数学分析第三版-不定积分的概念
数学分析不定积分知识点总结
数学分析不定积分知识点总结不定积分是数学分析中的一个重要概念，它是微积分学的基础内容之一。
理解和掌握不定积分的相关知识对于进一步学习高等数学以及解决实际问题都具有重要意义。
下面我们将对不定积分的知识点进行详细总结。
一、不定积分的定义如果在区间\（I\）上，＼（F'（x) ＝ f(x)＼），则称\（F(x)＼）是\（f(x)＼）在区间\（I\）上的一个原函数。
＼（f(x)＼）的原函数的全体称为\（f(x)＼）在区间\（I\）上的不定积分，记为\（＼int f(x)dx\）。
二、基本积分公式1、＼（＼int kdx ＝ kx ＋ C\）（＼（k\）为常数）2、＼（＼int x^n dx ＝＼frac{1}｛n ＋ 1}x^｛n ＋ 1} ＋ C\）（＼（n ＼neq －1\））3、＼（＼int ＼frac{1}｛x}dx ＝＼ln|x| ＋ C\）4、＼（＼int e^x dx ＝ e^x ＋ C\）5、＼（＼int a^x dx ＝＼frac{1}｛＼ln a}a^x ＋ C\）（＼（a ＞0\），＼（a ＼neq 1\））6、＼（＼int ＼sin x dx ＝＼cos x ＋ C\）7、＼（＼int ＼cos x dx ＝＼sin x ＋ C\）8、＼（＼int ＼sec^2 x dx ＝＼tan x ＋ C\）9、＼（＼int ＼csc^2 x dx ＝＼cot x ＋ C\）10、＼（＼int ＼sec x ＼tan x dx ＝＼sec x ＋ C\）11、＼（＼int ＼csc x ＼cot x dx ＝＼csc x ＋ C\）这些基本积分公式是进行积分运算的基础，必须牢记。
三、不定积分的性质1、函数的和的不定积分等于各个函数不定积分的和，即\（＼int f(x) ＋ g(x)dx ＝＼int f(x)dx ＋＼int g(x)dx\）。
2、常数乘以函数的不定积分等于常数乘以该函数的不定积分，即\（＼int kf(x)dx ＝ k\int f(x)dx\）（＼（k\）为常数）。
不定积分的概念和计算方法
不定积分的概念和计算方法不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数的原函数。
在这篇文章中，我们将讨论不定积分的定义、性质以及常见的计算方法。
一、不定积分的定义不定积分是求解函数的原函数的过程。
设函数f(x)在区间[a, b]上可积，F(x)是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。
则称函数F(x)在[a, b]上的不定积分为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数，称为积分常数。
不定积分的定义告诉我们，不定积分的结果是一个函数，它是原函数F(x)和一个常数C的和。
这个常数C的取值是不确定的，因此称之为积分常数。
二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，k为常数，则有∫[kf(x) + g(x)]dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
这个性质说明不定积分具有线性运算的特点。
2. 反向性质：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x) + C也是f(x)的原函数，其中C为常数。
这个性质告诉我们，不定积分具有反向运算的特点。
3. 初等函数性质：初等函数的导函数可以通过不定积分求得。
例如，导函数为常数函数的函数，在不定积分中可以得到一个线性函数。
三、不定积分的计算方法计算不定积分的方法有很多种，下面介绍一些常见的方法：1. 基本积分法：根据导函数与原函数的关系，可以求出一些基本函数的不定积分。
例如，∫x^n dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n为非负整数。
2. 分部积分法：对于乘积函数的不定积分，可以通过分部积分法进行求解。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)为可导函数。
3. 代换法：对于一些复杂的函数，可以通过代换法进行不定积分的计算。
代换法的基本思想是用一个变量替换原函数中的某一部分，使得原函数的形式变得简单，然后再进行不定积分的计算。
不定积分概念及公式
不定积分概念及公式5．1不定积分的概念⼀．原函数的概念定义1：设)(x f 是定义在区间上的已知函数，若存在⼀个函数)(x F 对于该区间上的每⼀点都有：)()(x f x F ='或dx x f x dF )() (=。
则：)(x F 为)(x f 的⼀个原函数。
例：,3)(23x x ='则：3x 是23x 的⼀个原函数，另外由于 2323233)3(,3)1(,3)1(x x x x x x ='+='-='+，。
即：,3,1,1333+-+x x x 。
等等也都是23x 的原函数。
即：C x +3（C 常数）全为23x 的原函数。
所以，有下⾯定理。
定理：⼀个函数)(x f ，若有⼀个原函数)(x F ，则必有⽆穷多个。
⽽这写原函数只相差⼀个常数。
C x F +)(是)(x f 的全体原函数。
例：设x e x cos -是)(x f 的原函数，求：)(x f '。
解：由原函数概念可知，若x e x cos -是)(x f 的原函数则有 )(sin )cos (x f x e x e x x =+='-，所以 =')(x f )sin ('+x e x =x e x cos +⼆．不定积分的定义定义2。
设函数)(x F 为函数)(x f 的⼀个原函数，则)(x f 的全部原函数C x F +)(（C 为任意常数）称为函数)(x f 的不定积分。
记作：?dx x f )(。
即：?dx x f )(C x F +=)(。
)(x f ：被积函数，dx x f )(：被积表达式，x ：积分变量，?：积分号，C ：积分常数。
存在原函数的函数为：可积函数。
求已知函数的不定积分，只要求出它的⼀个原函数，再加⼀个C （任意常数）。
例：求积分dx x ?23解：233)(x x ='∴dx x ?23C x +=3例：求积分?xdx cos解： x x cos )(sin ='∴ ?dx cos C x +=sin例：求积分dx e x ?解： x x e e =')(∴ dx e x ?C e x +=例：求积分dx x1 解： (xx 1)ln ='，)0(>x )0(,1)1(1])[ln(<=-?-='-x xx x dx x1C x +=ln 不定积分?（互逆）求导数。
