第1章 静力学基础
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mO(F) 2ΔOAB mz (F ) 2 Δ Oab
OABcos Oab
式中为两三角形平
面之间的夹角，即 mO(F)与z轴之夹角。
Theoretical Mechanics
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1.2 力矩与力偶
1.2.4 伐里农定理（合力矩定理）
作用于同一点的两个力的合力对一点（或轴） 之矩等于这两个分力对同一点（或轴）之矩 的矢量和（或代数和）。这一结论称为伐里 农定理或合力矩定理。
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第1章 静力学基础
1.1 力与力的投影
Theoretical Mechanics
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1.1 力与力的投影
力是物体之间的相互机械作用 力是定位矢量,用有向线段表示
1.1.1 力的概念
有向线段长度代表力的大小 线段的方位和指向代表力的方向 线段的起点表示力的作用点 用黑体大写字母F表示力矢量 用白体字母F表示力的大小。 在国际单位制中，力的单位为牛顿（N）
F
F
Theoretical Mechanics
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1.1 力与力的投影
1.1.3 力的投影和力的分解
将力F 沿直角坐标轴方向分解
F = Fx + Fy + Fz 力F 沿直角坐标轴分量与在相应轴上投影有
Fx = Fx i,，Fy = Fy j，Fz = Fz k
值得注意:以上各式是在直角坐标系中推导的， 在非直角坐标系中并不成立。力在轴上的投影是一 个重要的概念，应用投影的概念，可将力的合成由 几何运算转换为代数运算。
第一篇 静力学
Theoretical Mechanics
第1章 静力学基础
制作与设计 贾启芬 刘习军 郝淑英
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第一篇 静力学
引言
研究物体在力作用下平衡规律的科学 刚体：即在任何情况下变形可以忽略不计的物体。 平衡：物体相对于某一惯性参考系（地面可近似地 看成是惯性参考系）保持静止或作匀速直线运动的状 态。
力F 对z轴之矩可由三角 形Oab面积的两倍表示
mz (F ) Fxyh 2Oab
当力与轴平行（Fxy = 0） 或相交时（h = 0），力对轴
之矩等于零。
Theoretical Mechanics
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1.2 力矩与力偶
力F 对O点之矩: 矢径 r 与力F 的矢积 其大小为 MO(F) = r×F
力偶是一种基本力学量,力偶对刚体的作用，只有转动 效应。力偶是一种特殊的力系。
Theoretical Mechanics
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1.2 力矩与力偶
1.2.5 力偶
设rBA和rAB分别表示图中的矢径 BA和 AB，矢量
M = rBA×F = rAB×F 称为力偶(F, F)的力偶矩矢量，简称为力偶矩矢。
Theoretical Mechanics
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引言
静力学公理
公理三（加减平衡力系公理） 在作用于 刚体上的任何一个力系上，加上或减去任一 平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效 应。
Theoretical Mechanics
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引言
静力学公理
公理四（作用与反作用定律） 两物体间相 互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同 一直线，分别作用在相互作用的两个物体上。
力偶的等效和性质
在图中空间任取一点O，则A、B两点 的矢径，用rA、rB表示， rBA = rA – rB。
力偶对O点之矩
MO(F,F ') = MO (F) + MO (F ') = rA×F + rB×F ' = (rA – rB)×F = rBA×F
Theoretical Mechanics
所以 MO (F, F')=M
Theoretical Mechanics
所以 mO(F,F ) M
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第1章 静力学基础 1.3 约束与约束力
Theoretical Mechanics
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1.3 约束与约束力
基本概念
自由体 非自由体 主动力
约束：对非自由体预先给定的限制运动几何条件 约束力：约束对物体的作用力 方向： 与约束所能阻止的物体的运动或运动
双面约束的约束力方向只能假设，其真实方向 由计算值的正负号确定。
Theoretical Mechanics
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1. 光滑球铰链
1.3 约束与约束力
1.3.3 光滑铰链约束
汽车变速器的操纵杆底部是一个典型的光滑球铰链约束。
F = Fx i + Fy j + Fz k
Theoretical Mechanics
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1.1 力与力的投影
1.1.2 力的投影
已知力F在直角坐标轴上的三个投影， 其大小和方向分别为
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx , cos Fy , cos Fz
F
Theoretical Mechanics
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1.1 力与力的投影
1.1.1 力的概念
力的分类
{ 集中力
按力的相互作用的范围分为 分布力
水池池底所受的 水压力为均布力; 侧壁所受的水压 力是按三角形规 律分布的分布力.
