互为反函数的两个函数图象之间的关系

互为反函数的两个函数图象之间的关系

问题1（祥见页面1——“画图象”）

在同一平面直角坐标系中，画出函数x

y 2=及其反函数x y 2log =的图象。

操作步骤：

1． 打开新绘图，单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，

在“新建函数”对话框内依次单击2,^,x ，这些均

在函数编辑器上，单击[确定]后立即出现函数x y 2=的图象。把上述图象设置成粗线，并选择

一种颜色。（选中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]

中的粗线。）

2． 单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，在“新建函数”

对话框内依次单击ln,(,x,),/,ln,(,2,),ln 在函数编辑

器的函数选择菜单上，如图1，单击[确定]后立即

出现函数x y

2log =的图象。把上述图

象设置为粗线 ，并选择一种颜色。（选

中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]中的

粗线。）

3． 屏幕上出现图象2。让学生观察上述图

象，发现它们的对称关系。

问题2

操作步骤：

4． 单击[图表]菜单中的[绘制点]，出现绘制点对

话框，如图3。在直角坐标处分别输入-1，0.5，

单击[绘制]，就在屏幕上出现一个点。再分别

输入0，1，单击[绘制]，屏幕上又出现一个点，

再分别输入1，2，单击[绘制]，屏幕上又出现

一个点，单击[完成]。在x y 2=的图象上出现了

三个点，选择[文本工具]，将上述三个点的标签

分别改为P 1，P 2，P 3。如图4。

5． 绘制点（1，1），选择[直线工具]，过原点和（1，

1）点绘制直线，选择[文本工具]，将直线标签

为“x y =”，并双击直线x y =，即将直线

x y =[标记镜面]，用[选择箭头工具]同时选中

P 1，P 2，P 3，单击[变换]菜单中的[反射]，屏幕上出现它们的对称点，用[文本工具]分别将它们P 1/，P 2/，P 3/。 6． 用[选择箭头]同时选中P 1，P 2，P 3，单击[度量] 菜单中的[坐标]，屏幕上出现图5；用[选择箭头工具]同时选中P 1/， P 2/，P 3/单击[度量]菜单中的[坐标]，屏幕上出现图6。 P 3: (1.00， 2.00)P 2: (0.00， 1.00)P 1: (-1.00， 0.50)P'3: (2.00， 1.00)P'2: (1.00， 0.00)P'1: (0.50， -1.00)

7． 学生既可以从点的位置上形象的看到点P 1/， P 2/，P 3/均落在函数x y 2log =的图象上；

也可以利用点的坐标验证点P 1/， P 2/，P 3/均落在函数x y 2log =的图象上。

问题3

8． 用[选择箭头工具]选中x

y 2=

的图象，单击[构造]菜单中的[对

象上的点]，用[文本工具]给点标

签为P 0，再用[选择箭头工具]选

中点P 0，单击[度量]菜单中的[坐

标]，屏幕上出现P 0的坐标。

9． 画出点P 0关于直线x y =的对

称点P 0/，并度量出它的坐标。

发现点P 0/也在函数x

y 2log =的图象上。

10． 单击[编辑]菜单中的[操作

类按扭]，单击[动画]，出现图7，

单击[确定]。屏幕上出现[运动点]

按扭，单击按扭点P 0与P 0/同时在各自的曲线上运动或停止。可以清楚得看到P 0/始终落在函数x y 2log =的图象上。

11． 可以先将函数x y 2log =的图象隐藏，将P 0/点设置追踪点（单击[显示]菜单中的[追

踪点]）。当点P 0/随点P 0的运动而运动时会留下痕迹；再显示x y 2log =的图象，发现点P 0/的痕迹与x y 2log =的图象重合。

12． 或同时选中P 0与P 0/，单击[构造]菜单中的[轨迹]，立刻得到点P 0/的轨迹与

x y 2log =的图象重合。

问题4

由上述探究过程都可以得到以下结论：函数x

y 2=及其反函数x y 2log =的图象关于直线x y =对称。

（问题2、3、4祥见页面2——“对称点”）

问题5（祥见页面3——“a 变化”）

13． 单击[图表]菜单中的[建立坐标系]，屏幕上出现一个平面直角坐标系，用[直线工具]

画一条过原点和（5，0）点的线段，用[选择箭头工具]选择线段，单击[构造]菜单中的[射线上的点]，在线段上出现一个点，点的标签为A ，单击[度量]菜单中的[横坐标]，屏幕上出现x A =3.36,利用[文本工具]将标签改为a 。

14． 单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，在“新建函数”对话框内依次单击a ,^,x ，其中

^,x 在函数编辑器上，a 在屏幕上，单击[确定]后立即出现函数x

a y =的图象。把上述图

象设置成粗线，并选择一种颜色。（选中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]中的粗线。）

15． 单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，在“新建函数”对话框内依次单击ln,(,x,),/,ln,(,

a ,),ln 在函数编辑器的函数选择菜单上，a 在屏幕上，其他在函数编辑器上，单击[确定]后立即出现函数x y a log =的图象。把上述图象设置成粗线 ，并选择一种颜色。（选中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]中的粗线。）

16． 选中点A ，单击[编辑]菜单中的[操作类按扭]中的[动画]，出现对话框，单击[确定]，

出现[运动点]按扭，选择[文本工

具]，将按扭标签改为“运动点A ”，

单击按扭，点A 在线段上运动，

函数图象也跟着动。再画直线

x y =，让学生观察上述图象，发

现它们的对称关系。

17． 重复上述第8，第9，第10

三个步骤，得到图8，单击[运动

点A]或单击[运动点B]按扭，也可

同时单击这两个按扭，让学生观

察，点B 与点B /的坐标的变化情

况。从而进一步验证了上述结论对

于（1,0≠>a a ）的情况下仍然成立。

18． 验证两个互为反函数的图象关于x y =对称

任取x y =图象上的一个点B ，在度量出 B 的横坐标和纵坐标B B y x ,，再依次点击B B x y ,，再单击[图表]菜单中的[绘制点]，即绘制点B 关于 x y =的对称点C ，单击[显示]菜单中的[追踪点]，让点B 在x y =上运动，可以发现点C 的轨迹与x a y =的反函数x y a log =的图象重合。画出过点B 与点C 的线段，单击[构造]菜单中的[线段的中点]，单击[文本工具]，将中点的标签记为点M ，单击[度量]菜单中的[坐标]，得点M 的坐标，单击[构造]菜单中的[轨迹]，当B 运动时，发现M 在直线x y =上运动。

上述作图过程一般是随堂进行，若事先作好上课时直接应用，则可以制作一些隐藏与显示按扭（具体见课件）。