不定积分的概念
一、原函数的概念
原函数的概念
对于定义在区间I上的函数f ( x)若对 x I , 有 F( x) f ( x)
则称 F ( x) 是 f ( x) 在 区间I上的一个原函数
例1 sin x cos x
ln x 1
x
被积函数 被积函数
积分变量 任意常数
说 明
二、不定积分的概念
例1 求 2xdx
解：因为 (x2 ) 2x 所以x2是2 x一个原函数。
因此 2xdx x2 c
例2
求
1 dx 1 x2
解：因为 arcsin x
1
1
1 x2 所以 arcsin x是 1 x2 的一原函数
因此
1 dx arcsin x c 1 x2
不定积分的概念
不定积分的概念
一 原函数的概念 二 不定积分的概念 三 不定积分的几何意义
不定积分的概念
回顾微：分学的基本问题是“已知一个函数，何求它的导数。” 那么, 如果已知一个函数的导数, 要求原来的函数, 这类 问题, 是微分法的逆问题， 这就产生了积分学。 提出这样的逆问题，是因为它存在于许多实际的问题中，例 如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处 的切线斜率（或斜率所满足的某一规律），求曲线方程等等。
二、不定积分的概念
不定积分与微分的关系
微分运算与 积分运算互 为逆运算
先积后微 形式不变
先微后积 差一常数
三、不定积分的几何意义
若F(x)是f(x)的一个原函数，则 称y= F(x)的图形为f(x)的积分曲线。 于是f(x)的不定积分在几何上表示f(x) 的某一积分曲线沿纵轴方向任意平 移所得一切积分曲线组成的曲线簇。
数学分析8.1不定积分概念与基本积分公式
数学分析8.1不定积分概念与基本积分公式第八章不定积分1 不定积分概念与基本积分公式一、原函数与不定积分定义1：设函数f与F在区间I上都有定义，若F’(x)=f(x), x∈I，则称F为f在区间I上的一个原函数.定理8.1：若函数f在区间I上连续，则f在I上存在原函数F，即F’(x)=f(x), x∈I.定理8.2：设F是f在区间I上的一个原函数，则1、F+C也是f在I上的原函数，其中C为任意常量函数；2、f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.证：1、依题意F’=f，则当C为常量函数时，(F+C)’=F’=f，得证.2、设F,G是f在I上的任意两个原函数，则有(F-G)’=F’-G’=f-f=0.根据拉格朗日中值定理推得：F-G≡C, C为常量函数.定义2：函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作：∫f(x)dx，其中称∫为积分号，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量.注：若F是f的一个原函数，则f的不定积分是一个函数族{F+C}, C为任意常数，写作：∫f(x)dx=F(x)+C. 其中C为积分常量. 于是有：[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x)；d ∫f(x)dx=d[F(x)+C]=f(x)dx.不定积分的几何意义：若F 是f 的一个原函数，则称y=F(x)的图象为f 的一条积分曲线. 所以f 的不定积分在几何上表示f 的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族。
显然，在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行。
注：在求原函数的具体问题中，先求出全体函数，然后从确定一个满足条件y 0=F(x 0)(称为初始条件)的原函数，确定积分曲线族中通过点(x 0,y 0)的那一条积分曲线.二、基本积分表：1、∫0dx=C ；2、∫1dx=∫dx=x+C ；3、∫x adx=1a x 1a +++C (a ≠-1,x>0)；4、∫x 1dx=ln|x|+C (x ≠0)；5、∫e x dx=e x +C ；6、∫a xdx=lnaa x +C (a>0,a ≠1)；7、∫cosaxdx=a 1sinax+C (a ≠0)；8、∫sinaxdx=-a1cosax+C (a ≠0)； 9、∫sec 2xdx=tanx+C ；10、∫csc 2xdx=-cotx+C ；11、∫secx ·tanxdx=secx+C ；12、∫cscx ·cotxdx=-cscx+C ；13、∫2x-1dx =arcsinx+C=-arccosx+C 1；14、∫2x1dx+=arctanx+C=-arccotx+C 1.定理8.3：若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数，k 1,k 2为两个任意常数，则k 1f+k 2g 在I 上也存在原函数，且∫(k 1f+k 2g)dx=k 1∫fdx+k 2∫gdx.证：∵(k 1∫fdx+k 2∫gdx)’= k 1(∫fdx)’+k 2(∫gdx)’= k 1f+k 2g. ∴∫(k 1f+k 2g)dx=k 1∫fdx+k 2∫gdx.注：线性法则的一般形式为：∫()x (f k i n1i i ∑=)dx=()∑?=n1i i i dx )x (f k .例1：p(x)=a 0x n +a 1x n-1+…+a n-1x+a n . ∫p(x)dx=1n a 0+x n+1+n a 1x n +…+2a1-n x 2+a n x+C.例2：∫1x 1x 24++dx=∫(x 2-1+1x 22+)dx=∫(x 2)dx-∫dx+∫1x 22+dx=3x 3-x+2arctanx+C.例3：∫x xsin cos dx 22dx=∫(x cos 12+xsin 12)dx=∫(sec 2x+csc 2x)dx =∫sec 2xdx+∫csc 2xdx=tanx-cotx+C.例4：∫cos3x ·sinxdx=21∫(sin4x-sinx2x)dx=21(∫sin4xdx-∫sin2xdx) =21(-41cos4x+21cos2x)+C=81(2cos2x-cos4x)+C.例5：∫(10x -10-x )2dx=∫(100x +100-x -2)dx=∫100x dx+∫100-x dx-∫2dx=ln100001x +ln100-001-x -2x+C=2ln1010102x2x ---2x+C.习题1、验证下列等式：(1)∫f ’(x)dx=f(x)+C ；(2) ∫df(x)=f(x)+C.