互为反函数的两个恒等式

1[()]f f x x -=与1[()]f f x x -=的证明及在解题中的妙用

函数()(,)y f x x A y B =∈∈存在反函数的充要条件是()y f x =为从A 到B 的一一对应。若()(,)y f x x A y B =∈∈存在反函数，且其反函数为1()(,)y f x x B y A -=∈∈，则有恒等式：1[()]f f x x -=，1[()]f f x x -=。 简证：设函数()(,)y f x x A y B =∈∈

对任意x A ∈，有点(),()x f x 在()y f x =的图像上，且点(),()x f x 关于直线y x =的对称点为()(),f x x

由互为反函数的两函数的性质可知：点()(),f x x 必在其反函数1()(,)y f x x B y A -=∈∈上

故有1[()]f f x x -=()x A ∈

同理可证，对x B ∀∈，有1[()]f f x x -=()x B ∈

这两个关系式，如实反应了互为反函数的两个函数之间自变量与函数值的特殊关系，如能准确把握，可对解题起到事半功倍之效。

一. 解图像问题

例 1.若函数()y f x =其反函数为1()y f x -=，则函数()y f x =与函数1()y f x -=-的图像（ ）

A .关于x 轴对称

B .关于原点对称

C .关于直线y x =对称

D .关于直线y x =-对称 解析：将1()y f x -=-等价变形，化为1()y f x --=-

两边同取对应法则f ，得：1()[()]f y f f x x --=-=-，即()x f y -=- 原题即是判断()x f y -=-与函数()y f x =的图像关系。而函数()x f y -=-可看成函数()y f x =通过以下变换得到：分别以,y x --代换()y f x =中的

,x y ，所以函数()y f x =与函数1()y f x -=-的图像关于y x =-对称。 例2.已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，将函数()y f x =经过怎样的变换，可得到函数1(1)2x f y -=++的图像（ ）

A .作函数()y f x =关于直线y x =的对称图形，再向左平移2个单位。

B .先将函数()y f x =的图像右移2个单位，再下移1个单位，最后做关于y x =的对称图像。

C .先将函数()y f x =图像右移2个单位，再下移1个单位。

D .先将函数()y f x =的图像左移2个单位，再上移1个单位。 解析：将1(1)2x f y -=++等价变形，1(1)2x f y -=++化为12(1)x f y --=+，两边同取对应法则f ，得：(2)1f x y -=+，即(2)1y f x =--，它的图像与1(1)2x f y -=++完全相同，故选C 。

二. 求抽象函数的反函数

求抽象函数的反函数，因为没有具体的函数表达式，所以不能按照求具体函数（有表达式）的一般方法求其反函数，但无论是具体函数还是抽象函数，求其反函数的关键乃是：1.将f 变成1f -（或将1f -变成

f ）

；2.交换,x y 的位置；3.写出定义域，故可利用上述关系求抽象函数的反函数。

例3.若函数1()y f x -=是()y f x =的反函数，则(2)y f x =+的反函数的解析式为（ ）

A .1(2)y f x -=+

B .1()2y f x -=-

C .1(2)y f x -=-

D .1()2y f x -=+

解析：对(2)y f x =+两边同取对应法则1f -，得：1()2f y x -=+，即

1()2x f y -=-，互换,x y 得1()2y f x -=-，即为所求函数解析式。 例4.若函数()y f x =的反函数的图像与函数()y g x =的图像(),a b 图像对称，则()y g x =的反函数的解析式为（ ）

A .()y f x a b =--

B .2(2)y b f a x =--

C .()y f x b a =--

D .2(2)y a f b x =--

解析：由1()f x -与()y g x =的图像关于点(),a b 对称，可求出()y g x =，再用恒等式求其反函数。本题即是求与1()y f x -=关于点(),a b 对称的函数的反函数问题。

1()y f x -=关于点(),a b 对称的函数解析式即以2,2a x b y --代换1()y f x -=中的,x y ，得12(2)b y f a x --=-，两过同取对应法则f 得(2)2f b y a x -=-， 互换,x y 的位置得2(2)y a f b x =--即为所求。

三. 求函数的值

例5.已知函数23()1

x y f x x +==-，若()y g x =与1(1)y f x -=+的图像关于直线y x =对称，求(3)g 的值。

解析：如按照一般的解题思路我们有以下过程：11()()(1)()(3)y f x y f x y f x y g x y g --=→=→=+→=→=，运算过程复杂且易出错，若由关系式1[()]f f x x -=直接求出1(1)y f x -=+的反函数表达式（即()y g x =）后求值，则可以大大减小运算量，而且过程简洁明了。由1(1)y f x -=+两边同取对应法则f 得：()1f y x =+，将,x y 互换得1(1)y f x -=+的反函数的表达式()()1g x y f x ==-，故有7(3)(3)12g f =-=