分布力的集度 q lim F L0 L
Theoretical Mechanics
1.3 约束与约束力 柔软、不可伸长的约束物体
1.3.1 柔性体约束
特点 :只能承受拉力，不能承受压力 约束力是沿其中心线的拉力
FP
FP
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1.3 约束与约束力
1.3.2 光滑面约束
光滑面约束： 与物体相接触的是另一物体的光滑表面
特点：作用在接触处；沿接触处的公法线指向物体
设过任一点O之直角坐标轴为x、y、z，
M M
x (F ) y (F )
yFz zFx
zFy xFz
M z (F ) xFy yFx
Theoretical Mechanics
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1.2 力矩与力偶
1.2.3 力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
力F对O点之矩、力F对通过O点的z轴之矩的 大小分别为
力F2在各坐标轴上的投影：
F2x F2 cos 60 100 N
F2 y F2 cos30 100 3N
F2z 0
F3x F3 cos30sin 45 75 6N
力F3在各坐标轴上的投影： F3y F3 cos30cos45 75 6N
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1.1 力与力的投影
例题
例1-1 图中a = b = 3 m，c = 2 m。力F1 = 100N，F2 = 200N， F3 = 300N，方向如图。求各力在三个坐标轴上的投影。
解：力F1在各坐标轴上的投影： F1x 0, F1y 0, F1z F1 100 N
z Fz
O
Fx x
F Fy y
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1.1 力与力的投影
1.1.2 力的投影
2.二次投影法
Fz F cos Fx F sin cos Fy F sin sin
z Fz
O
Fx x
F Fy y
Fxy
在直角坐标系中力F 的矢量式
Theoretical Mechanics
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wenku.baidu.com言
静力学公理
公理五（刚化公理） 变形体受已知力作用而 成平衡状态，若将该物体变成刚体（刚化），则 平衡状态不受影响。
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第1章 静力学基础
目录
1.1 力与力的投影 1.2 力矩与力偶 1.3 约束与约束力 1.4 物体的受力分析和受力图
MO(FR) = MO(F1) + MO(F2)
Mz(FR) = Mz(F1) + Mz(F2)
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1.2 力矩与力偶
1.2.5 力偶
大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力 称为力偶。
二力作用线所决定的平面称为力偶的作用平面，两作 用线的垂直距离d 称为力偶臂。
点接触时，约束力为集中力。 线或面接触，用分布力的合力来表示。
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1.3 约束与约束力
1.3.2 光滑面约束
滑块为双面约束
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1.3 约束与约束力
几点讨论
单面约束的约束力只能限制物体沿一个方向的 运动 ，方向一般能事先确定。
MO(F) = Mz(F) = ±Fh = ±2△OAB
在平面问题中，力对点之矩为代数量，一般规定 逆时针为正，顺时针为负。
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1.2 力矩与力偶
1.2.3 力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
力对点之矩在过该点任意轴上的投影等于力对该 轴之矩，这一关系称为力矩关系定理。
Theoretical Mechanics
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引言
两类基本问题
力系的简化: 物体在力系作用下的平衡条件。 力系的平衡条件：物体平衡时，作用于物体 上的一群力（称为力系）必须满足的条件。 平衡力系：平衡时的力系。
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引言
静力学公理
静力学的理论体系是在此基础上建立起来的
趋势的方向相反 作用点：在约束与被约束物体的接触点
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1.3 约束与约束力
约束的分类
柔性体约束
{ 光滑面约束
单面约束 双面约束
{ 中间柱铰链
光滑圆柱形铰链约束 固定柱铰链支座
滚动柱铰链支座
链杆约束
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1.2 力矩与力偶
1.2.5 力偶
力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。
（1）力偶矩矢量M与矩心的选择无关，因而是一个 自由矢量。
（2）决定力偶矩矢的三要素为：力偶矩的大小、力 偶作用面的方位及力偶的转向。