证：(1)∵f(x)是 f ’(x)的一个原函数，∴∫f ’(x)dx=f(x)+C.(2)∵df(x)=f ’(x)dx ，∴∫df(x)= ∫f ’(x)dx=f(x)+C. 或∵∫du=u+C ，∴∫df(x)=f(x)+C.2、求一曲线y=f(x)，使得在曲线上每一点(x,y)处的切线斜率为2x ，且通过点(2,5).解：依题意y=f(x)=∫2xdx=x 2+C ，将(2,5)代入y=x 2+C ，得C=1. ∴该曲线的解析式为y=x 2+1.3、验证：y=2x 2sgnx 是|x|在R 上的一个原函数.证：∵(2x 2sgnx)’=xsgnx=|x|，∴y=2x 2sgnx 是|x|在R 上的一个原函数.4、证明：每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？证：设x 0是f(x)的第一类间断点，若F(x)是f(x)在U(x 0)上的原函数，则F ’(x)=f(x), x ∈U(x 0). 从而有-→0x x lim f(x)=-→0x x lim F ’(x)=F -’(x 0)=F ’(x 0)=f(x 0).同理有+→0x x lim f(x)=f(x 0). 即f(x)在x 0连续，矛盾. ∴原命题得证.5、求下列不定积分：(1)∫(1-x+x 3-32x1)dx ；(2)∫(x-x1)2dx ；(3)∫2gxdx (g 为正常数)；(4)∫(2x-3x )2dx ；(5)∫(24x-43+sinx)dx ；(6)∫)x 1(3x 22+dx ；(7)∫tan 2xdx ；(8)∫sin 2xdx ；(9)∫sinx -x cos cos2x dx ；(10)∫xsin x cos cos2x 22?dx ；(11)∫10x ·32xdx ；(12)∫x x x dx ；(13)∫(x -1x 1++x1x1+-)dx ；(14)∫(cosx+sinx)2dx ；(15)∫cosx ·cos2xdx ；(16)∫(e x -e -x )3dx.解：(1)∫(1-x+x 3-32x1)dx=∫dx-∫xdx+∫x 3dx-∫x -32dx =x-2x 2+4x 4-3x 31+C.(2)∫(x-x1)2dx=∫(x 2-x 2+x 1)dx=∫x 2dx-∫2x 21dx +∫x 1dx=3x 3-34x 23+ln|x|+C.(3)∫2gxdx =2g1∫x -21dx=2g2x 21+C=g2x+C. (4)∫(2x-3x )2dx=∫(22x-2·6 x+32x)dx=∫4xdx-2∫6 xdx +∫9xdx=2ln222x -2·ln66x +2ln332x+C.(5)∫(24x -43+sinx)dx=23∫2x -11dx+∫sinxdx =23arcsinx-cosx+C.(6)∫)x 1(3x 22+dx=31∫(1-2x 11+)dx=31(∫dx-∫2x 11+dx)=31(x -arctanx)+C. (7)∫tan 2xdx=∫(sex 2x-1)dx=∫sex 2xdx-∫dx=tanx-x+C.(8)∫sin 2xdx=21∫(1-cos2x )dx=21(∫dx-∫cos2xdx)=21(x -21sin2x)+C.(9)∫sinx -x cos cos2x dx=∫sinx -x cos xsin -x cos 22dx=∫(cosx+sinx )dx=sinx-cosx+C.(10)∫x sin x cos cos2x 22?dx=∫xsin x cos x sin -x cos 2222?dx=∫(csc 2x-sec 2x )dx=-cotx-tanx+C. (11)∫10x·32xdx=∫90xdx=ln9090x+C.(12)∫x x x dx=∫87x dx=158815x +C.(13)∫(x -1x 1++x 1x1+-)dx=∫2x-12dx=2arcsinx +C.(14)∫(cosx+sinx)2dx=∫(1+sin2x)dx=∫dx+∫sin2xdx=x-21cos2x+C.(15)∫cosx ·cos2xdx=21∫(cos3x+cosx)dx=-61sin3x-21sinx+C.(16)∫(e x -e -x )3dx=∫(e 3x -3e x +3e -x -e -3x )dx=31e 3x -3e x -3e -x +31e -3x +C.。
不定积分的定义和计算
不定积分的定义和计算不定积分是微积分的一个重要概念，用于求解函数的原函数。
在数学中，函数的导数被定义为函数变化率的极限，而不定积分则是导数的逆运算。
一、不定积分的定义不定积分可以理解为函数的原函数，也被称为反导函数。
给定一个函数f(x)，如果存在另一个函数F(x)，满足F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个原函数。
不定积分表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
二、不定积分的计算方法1. 基本积分法基本积分法是一种基于函数导数与积分之间的关系来计算不定积分的方法。
根据常见函数的导数公式可以得到对应的不定积分公式，具体如下：（1）常数函数：∫kdx = kx + C，其中k为常数；（2）幂函数：∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹ / (n + 1)) + C，其中n不等于-1；（3）指数函数：∫eˣdx = eˣ + C；（4）三角函数：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C，∫sec²xdx = tanx + C；（5）对数函数：∫(1/x)dx = ln|x| + C。
2. 分部积分法分部积分法是利用乘积的求导公式来计算不定积分的方法。
公式表达为∫u'vdx = uv - ∫uv'dx，其中u和v分别表示函数u(x)和v(x)，而u'和v'表示它们的导数。
通过选择合适的u和v，可以将原函数的积分转化为其他容易计算的形式。
3. 代换法代换法是利用变量代换的方式来计算不定积分的方法。
通过选择适当的变量代换，可以将原来的积分转化为更简单的形式。
常见的代换方法包括三角代换、指数代换和倒数代换等。
4. 部分分式分解法当需要求解一个复杂的有理函数的不定积分时，可以使用部分分式分解法。
这个方法将有理函数表示为简单的分式之和，然后逐个求解每个分式的不定积分。
5. 其他方法除了上述方法外，还有一些特定函数的不定积分可以采用特殊的方法求解，例如三角函数、双曲函数、反三角函数等。
不定积分的基本概念与性质
