数学分析第三版-不定积分的概念
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数学分析
数学与信息科学学院罗仕乐
第八章不定积分8.1 不定积分的概念与基本积分公式8.2 换元积分法
8.3 分部积分法
8.4几类特殊函数的不定积分
8.1 不定积分的概念和基本积分
公式
第八章第1节
例 ()x
x cos sin ='
x sin 是x cos 的原函数.
())
0(1
ln >='
x x x x ln 是x
1
在区间),0(+∞内的原函数.
如果在区间I 内，定义1： 可导函数)(x F 的
即I x ∈∀，都有)
()(x f x F ='或dx x f x dF )()(=，那么函数)(x F 就称为)
(x f 导函数为)(x f ，或dx x f )(在区间
I 内原函数.一、原函数与不定积分的概念
原函数存在定理：
如果函数)(x f 在区间
I 内连续，简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？
例 ()x
x cos sin ='
()x
C x cos sin ='
+（ 为任意常数） C
那么在区间I 内存在可导函数)(x F ，
使I x ∈∀，都有)()(x f x F ='.(2) 若不唯一它们之间有什么联系？
关于原函数的说明：
（1）若 ，则对于任意常数 ，
)()(x f x F ='C C x F +)(都是)(x f 的原函数.
（2）若 和 都是
的原函数， )(x F )(x G )(x f 则 C x G x F =-)()(（ 为常数）
C 证 []
)()()()(x G x F x G x F '-'='
-
)()(=-=x f x f C x G x F =-∴)()(（
为常数） C
根据定义，如果 F (x ) 是 f (x ) 的一个原函数，则
dx x f )(⎰
=F (x )+C ， 其中 C 是任意常数，称为积分常数。
二、不定积分
定义2 函数f (x )的所有原函数称为f (x )的不定积分，
记作 dx x f )(⎰。
任意常数
分号
被积函数
C
x F dx x f +=⎰
)()(被积表达式
分变量
不定积分的相关名称：
⎰ ———叫做积分号， f (x ) ——叫做被积函数， f (x )dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量。
第八章第1节
如果F (x )是f (x )的一个原函数，则dx x f )(⎰=F (x )+C 。
x <0时，[ln(-x )]'x 1)1(1=-⋅-=，x dx x +-=⎰)ln( 1(x <0)。 C x dx x
+=⎰||ln 1
(x ≠0)。
1 因为(sin x )'=cos x ，所以C x xdx +=⎰sin cos 。
C x 解：当x >0时，(ln x )'1=，C x dx x
+=⎰ln 1
(x >0)；
x
n(-x )]'x x 1)1(1-⋅-=，x dx x +-=⎰)ln( 1(x <0)。 ln(-x )]'x 1)1(1=-⋅-=，C x dx x +-=)ln( 1(x <0)。 例1． 例2 因为(x 3
)' =3x 2
，所以x dx x +=⎰3
2
3。
2． 例3 求函数x x f 1)(=的不定积分。 3．
解：
例4．求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x 的曲线方程。
解：设所求的曲线方程为 y =f (x )，则 y ' =f '(x ) =2x ， 即f (x )是2x 的一个原函数。
因为所求曲线通过点(1, 3)， 故 3=1+C ，C =2。 于是所求曲线方程为 y =x 2+2。
-2 -1 O 1 2
x -2
-1
1
2 y
y =x 2+2
y =x 2
(1, 3) ． 因为C x xdx +=⎰2
2，
所以y =f (x )=x 2+C 。
实例 μμμx x ='
⎪⎭
⎫ ⎝⎛++11
.
11
C x dx x ++μ=⇒+μμ
⎰启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式.
)
1(-≠μ四、 基本积分公式
基本积分表
⎰+
=k
C
kx
kdx(
)1(是常数);
);
1
(
1
)2(
1
-
≠
μ
+
+
μ
=
+
μ
μ
⎰C
x
dx
x
;
ln
)3(⎰+
=C
x
x
dx
说明：⇒
>,0
x,
ln
⎰+
=C
x
x
dx
='
-
<])
[ln(
,0x
x,
1
)
(
1
x
x
x
='
-
-
,
)
ln(
⎰+
-
=
⇒C
x
x
dx
,
|
|
ln
⎰+
=
∴C
x
x
dx
简写为.
ln
⎰+
=C
x
x
dx