（3）因为力偶矩矢是自由矢量，在保持这一矢量的 大小和方向不变的条件下，可以在空间任意移动力 偶矩矢量而不改变力偶对刚体的作用效果，称为力 偶的等效性。
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1.1 力与力的投影
1.1.2 力的投影
力在轴上的投影：力与该投影轴单位矢量的标量积
Fe F e
直角坐标系Oxyz的单位矢量为i、j、k，力F在各轴上投影
1. 直接投影法
Fx F i F cos Fy F j F cos
Fz F k F cos
1.2.2 力对点之矩
MO(F) r F Frsin α Fh 2ΔOAB
在直角坐标系Oxyz中，矢径r = xi + yj + zk，力F = Fxi +Fyj +Fzk。力对点之矩的矢积表达式可写为行列式形式
i jk
MO (F) x y z Fx Fy Fz
M O (F ) ( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
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1.2 力矩与力偶
1.2.5 力偶
力偶矩在平面问题中视为代数量，记为M
M = ±Fd
正负号分别由力偶的转向决定。
力偶的等效性：现计算组成 力偶的两个力对任一点力矩 之和，即
mO(F,F) mO(F) mO(F) Fd x Fx Fd
Theoretical Mechanics
F3z F3 sin 30 150N
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第1章 静力学基础 1.2 力矩与力偶
Theoretical Mechanics
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1.2 力矩与力偶
1.2.1 力对轴之矩
力对轴之矩：力对轴之矩是代数量，它的大小等于力在垂 直于轴的平面上的投影与此投影至轴的距离的乘积，它的正 负号则由右手螺旋规则来确定。
公理一（力的平行四边形法则） 作用于物 体某一点的两个力的合力，亦作用于同一点上， 其大小及方向可由这两个力所构成的平行四边 形的对角线来表示。
Theoretical Mechanics
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引言
静力学公理
公理二 （二力平衡公理） 作用于刚体上的 两个力平衡的必要和充分条件是：这两力大小 相等，方向相反，并作用于同一直线上。
Theoretical Mechanics
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1.2 力矩与力偶
1.2.2 力对点之矩
若力F 作用在Oxy 平面内，即Fz≡0，z≡0，如图力F 对此平面内任一点O之矩，实际上是此力对通过O点 垂直于Oxy平面的z轴之矩
MO(F) = r×F = (Fxy – Fyx)k
力F 对O点之矩总是沿着z 轴方向，可用代数量来表示
OABcos Oab
式中为两三角形平
面之间的夹角，即 mO(F)与z轴之夹角。
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1.2 力矩与力偶
1.2.4 伐里农定理（合力矩定理）
作用于同一点的两个力的合力对一点（或轴） 之矩等于这两个分力对同一点（或轴）之矩 的矢量和（或代数和）。这一结论称为伐里 农定理或合力矩定理。
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第1章 静力学基础
1.1 力与力的投影
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1.1 力与力的投影
力是物体之间的相互机械作用 力是定位矢量,用有向线段表示
1.1.1 力的概念
有向线段长度代表力的大小 线段的方位和指向代表力的方向 线段的起点表示力的作用点 用黑体大写字母F表示力矢量 用白体字母F表示力的大小。 在国际单位制中，力的单位为牛顿（N）
F
F
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1.1 力与力的投影
1.1.3 力的投影和力的分解
将力F 沿直角坐标轴方向分解
F = Fx + Fy + Fz 力F 沿直角坐标轴分量与在相应轴上投影有
Fx = Fx i,，Fy = Fy j，Fz = Fz k
值得注意:以上各式是在直角坐标系中推导的， 在非直角坐标系中并不成立。力在轴上的投影是一 个重要的概念，应用投影的概念，可将力的合成由 几何运算转换为代数运算。
第一篇 静力学
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第1章 静力学基础
制作与设计 贾启芬 刘习军 郝淑英
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第一篇 静力学
引言
研究物体在力作用下平衡规律的科学 刚体：即在任何情况下变形可以忽略不计的物体。 平衡：物体相对于某一惯性参考系（地面可近似地 看成是惯性参考系）保持静止或作匀速直线运动的状 态。
力F 对z轴之矩可由三角 形Oab面积的两倍表示
mz (F ) Fxyh 2Oab
当力与轴平行（Fxy = 0） 或相交时（h = 0），力对轴
之矩等于零。
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1.2 力矩与力偶
力F 对O点之矩: 矢径 r 与力F 的矢积 其大小为 MO(F) = r×F
力偶是一种基本力学量,力偶对刚体的作用，只有转动 效应。力偶是一种特殊的力系。
