互为反函数的函数图像之间的关系

-1
练习3：如果一次函数y=ax+2与y=3x-b的图象关于 直线y=x对称，求a,b的值
解：据题意， y=ax+2与y=3x-b互为反函数，
xb y=3x-b的反函数为： y ( x R ), 3
xb ax 2 , 3
1 比较系数得： a , b 6 3
x f ( x ) a b 的图像经过点 练习4：已知函数
y x2 3
x y x y
0 -2 -2 0
0
2 3
x
0
2 3
问题：
互为反函数的两个函数的图象之间是否 具有某种对称关系? 回答：
它们的两个函数图象是以直线y=x为对 称轴的对称图形。 给出定理：
函数 y = f ( x ) 的图象与它的 反函数 y = f －1 ( x ) 的图象关于直 线 y = x 对称。
-1 （x）
∴
a = －3
练习2：如果y=f（x）的图象过点（1，2），那么 y=f-1(x)–1的图象过点__________ (2,0)
分析：由y=f（x）的图象过点（1，2），知y=f (x)的 -1 -1 图像过点（2，1），而y=f (x)–1的图像是由y=f (x) -1 的图像向下平移1个单位得到的，故y=f (x)–1的图象 过点（2,0)
2 a b 1 2a b
解得，a=－3，b=7
例4、求证：函数 y x (x 1) 的图 象关于直线y=x对称. x 1
x 证明： y x 1
yx
∴yx-y=x
y
－1
y x (y-1)x=y y 1 x ∴函数 y (x 1) x 1 x (x 1) 的反函数为 y x 1
3( x a ) 1 3a 1 3a 又y 3 xa xa 1 ax 1 f ( x) ( x 3) x3
≠3
2）由题 函数图象关于 y = x 对称 可知 f（x）的反函数是它本身即
3 x 1 1 ax xa x3
f （x） = f
二、讲授新课
首先我们来研究互为反函数的函数图像间的关系 例1 、求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并且画 出原来的函数和它的反函数的图象。 y=3x-2 解： ∵y=3x-2 yx
∴x=
y 2 3
y
函数y=3x-2(x∈R)的反函数为y=
x2 （x∈R) 3
1 -2 -1 -1 -2 1
-2 -1 1 -1 -2 1
y f 1 ( x) x2 3
y=f(x)=3x-2
y2 x f 1 ( y ) 3 y
yx
x
例2 、求函数y=x3(x∈R)的反函数，并画 出原来的函数和它的反函数的图象. 3 3 (x R) ， y x 由函数 解： yx y x y 3 得 x y 3 所以函数 y x
m
由已知f(x)的反函数是自身
5 5 m
5 5 ∴( , 0)在f(x)的图象上， -5=0 m m ∴m=-1
三、课堂小结
1、函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y = f ( x ) 的图 象关于直线 y = x 对称。 2、函数y=f(x)与函数y=f -1(x)互为反函数，图像关于直线 -1 y = x对称；函数y=f(x)与函数x=f (y)为互为反函数，图 -1 -1 像相同。函数y=f (x)与函数x=f (y)是同一函数，图像 关于直线y=x对称 3、利用对称性画出已知图象的函数的反函数的图象
1
O
1
－1
x
即：函数 y
注：如果一个函数的反函 数就是它本身，那么这个函 的反函数是该函数自身 数的图象关于y = x 对称； ∴函数 y x (x 1) 反之，如果一个函数的图象 x 1 关于y = x 对称，那么这个 的图象关于直线y=x对称 函数的反函数就是它本身。
x (x 1) x 1
mx 5 x 5 解法一：由 f ( x) 得反函数 y 2 x 1 2x m
x 5 练习5：已知函数 f ( x) 2x m 的图象关于直线y=x对称，求m的值.