不定积分的基本概念与性质不定积分是微积分中的重要概念之一，它具有广泛的应用领域。
本文将介绍不定积分的基本概念与性质，帮助读者更好地理解和应用不定积分。
一、不定积分的基本概念不定积分，也称为算术积分，是微积分的基本概念之一。
它是函数求导的逆运算。
给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx。
二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)的不定积分都存在，那么它们的线性组合af(x) + bg(x)的不定积分也存在，并且是af(x)和bg(x)的不定积分的线性组合。
2. 积分的换元法：不定积分具有换元法。
即通过变量代换，将一个复杂的函数替换为另一个变量，使得不定积分的求解变得简单。
3. 积分的分部积分法：不定积分具有分部积分法。
通过对积分式中的一部分进行求导，另一部分进行不定积分，从而将一个复杂的积分式转化为一个简单的积分式。
4. 基本积分公式：不定积分的基本公式是通过观察求导与不定积分的关系得到的。
常见的基本不定积分公式包括幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。
5. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式是不定积分与定积分之间的重要联系。
根据该公式，若F(x)是f(x)的一个不定积分，那么定积分∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
三、不定积分的应用不定积分在多个学科领域有广泛的应用，以下介绍其中的几个方面。
1. 几何应用：不定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积以及曲线的质心等。
2. 物理应用：不定积分可用于物理学中的速度、加速度以及质量等的求解。
例如，通过计算速度函数的不定积分即可求得位移函数。
3. 统计学应用：不定积分可用于统计学中概率密度函数的求解，从而计算随机变量落在某个区间内的概率。
4. 经济学应用：不定积分在经济学中有着广泛的应用，特别是在计算边际效用、生产函数以及准线性需求曲线等方面。
《数学分析》第8章 不定积分ppt课件
证 (i) 由 (F( x) C) F ( x) f ( x), 知 F( x) C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数.
(ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 函数, 则
(F ( x) G( x)) F ( x) G( x) f ( x) f ( x) 0.
又如, 已知曲线在每一点处的切线斜率 k( x), 求 f ( x), 使 y f ( x) 的图象正是该曲线, 即使得
f ( x) k( x).
定义1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义,若 F ( x) f ( x)， x I ,
则称 f 为 F 在区间 I 上的一个原函数.
例1 (i) 路程函数 s(t) 是速度函数 v(t) 的一个原函
三、不定积分的几何意义
若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
所有的积分曲线都是
y
y F(x)C
由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 到的.
y F(x) ( x0 , y0 )
O
x
满足条件 F ( x0 ) y0 的原函数正是在积分曲线中 通过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
§1 不定积分概念与 基本积分公式
不定积分是求导运算的逆运算.
一、原函数 二、不定积分 三、不定积分的几何意义 四、基本积分表
一、原函数
微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 使
F ( x) f ( x). 例如 已知速度函数 v(t ), 求路程函数 s(t ). 即求
s(t), 使 s(t) v(t).
不定积分的概念与基本性质
不定积分的概念与基本性质在微积分中，积分是一个重要的概念和工具。
它可以看作是微分的逆运算，用于求解函数的原函数。
在不定积分中，我们将讨论不定积分的概念以及其一些基本性质。
一、不定积分的概念不定积分，又称为反导数，表示对一个函数进行积分得到的结果。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的不定积分可以表示为∫f(x)dx。
二、基本性质1. 线性性质：对于任意常数C，以及可积函数f(x)和g(x)，有以下公式：（1）∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx（2）∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx这意味着我们可以将一个复杂的函数拆分成多个简单函数的和或差的形式进行积分计算。
2. 保号性质：若在[a,b]上，有f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0。
这个性质告诉我们，如果函数在某个区间上始终保持非负，则其在该区间上的积分也将非负。
3. 常数项性质：若函数f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意常数C，有∫f(x)dx=F(x)+C。
这个性质表明，不定积分的结果存在无穷多个，只相差一个常数项。
4. 换元法则：设函数f(u)在区间[a,b]上可积，且u=g(x)是可导函数，且导函数g'(x)连续，则有以下公式：∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F(u)是f(u)的一个原函数。
换元法则为我们提供了一种通过变量代换简化计算的方法。
5. 分部积分：若函数u(x)和v(x)在区间[a,b]上可导，且连续，则有以下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这个公式将一个积分变为了另一个积分和一个乘积的形式，通常用于解决无法直接积分的情况。
三、结论通过本文的论述，我们了解了不定积分的概念和基本性质。
不定积分是对函数进行积分的逆运算，可以求解函数的原函数。