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1.2 力矩与力偶
1.2.5 力偶
设rBA和rAB分别表示图中的矢径 BA和 AB，矢量
M = rBA×F = rAB×F 称为力偶(F, F)的力偶矩矢量，简称为力偶矩矢。
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引言
静力学公理
公理三（加减平衡力系公理） 在作用于 刚体上的任何一个力系上，加上或减去任一 平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效 应。
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引言
静力学公理
公理四（作用与反作用定律） 两物体间相 互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同 一直线，分别作用在相互作用的两个物体上。
力偶的等效和性质
在图中空间任取一点O，则A、B两点 的矢径，用rA、rB表示， rBA = rA – rB。
力偶对O点之矩
MO(F,F ') = MO (F) + MO (F ') = rA×F + rB×F ' = (rA – rB)×F = rBA×F
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所以 MO (F, F')=M
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所以 mO(F,F ) M
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第1章 静力学基础 1.3 约束与约束力
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1.3 约束与约束力
基本概念
自由体 非自由体 主动力
约束：对非自由体预先给定的限制运动几何条件 约束力：约束对物体的作用力 方向： 与约束所能阻止的物体的运动或运动
双面约束的约束力方向只能假设，其真实方向 由计算值的正负号确定。
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1. 光滑球铰链
1.3 约束与约束力
1.3.3 光滑铰链约束
汽车变速器的操纵杆底部是一个典型的光滑球铰链约束。
F = Fx i + Fy j + Fz k
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1.1 力与力的投影
1.1.2 力的投影
已知力F在直角坐标轴上的三个投影， 其大小和方向分别为
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx , cos Fy , cos Fz
F
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1.1 力与力的投影
1.1.1 力的概念
力的分类
{ 集中力
按力的相互作用的范围分为 分布力
水池池底所受的 水压力为均布力; 侧壁所受的水压 力是按三角形规 律分布的分布力.
分布力的集度 q lim F L0 L
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1.3 约束与约束力 柔软、不可伸长的约束物体
1.3.1 柔性体约束
特点 :只能承受拉力，不能承受压力 约束力是沿其中心线的拉力
FP
FP
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1.3.2 光滑面约束
光滑面约束： 与物体相接触的是另一物体的光滑表面
特点：作用在接触处；沿接触处的公法线指向物体
设过任一点O之直角坐标轴为x、y、z，
M M
x (F ) y (F )
yFz zFx
zFy xFz
M z (F ) xFy yFx
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1.2.3 力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
力F对O点之矩、力F对通过O点的z轴之矩的 大小分别为
力F2在各坐标轴上的投影：
F2x F2 cos 60 100 N
F2 y F2 cos30 100 3N
F2z 0
F3x F3 cos30sin 45 75 6N
力F3在各坐标轴上的投影： F3y F3 cos30cos45 75 6N
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1.1 力与力的投影
例题
例1-1 图中a = b = 3 m，c = 2 m。力F1 = 100N，F2 = 200N， F3 = 300N，方向如图。求各力在三个坐标轴上的投影。
解：力F1在各坐标轴上的投影： F1x 0, F1y 0, F1z F1 100 N
z Fz
O
Fx x
F Fy y
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1.1.2 力的投影
2.二次投影法
Fz F cos Fx F sin cos Fy F sin sin
z Fz
O
Fx x
F Fy y
Fxy
在直角坐标系中力F 的矢量式
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静力学公理
公理五（刚化公理） 变形体受已知力作用而 成平衡状态，若将该物体变成刚体（刚化），则 平衡状态不受影响。