x 5 mx 5 2x m 2x 1
由
令 x=0得
5 ∴m=-1 5 解法二：令x=0 则(0, m )在f(x)的图象上
注：1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，并未经
过严格证明，为不增加难度，现在不作证明。 2）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（x轴）与纵轴
（y轴）长度单位一致的情况下得出的。
3）函数y=f(x)与函数y=f－1(x)互为 反函数，图像关于直线y = x对称； 函数y=f(x)与函数x=f－1(y)互为 反函数，图像相同。 函数y=f-1(x)与函数x=f-1(y)是 同一函数，图像关于直线y=x对称 4）如果两个函数的图象 关于y = x 对称，那么 这两个函数互为反函数；
4、如果两个函数的图象关于y = x 对称，那么这两个函数 互为反函数； 5、如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数的 图象关于y = x 对称；反之，如果一个函数的图象关于y = x 对称，那么这个函数的反函数就是它本身。
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四、布置作业：课本：习题2.4 3,4,5
2004年10月21日
高一数学多媒体演示课
让梦想腾飞的余江一中
互为反函数的函数图像之间的 关系及应用
余 江 一 中 新 校 园 ︱ 学 生 餐 厅
授课教师：余江一中
寿青文
一、复习提问：
1.叙述反函数的定义：
一般地，函数y=f(x)(xA )中,设它的值域为C,我们 根据这个函数中x,y的关系, 用y把x表示出来得到x = (y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x = (y)在A中 都有唯一的值和它对应，那么, x = (y)就表示y是自变 量,x是自变量y的函数，这样的函数x = (y),(yC)叫 做函数y=f(x) ,(xA)的反函数，记作 x = f 1(y) -1 字母x、y互换，得 y=f (x)
例5、已知函数 f ( x ) = 1）求 f ( x ) 的反函数；
3x 1 1 ( x a, a ) xa 3
2）若这个函数图象关于 y = x 对称，求 a 值。
解： 1)由y
3x 1 1 ay x a yx ay 3 x 1 x y 3
(x R)的反函数是：
y 3 x ( x R)
注：当已知函数y=f（x）
的图象时，利用所学定理，
作出它关于直线y=x对称的 图象，就是反函数y=f－1（x） 的图象。
3 y x
x
练习1： 画出函数y=x2(x∈[0,+∞))的图象，再 利用对称性画出它的反函数的图象. yx 2 y yx
x
y
Baidu Nhomakorabea
0
0
1
1
2
4
3 …
9 …
y x
x
x y
0 0
1 1
4 2
9 … 3 …
然后我们利用互为反函数的函数图像间 的关系来解决相应问题
例3、若点P（1，2）在函数 y ax b 的图象 上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值。 解：由题意知，P（1，2）在函数 y ax b 的反函 数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线 y=x对称的性质知，点P1（2，1）也在函数 y ax b 的图象上。因此，得
y+1 例如：函数x= 是函数y=3x-1的反函数。 3
2、求反函数有哪些基本步骤？
求反函数的基本步骤：
⑴.由y=f(x)出发，用y表示x,解出x = f1(y);
⑵.将x，y互换得到y = f1(x);
⑶.指出反函数的定义域（即原函数的值域).
反解
互换
写出定义域
3、点P(a,b)关于直线y=x对称的对称点P′的 （b, a.） 坐标为 （即横坐标与纵坐标对换位置） 4、函数y=2x2-3(x∈R)有没有反函数？为什 么？如何改写定义域才能使其有反函数？ 解：函数y=2x2-3(x∈R)没有反函数； 因为它不是由一一映射构成的函数； 当把定义域改写为[0,+∞)或(-∞,0]时 它才有反函数.
（1，3），且它的反函数f (x)的图像过点 （2，0），求f(x).
解： ∵f(x)的图像过点（1，3）
-1
∴a+b=3 ①
由f(x)的反函数f (x)的图像过点（2，0），可知 f(x)的图像过点（0，2） ∴1+b=2 ② 由②得b=1,将b=1代入①中得a=2
-1
f ( x) 2x 1