不定积分概念
不定积分概念一、不定积分概念不定积分（indefinite integral）是指求某个函数的积分，而不是某个特定值。
对于定积分（definite integral）来说，求积分时已经明确求积分的范围，而不定积分时，积分范围是不确定的，只有拉格朗日积分常数可以确定函数的值。
它可以表示为：∫f(x)dx=F(x)+C其中，C 为拉格朗日积分常数，F(x) 为原函数的积分。
二、不定积分的应用不定积分在微积分中有重要的作用，主要用来表示某物的变化率。
例如：求物体的加速度时，可以使用不定积分来计算。
速度是物体的位移量在单位时间的变化率，因此加速度可以通过不定积分来计算，可以表示为：a=∫∫v(t)dt其中，t 为时间，v(t)为速度，a 为加速度。
不定积分在运筹学中也有重要作用，用来表示最优解中的某个函数值的变化率。
例如在著名的求任务资源最大利用率的问题中，可以用不定积分来表示任务资源的利用率：∫∫R(t)dt其中，t 为时间，R(t) 为任务资源的利用率。
同样，不定积分还可以应用在经济学中用来表示物价的变化率： P=∫∫p(t)dt其中，t 为时间，p(t) 为物价，P 为物价变化率。
三、不定积分的计算方法不定积分的计算主要是根据特定函数的积分公式来求解的，例如：∫x^2dx=1/3x^3+C。
但是，有时候也会用到“积分变换法”来计算不定积分。
具体的做法是，首先根据函数的形式进行积分变换，然后再根据积分变换的结果来计算不定积分。
举例来说，求解∫xdx，可以采用如下变换：x=u+1dx=du则：∫xdx=∫(u+1)du=1/2u^2+u+C再将u 替换为 x 的值，即∫xdx=1/2x^2+x+C。
四、不定积分的特殊情况1、当函数为可积函数时，不定积分可以简化为定积分，即：∫f(x)dx=F(x2)-F(x1)其中，x1,x2 为积分的下、上限，F(x) 为原函数的积分。
2、当函数在某一区间内有多个极值点时，可以将函数分段：∫f(x)dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx+....+∫fn(x)dx其中，f1(x),f2(x),...fn(x) 为函数分段的函数。
不定积分的定义和计算方法
不定积分的定义和计算方法不定积分，也称为原函数或者积分函数，是微积分中的重要概念之一。
它与定积分相对应，是求解函数的面积或者曲线长度的逆运算。
本文将介绍不定积分的定义和计算方法，帮助读者更好地理解和掌握该概念。
一、不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。
给定函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，则称F(x)是函数f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx =F(x) + C，其中C为任意常数。
不定积分的定义说明了不定积分与原函数之间的关系。
通过求某个函数的不定积分，我们能够得到该函数的原函数。
需要注意的是，不定积分有无穷多个解，因为对于一个函数而言，其原函数可以加上任意常数C而不改变。
二、常见的计算方法在求解不定积分时，我们需要掌握一些常见的计算方法。
下面将介绍一些常见的计算方法及其示例。
1. 基本积分法则基本积分法则是利用基本函数的导数公式反推不定积分。
以下是一些常见的基本积分法则及其示例：（1）常数函数积分：∫kdx = kx + C，其中k为常数。
（2）幂函数积分：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n不等于-1。
（3）指数函数积分：∫e^x dx = e^x + C。
（4）三角函数积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C。
2. 分部积分法分部积分法是求解某些复杂函数不定积分的方法，它基于乘积公式（即(uv)' = u'v + uv'）。
以下是分部积分法的公式及其示例：∫u dv = uv - ∫v du示例：∫x*sin(x) dx = -x*cos(x) + ∫cos(x) dx = -x*cos(x) + sin(x) + C3. 代换法代换法，也称为换元积分法，是通过引入一个新的变量，将原函数转化为更容易求解的形式。
以下是代换法的公式及其示例：∫f(g(x)) * g'(x) dx = ∫f(u) du示例：∫x*sin(x^2) dx，令u = x^2，那么du = 2x dx，原积分变为∫sin(u) (1/2)du = (-1/2)cos(u) + C = (-1/2)cos(x^2) + C除了基本积分法则、分部积分法和代换法，还有一些特殊的计算方法，如三角函数公式、倒数公式、欧拉公式等。
不定积分的概念及性质
f (x) d x F(x)C
其中C是任意常数 称为积分常数
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例4.3 计算 x2dx.
解： (1 x3) ' x2, 3
1 x3是x2的一个原函数，于是 x2dx . 1 x3 C.
F(x) 对于该区间上每一点都满足 F (x)f(x) 或dF(x)f(x)dx
则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数
例3 在区间(, )内 已知函数f(x)2x 由于函数F(x)x2满足
F (x)(x2)2x 所以F(x)x2是f(x)2x的一个原函数
同理 x21 x2C(C是常数)都是2x的原函数
f (x) sin x cosx. x
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例4.7 计算（3x 2x2 )dx.
解：（3x 2x2)dx 3xdx 2x2dx
3 xdx 2 x2dx
3 x2 2 x3 C. 23
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§4.1 不定积分的概念和性质
一、原函数 二、不定积分的概念 三、不定积分的性质
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一、原函数
例1 如果已知物体的运动方程为sf(t) 则此物体的速度 是距离s对时间t的导数
一个相反问题是 已知物体运动的速度v是时间t的函数 vv(t) 求物体的运动方程sf(t) 使它的导数f (t)等于已知函数 v(t)
例4.8 计算 (1 3 2ex )dx.
