 y 2 的图象与函数 y log2 x 的图
x
像可能关于直线 y x 对称.
探究活动二：算一算
1 （1）取 y 2 图象上的几个点，如 P 1 ( 1, ) , 2 y x 的对 P2 (0,1) , P3 (1, 2) , P 1, P 2, P 3 关于直线
x
称点的坐标分别是什么？
（2）算一算，这些对称点的坐标满足函数
y log2 x 的解析式吗？
反函数图象上，反之也成立.
（3）原函数与反函数具有相同的单调性.
积跬步以致千里，积怠惰以致深渊
1.01
365 365
37.8 0.03
0.99
多百分之一的努力，得千分收成
1.01 1.02
365 365
37.8 1377.4
三天打鱼，两天晒网，终将一无所获
1.01 0.99 1.01
高中数学必修一《互为反函数的两个函数图像之间的关系》优秀教学设计
互为反函数的两个函数图像之间的关系一、教材分析：本节课是《数学（1）》（人教A 版）第二章第二节后探究与发现内容，这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，可以让学生接受、理解反函数的概念，体会互为反函数的两个函数图像之间的关系，又可使学生加深对函数基本概念的理解。
二、学情分析：学生已经学习了函数的基本概念和表示法，掌握了函数的基本知识，理解反函数的概念及互为反函数的两个函数的性质和特征，更有助于学生将函数的思想理解得更透彻。
通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程.三、教学目标分析：知识与技能：（1）了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关系，由已知函数的图像作出反函数的图像。
（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。
过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反函数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程，本可采用自主探索，引导发现，直观演示等教学方法，同时渗透数形结合思想。
（3）情感态度价值观：通过图像的对称变换是学生该授数学的对称美和谐美，激发学生的学习兴趣。
四、教学重点与难点教学重点：互为反函数的两个函数图像之间的关系教学难点：反函数的定义和求法.五、教学过程设计（一）创设情景、提出问题设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t ＝s ,若以t 为自变量可得指数函数x y a =，若以s 为自变量可得对数函数log a y x =那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题.（二）师生互动、探究新知探究点一指数函数与对数函数的关系为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数2x y =及2log y x =的图象.问题1：函数2x y =及2log y x =的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？答：函数2x y =的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数2log y x =的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数2x y =的定义域和值域分别是函数2log y x =的值域和定义域.问题2 ：取函数2x y =的图象上的几个点，如：1231(1,),(0,1),(1,2),2P P P -123,,,P P P 关于直线y x =的对称点坐标是什么？它们在函数2log y x =的图像上吗？为什么？答：123,,,P P P 关于直线y x =的对称点坐标分别为'''1231(,1),(1,0),(2,1),2P P P -每个点坐标满足2log y x =，它们在函数2log y x =的图像上问题3 ： 如果点000(,)P x y 在2x y =的图象上，那么000(,)P x y 关于直线y x =的对称点坐标是什么？它在函数2log y x =的图像上吗？为什么？答：利用对称性可知000(,)P x y 关于直线y x =的对称点坐标分别为'000(,)P y x ，因为002x y =，所以020log x y =，即点'000(,)P y x 在函数2log y x =的图像上。
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=
x
1 +
3
y f(x) y=x
o
x
f-1(x)
由几何性质可直接做一个函数的反 函数图象，而不必先求出其反函数。
3、 函数 f (x) =
ax + b (x
≥
-
b )
a
的图象过点
（1，2），它的反函数的图象也过此点，
求函数f(x)的解析式。
解： 点（1，2）关于直线y=x的对称
点为（2，1），可得函数f(x)的图象还
o
1
x
x = y 。因此，函数
y=x²(x≥0)的反函数是 y = x (x ≥0)
y
y=3x-2
o
y
y=x²(x≥0)
x+2 y=
3 x
-1 o 1
y = x (x ≥ 0)
x
y
y=3x-2
o
y=x x+2
y= 3
x
y
y=x²(x≥0)
y=x
y = x (x ≥ 0)
-1 o 1
x
y=x²+1(x≥0) yFra bibliotek过（2，1）。
得到 2 a b，解得a=-3,b=7.
1 2a b
因此，函数的解析为 f (x) =
-3x +7(x ≥ 7)。
3
课堂小结
互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x对称。
性质的应用：
（1）由几何性质可直接做一个函数的反 函数图象，而不必先求出其反函数。
（2）点A（a，b）在函数y=f(x)的图象
A（2，3），B（1，0），C（-2，-1），D（0，-1）
y
A
y=x
A´(3,2)
B´
D C
oB D´
C´
A´
x
B´(0,1) C´(-1,-2) D´(-1,0)
点A（a，b）在函数y=f(x)的
图象上
点B(b，a)在其反
函数f -1（x）的图象上。
2、在同一坐标系内画出函数 y （x>-3）及其反函数的图象。
上
点B(b，a)在其反函数f -1（x）
的图象上。
课后作业 Ｐ６４－习题２.４－４、５
y = x -1(x ≥1)
o
x
y = x3 y
y=3 x
o
x
y=x²+1(x≥0)
y
y=x
y = x -1(x ≥1)
o
x
y = x3
y
y=x
y=3 x
o
x
结论
函数 y = f (x) 的图象和它的 反函数 y = f -1(x) 的图象关于 直线y=x对称。
1、在直角坐标系内，画出直线y=x,然 后找出下面这些点关于直线y=x的对称点， 并写出它们的坐标。
复习回顾
什么样的函数存在反函数？
一一映射确定的函数
求反函数的一般步骤：
y = f (x)
x = f -1( y)
y = f -1(x)
注：标明反函数的定义域（即原函数 的值域）
互为反函数 的函数图象 间的关系
例1：求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并 画出原函数和它的反函数的图象。
解：由y=3x-2,
得 x= y+2 。 3
因此，函数y=3x-2
y
y=3x-2
x+2 y=
3
o
x
(x∈R)的反函数是
y = x+2 (x∈R)
3
例2：求函数y=x²(x≥0)的反函数，并
画出原函数和它的反函数的图象。
y
y=x²(x≥0)
解：由y=x²，得 x =± y。
y = x (x ≥0)
由于 x≥0，故得
-1