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目录
1.1 力与力的投影 1.2 力矩与力偶 1.3 约束与约束力 1.4 物体的受力分析和受力图
MO(FR) = MO(F1) + MO(F2)
Mz(FR) = Mz(F1) + Mz(F2)
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1.2 力矩与力偶
1.2.5 力偶
大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力 称为力偶。
二力作用线所决定的平面称为力偶的作用平面，两作 用线的垂直距离d 称为力偶臂。
点接触时，约束力为集中力。 线或面接触，用分布力的合力来表示。
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1.3.2 光滑面约束
滑块为双面约束
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1.3 约束与约束力
几点讨论
单面约束的约束力只能限制物体沿一个方向的 运动 ，方向一般能事先确定。
MO(F) = Mz(F) = ±Fh = ±2△OAB
在平面问题中，力对点之矩为代数量，一般规定 逆时针为正，顺时针为负。
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1.2.3 力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系
力对点之矩在过该点任意轴上的投影等于力对该 轴之矩，这一关系称为力矩关系定理。
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两类基本问题
力系的简化: 物体在力系作用下的平衡条件。 力系的平衡条件：物体平衡时，作用于物体 上的一群力（称为力系）必须满足的条件。 平衡力系：平衡时的力系。
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静力学公理
静力学的理论体系是在此基础上建立起来的
趋势的方向相反 作用点：在约束与被约束物体的接触点
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1.3 约束与约束力
约束的分类
柔性体约束
{ 光滑面约束
单面约束 双面约束
{ 中间柱铰链
光滑圆柱形铰链约束 固定柱铰链支座
滚动柱铰链支座
链杆约束
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1.2.5 力偶
力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。
（1）力偶矩矢量M与矩心的选择无关，因而是一个 自由矢量。
（2）决定力偶矩矢的三要素为：力偶矩的大小、力 偶作用面的方位及力偶的转向。
（3）因为力偶矩矢是自由矢量，在保持这一矢量的 大小和方向不变的条件下，可以在空间任意移动力 偶矩矢量而不改变力偶对刚体的作用效果，称为力 偶的等效性。
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1.1 力与力的投影
1.1.2 力的投影
力在轴上的投影：力与该投影轴单位矢量的标量积
Fe F e
直角坐标系Oxyz的单位矢量为i、j、k，力F在各轴上投影
1. 直接投影法
Fx F i F cos Fy F j F cos
Fz F k F cos
1.2.2 力对点之矩
MO(F) r F Frsin α Fh 2ΔOAB
在直角坐标系Oxyz中，矢径r = xi + yj + zk，力F = Fxi +Fyj +Fzk。力对点之矩的矢积表达式可写为行列式形式
i jk
MO (F) x y z Fx Fy Fz
M O (F ) ( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
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1.2.5 力偶
力偶矩在平面问题中视为代数量，记为M
M = ±Fd
正负号分别由力偶的转向决定。
力偶的等效性：现计算组成 力偶的两个力对任一点力矩 之和，即
mO(F,F) mO(F) mO(F) Fd x Fx Fd
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F3z F3 sin 30 150N
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1.2.1 力对轴之矩
力对轴之矩：力对轴之矩是代数量，它的大小等于力在垂 直于轴的平面上的投影与此投影至轴的距离的乘积，它的正 负号则由右手螺旋规则来确定。
公理一（力的平行四边形法则） 作用于物 体某一点的两个力的合力，亦作用于同一点上， 其大小及方向可由这两个力所构成的平行四边 形的对角线来表示。
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公理二 （二力平衡公理） 作用于刚体上的 两个力平衡的必要和充分条件是：这两力大小 相等，方向相反，并作用于同一直线上。
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1.2.2 力对点之矩
若力F 作用在Oxy 平面内，即Fz≡0，z≡0，如图力F 对此平面内任一点O之矩，实际上是此力对通过O点 垂直于Oxy平面的z轴之矩
MO(F) = r×F = (Fxy – Fyx)k
力F 对O点之矩总是沿着z 轴方向，可用代数量来表示