不定积分的概念
微分法: F ( x) ( ? )
互逆运算 积分法: ( ? ) f ( x)
路程
速度
积分学
不定积分 定积分
§1 不定积分的概念
1.1 原函数与不定积分的概念 1.2 基本积分公式 1.3 不定积分的性质
问题
已知直线运动的物体路程函数, 可以通过求导 数的方法求出物体运动的瞬时速度. 现在要问: 如果我们知道了物体运动的瞬时速度, 如何求 物体运动的路程? 即
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx.（k 是常数，k 0)
若
则
n
f ( x)dx ki fi ( x)dx i 1
线性性质
例5
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx. 1 x2
拆 项
法
解
原式
3
1
1 x2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
例6
注意：1.积分号“ ”是一种运算符号，它表示求已知
函数的所有原函数；
求已知函数的所有原函数即不定积分的方法称为
积分法. 由不定积分的定义，可知
导数
微分
d
dxBiblioteka f ( x)dxf ( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
y' 2x
y
x1
, 2
§1 不定积分的概念
1.1 原函数与不定积分的概念 1.2 基本积分公式 1.3 不定积分的性质
1.2 基本积分公式
利用逆向思维和
(1) 1dx x C
不定积分的概念和性质
不定积分的概念和性质
也就是说，连续函数一定有原函数.下面我们进一步讨论原函数的相关知识.
由于 x2 x2 2 x2 35 2x，所以x2、x2 2、x2 35都为2x的原函数.
由此例可以看出：如果函数f x有一个原函数，则f x就有无穷多个原函数，而这些原
函数之间仅差一个常数，即
即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式），一个函数的导数（或微分）的不定 积分与这个函数相差一个常数 .
不定积分的概念和性质
性质2
被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前 .
kf xdx k f xd（x k 0，常数）.
性质3
两个函数代数和的不定积分，等于两个函数积分的代数和.
例3 解
设所求曲线方程为y F x，因为y F x 3x2，由不定积分定义，有
F x 3x2dx x3 C .
因所求的曲线过点1，3，代入得C 2，于是所求的曲线方程为 y x3 2.
不定积分的概念和性质
1.3 不定积分的性质 性质1
不定积分与求导数或微分互为逆运算.
（1） f xdx f x 或 d f xd x f xdx. （2） F xdx F x C 或 dF x F x C.
对于每一个给定的常数C，F x C表示坐标平面上的一条确 定的曲线，这条曲线称为f x的一条积分曲线 .由于C可以取任意
值，因此不定积分 f xdx表示f x的一族积分曲线 . 而其中任意
一条积分曲线都可以由曲线y F x沿 y 轴方向上、下平移得
到，如图4-1所示.
图4-1
不定积分的概念和性质
F x C F x f x (C为任意常数) . 所以F x C是f x的原函数.
数学分析第三版8-1不定积分的概念.pps
平面曲线的长度
总结词
不定积分可以用来计算平面曲线的长度。
详细描述
不定积分可以用来计算平面曲线的长度。对于给定的函数y=f(x)，其不定积分∫sqrt(1+f'(x)^2)dx可以表 示该曲线的长度。
平面曲线的斜率
总结词
不定积分可以用来计算平面曲线的斜率 。
VS
详细描述
不定积分可以用来计算平面曲线的斜率。 对于给定的函数y=f(x)，其不定积分可以表 示该曲线在某一点的切线斜率。
04
不定积分的应用
物理中的不定积分
运动学中的不定积分
在物理中，不定积分常用于解决与运动相关的问题。例如，计 算物体在某个力作用下的速度或加速度，需要用到不定积分来
求解相关的微分方程。
热力学中的不定积分
热力学中，不定积分用于描述热量、压力、体积等状态量 的变化关系，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理想气体状态方程。
波动现象中的不定积分
机器学习中，不定积分用于优化 算法的梯度计算，如梯度下降法。
感谢您的观看
THANKS
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目录
• 不定积分的概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的几何意义 • 不定积分的应用
01
不定积分的概念
原函数的概念
原函数
如果一个函数F(x)的导数F'(x)=f(x)， 则称F(x)是f(x)的一个原函数。
举例
f(x)=x^2是一个函数，F(x)=x^3是 f(x)的一个原函数。
不定积分的定义
不定积分
不定积分是微分的逆运算，即求一个函数的原函数的过程。
举例
∫(x^2)dx=(1/3)x^3+C，其中C是积分常数。
不定积分的定义
不定积分的定义不定积分是微积分中重要的概念之一，可以用来求出函数的原函数。
这篇文章旨在介绍不定积分的定义，以及如何求解不定积分。
不定积分定义不定积分的定义是：设f(x)是定义在区间I上的一个函数，如果存在一个函数F(x)，使得对于区间内任意一点x∈I，都有F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)在区间I上的一个原函数，记作：∫ f(x) dx = F(x) + C其中C是任意常数，称为“积分常数”。
不定积分的求解方法在求解不定积分时，我们需要先找到f(x)的原函数F(x)，然后将F(x)加上一个任意常数C，即可得到函数的不定积分。
但是，F(x)的求解并不总是容易的，有时需要使用一些技巧和公式。
下面介绍一些常用的求解不定积分的方法：1. 直接求导数对于一些常见的函数，我们可以根据其求导数的知识来求解其不定积分。
例如，我们知道sin(x)的导数是cos(x)，那么sin(x)的不定积分就是-cos(x) + C。
2. 代换法有时候，我们可以通过代换来简化不定积分的求解。
例如，当需要求解∫2x(1+x^2)dx时，我们可以将1+x^2看做一个整体，令u = 1+x^2，那么dx = du/2x，将其代入原式中得到：∫2x(1+x^2)dx = ∫u du = (u^2/2) + C = (1+x^2)^2/2 + C3. 分部积分法对于一些积分形式为乘积形式的函数，我们可以使用分部积分法来求解其不定积分。
例如，需要求解∫x^2sin(x)dx时，我们可以将其分解为x^2的导数和sin(x)的原函数相乘，即：∫x^2sin(x)dx = -x^2cos(x) + 2∫xcos(x)dx对于∫xcos(x)dx，我们仍然可以使用分部积分法，将x看做一个整体，cos(x)的原函数为sin(x)，以此类推。
最终得到：∫x^2sin(x)dx = -x^2cos(x) + 2xsin(x) + 2cos(x) + C4. 三角换元法三角换元法是一种常用的代换方法，在需要求解一些三角函数的不定积分时特别有用。
高等数学(第三版)课件：不定积分的概念与性质
ln 3
3x 2cos x C.
ln 3
例8 求 x (x1)2dx.
解
x
(x1)2
5
x2
(
x
1)
2dx
(
x
5 2
2
x
3 2
x
1 2
)dx
5
3
1
x 2dx 2 x 2dx x 2dx
1 x 2dx arctan x C.
例3
求
1dx. x
解 当x 0时，有(ln x)' 1 . x
1dx x
ln
x
C
(x 0)
当x 0时，有ln(x)' 1 (x)' 1 (1) 1 ,
x
x
x
又
1dx x
ln(
x)
C.
ln x 当x 0,
ln x ln( x)
当x 0,
[f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
性质2可以推广到有限多个函数的情形，即
[
f
(x)
1
f
(x)
2
f (x)]dx n
f
(x)dx
1
f
(x)dx
2
f
(x)dx
n
例6 求 (2x3 5 x2 4x 3)dx. 解 (2x3 5 x2 4x 3)dx
2 x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
不定积分知识点总结
不定积分知识点总结不定积分是高等数学中的重要内容，是定积分的逆运算，也称为反导数。
它在微积分中有着广泛的应用。
下面是不定积分的知识点总结。
一、不定积分的定义和性质：1. 不定积分的定义：设函数F(x)在区间[a,b]上有原函数f(x)，如果F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记为F(x)=∫f(x)dx。
其中F(x)是不定积分号∫的上界，f(x)是被积函数，dx是自变量。
2.基本性质：（1）线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
其中a、b为常数。
（2）和差性质：∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。
（3）分部积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx。
将f'(x)视为u'(x)，g(x)视为v(x)。
3.不定积分的四则运算：（1）常数定积分：∫kdx = kx + C。
其中，k是常数，C是任意常数。
（2）幂函数的不定积分：∫x^kdx = 1/(k+1) * x^(k+1) + C。
其中，k≠-1（3）指数函数的不定积分：∫e^xdx = e^x + C。
（4）对数函数的不定积分：∫1/xdx = ln，x， + C。
（5）三角函数的不定积分：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C。
（6）反三角函数的不定积分：∫1/√(1-x^2)dx = arcsinx + C，∫1/√(1+x^2)dx = arcsinhx + C。
其中，-1≤x≤14. 不定积分的换元法：设F(x)是f(x)的一个原函数，g(x)是可导函数，则∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C。
其中，F(g(x))是∫f(g(x))dx 的原函数。
二、基本初等函数的不定积分：1. e^x函数的不定积分：∫e^xdx = e^x + C。
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数学分析数学与信息科学学院罗仕乐第八章不定积分8.1 不定积分的概念与基本积分公式8.2 换元积分法8.3 分部积分法8.4几类特殊函数的不定积分8.1 不定积分的概念和基本积分公式第八章第1节例 ()xx cos sin ='x sin 是x cos 的原函数.())0(1ln >='x x x x ln 是x1在区间),0(+∞内的原函数.如果在区间I 内，定义1： 可导函数)(x F 的即I x ∈∀，都有)()(x f x F ='或dx x f x dF )()(=，那么函数)(x F 就称为)(x f 导函数为)(x f ，或dx x f )(在区间I 内原函数.一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 内连续，简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？例 ()xx cos sin ='()xC x cos sin ='+（ 为任意常数） C那么在区间I 内存在可导函数)(x F ，使I x ∈∀，都有)()(x f x F ='.(2) 若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：（1）若 ，则对于任意常数 ，)()(x f x F ='C C x F +)(都是)(x f 的原函数.（2）若 和 都是的原函数， )(x F )(x G )(x f 则 C x G x F =-)()(（ 为常数）C 证 [])()()()(x G x F x G x F '-'='-)()(=-=x f x f C x G x F =-∴)()(（为常数） C根据定义，如果 F (x ) 是 f (x ) 的一个原函数，则dx x f )(⎰=F (x )+C ， 其中 C 是任意常数，称为积分常数。
二、不定积分定义2 函数f (x )的所有原函数称为f (x )的不定积分，记作 dx x f )(⎰。
任意常数分号被积函数Cx F dx x f +=⎰)()(被积表达式分变量不定积分的相关名称：⎰ ———叫做积分号， f (x ) ——叫做被积函数， f (x )dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量。
第八章第1节如果F (x )是f (x )的一个原函数，则dx x f )(⎰=F (x )+C 。
x <0时，[ln(-x )]'x 1)1(1=-⋅-=，x dx x +-=⎰)ln( 1(x <0)。
C x dx x+=⎰||ln 1(x ≠0)。
1 因为(sin x )'=cos x ，所以C x xdx +=⎰sin cos 。
C x 解：当x >0时，(ln x )'1=，C x dx x+=⎰ln 1(x >0)；xn(-x )]'x x 1)1(1-⋅-=，x dx x +-=⎰)ln( 1(x <0)。
ln(-x )]'x 1)1(1=-⋅-=，C x dx x +-=)ln( 1(x <0)。
例1． 例2 因为(x 3)' =3x 2，所以x dx x +=⎰323。
2． 例3 求函数x x f 1)(=的不定积分。
3．解：例4．求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x 的曲线方程。
解：设所求的曲线方程为 y =f (x )，则 y ' =f '(x ) =2x ， 即f (x )是2x 的一个原函数。
因为所求曲线通过点(1, 3)， 故 3=1+C ，C =2。
于是所求曲线方程为 y =x 2+2。
-2 -1 O 1 2x -2-112 yy =x 2+2y =x 2(1, 3) ． 因为C x xdx +=⎰22，所以y =f (x )=x 2+C 。
实例 μμμx x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛++11.11C x dx x ++μ=⇒+μμ⎰启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(-≠μ四、 基本积分公式基本积分表⎰+=kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1-≠μ++μ=+μμ⎰Cxdxx;ln)3(⎰+=Cxxdx说明：⇒>,0x,ln⎰+=Cxxdx='-<])[ln(,0xx,1)(1xxx='--,)ln(⎰+-=⇒Cxxdx,||ln⎰+=∴Cxxdx简写为.ln⎰+=Cxxdx=+⎰dx x 211)4(;arctan C x +=-⎰dx x211)5(;arcsin C x +⎰=xdx cos )6(;sin C x +⎰=xdx sin )7(;cos C x +-=⎰x dx 2cos )8(⎰=xdx 2sec ;tan C x +=⎰xdx 2sin )9(⎰=xdx 2csc ;cot C x +-⎰=xdx x tan sec )10(;sec C x +⎰=xdx x cot csc )11(;csc C x +-=⎰dx ex )12(;C e x+=⎰dx a x)13(;ln C aa x +⎰=xdx sinh )14(;cosh C x +⎰=xdx cosh )15(;sinh C x +⎰=±dx x g x f )]()([)1(;)()(⎰⎰±dx x g dx x f 证 []'±⎰⎰dx x g dx x f )()([][]'±'=⎰⎰dx x g dx x f )()().()(x g x f ±=∴等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）五 、不定积分的性质)0(,)()()2(≠=⎰⎰k dx x f k dx x kf例 求积分 .2dx x x ⎰解dx x x⎰2dxx ⎰=25C x ++=+125125.7227C x +=根据积分公式（2） Cxdx x ++=+⎰11μμμ例⎰11 1x dx =x -3dx 31+-=x -3+1+C 221x-=+C 。
33x-xx dx 4-xdx 134134+-=+-x+C =3+ C 。
⎰3例1． 3 ⎰3=⎰例2．dx x g x f )]()([±⎰dx x g dx x f ⎰⎰±=)()(，⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(。
x x +-33。
例4 dx x x )5(2-⎰dx x x )5(2125⎰-=dx x dx x ⎰⎰-=21255dx x dx x ⎰⎰-=21255C x x +⋅-=232732572C x x =1072例3．dx x g x f )]()([±⎰dx x g dx x f ⎰⎰±=)()(，⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(。
dx xx x )133(2-+-=⎰dx xdx x dx xdx ⎰⎰⎰⎰-+-=21133221x =-3x +3ln|x |x1++C 。
5 dx xx ⎰-23)1(⎰-+-=dx x x x x 223133 例4．第八章第1节 ⎰a x dx =a a x ln +C ， (6) ⎰cos xdx =sin x +C ， 6 (e x -3cos x )dx = e x -3sin x +C 。
7 2x e x dx =⎰(2e )x dx 2ln()2(e e x =+C ln 12+=x x e +C 。
)28 tg 2xdx =⎰(sec 2x -1)dx =tg x -x +C 。
9 sin 2x dx dx x )cos 1(21-=⎰C x x +-=)sin (21。
dx x x 2cos 2sin 122=dx x 2sin 14= ⎰例5．⎰例6． 9 ⎰sin 22x dx x )cos 1(21-=⎰x x +-=)sin (21。
例8． 10 ⎰dx x x 2cos 2sin 122⎰=dx x 2sin 14例9． .tan sec 2C x xdx +=⎰.tan C x x +-=⎰xdx 2tan 例7. .cot 4C x +-=第八章第1节⎰x1dx =ln|x |+C ， ⎰⎰++=dx x dx x1112=arctg x +ln|x |+C 。
⎰++-=dx x x )111(2231=x 3-x +arctg x +C 。
12 +dx x x 241⎰++-=dx x x 24111++-+=dx x x x 22211)1)(1( 12 +dx x x 241++-=dx x x 24111⎰++-+=dx x x x 22211)1)(1( +++dx x x x x )(22⎰+++=dx x x x x )1()1(22⎰++=dx x x )111(2 1111⎰例10． 12 ⎰+dx x x 241++-=dx x x 24111++-+=dx x x x 22211)1)(1( 例11． C x x dx +=+⎰arctan 12.||ln arctan C x x ++=.arctan 313C x x x ++-=y =⎰)257(x+dx x x 507+=+C 。
解：因为总成本是总成本变化率y '的原函数，所以已知当 x =0 时，y =1000， 例12．某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成 本y 的变化率是日产量x 的函数y 'x257+=，已知固定 成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。
因此有 C =1000，于是总成本y 与日产量x 的函数为y x x 507+=+1000。
例13 求积分解 .2cos 11⎰+dx x ⎰+dx x 2cos 11⎰-+=dxx 1cos 2112⎰=dx x 2cos 121.tan 21C x +=说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.例14 已知一曲线)(x f y =在点))(,(x f x 处的切线斜率为x x sin sec 2+，且此曲线与y 轴的交点为)5,0(，求此曲线的方程. 解 ,sin sec 2x x dxdy += ()dxx x y ⎰+=∴sin sec 2,cos tan C x x +-=,5)0(=y ,6=∴C 所求曲线方程为 .6cos tan +-=x x y基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念： )()(x f x F ='不定积分的概念： ⎰+=C x F dx x f )()(求微分与求积分的互逆关系 小结作业: 第182页 Ex2, Ex5(单号) 交作业时间: 每周一思考题符号函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn )(x x x x x f 在 内是否存在原函数？为什么？),(∞+-∞数学与信息科学学院罗仕乐。